高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线
平面内到两个定点,
的距离之差的绝对值是常数2a(2a
)的点的轨迹。
考点
题型一 求双曲线的标准方程
nx2y2
1、给出渐近线方程yx的双曲线方程可设为22(0),与双曲线
mmn
x2y2x2y2
21共渐近线的方程可设为22(0)。 2
abab
2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
(1) 虚轴长为12,离心率为
5; 4
(2) 焦距为26,且经过点M(0,12);
x2y2
1有公共渐进线,且经过点A3,。 (3) 与双曲线
916
x2y2y2x2
解:(1)设双曲线的标准方程为221或221(a0,b0)。
abab
由题意知,2b=12,e∴b=6,c=10,a=8。
c5=。 a4
x2y2x2
361或1。 ∴标准方程为646436
(2)∵双曲线经过点M(0,12),
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12。
又2c=26,∴c=13。∴bca144。
2
2
2
y2x2
1。 ∴标准方程为
14425
x2y2
(3)设双曲线的方程为2
2
abA3,在双曲线上
3
∴916
2
2
1 得
1
4
4x2y2
1 所以双曲线方程为94
题型二 双曲线的几何性质
方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a、b、c四者的关系,构造出e
c222
和cab的关系式。 a
x2y2
【例2】双曲线221(a0,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且
ab
点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥e的取值范围。 解:直线l的方程为
4
c。求双曲线的离心率5
xy
1,级bx+ay-ab=0。 ab
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1
,
同理得到点(-1,0)到直线l
的距离d2
sd1d2
由s≥
2ab
。 c
42ab4c,得≥c
,即52c2。
55c
4
2
于是得2e2,即4e25e250。 解不等式,得
5e25。由于e>1>0,所以e
的取值范围是e 42
x2y2
【例3】设F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使
ab
F1AF290,且︱AF1︱=3︱AF2︱,求双曲线的离心率。
解:∵F1AF290
∴AF1AF2
22
4c2
又︱AF1︱=3︱AF2︱,
∴AF1AF22AF22a即AF2a, ∴AF1AF2∴
2
2
9AF2AF210AF210a24c2,
222
ce。
a题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
AxByC0组,即22,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共2222
bxayab
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:
lx2x1y2y1
PF2PF12的点P的轨迹【例4】如图,
已知两定点F1(F2,满足条件
是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,
如果AB,且曲线E上存在点C,
使OAOBmOC,求
(1)曲线E的方程; (2)直线AB的方程;
(3)m的值和△ABC的面积S。
解:由双曲线的定义可知,
曲线E
是以F1(F2为焦点的双曲线的左支,
且c
a=1
,易知b1。
故直线E的方程为x2y21(x0), (2)设A(x1,y1), B(x2,y2),
y=kx-1
由题意建立方程组22消去y,得(1k2)x22kx20。
x-y=1
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有
1k20,22
(2k)8(1k)0,
解得k1。 x1x22k20,
1k
2
0.x1x22
1k
又∵
ABx1x2
依题意得,整理后得28k455k2250, ∴k
2
552
或k。
74
但k1,
∴k。 2
xy10。 2
(3)设C(xc,yc),由已知OAOBmOC,得(x1,y1)(x2,y2)(mxc,myc),
故直线AB
的方程为
∴(xc,yc)(
x1x2y1y2
,)(m0)。
mm
2k2k22y1y2k(x1x2)22228, 又x1x22
k1k1k1
∴点C(
8
)。 mm
80641, m2m2
将点C的坐标代入曲线E的方程,的
得m4,但当m4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。 ∴m4,C
点的坐标为(,
C到AB
11
∴△ABC
的面积S
23
1
, 3
一、抛物线 高考动向:抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。 (一) 知识归纳
(二)典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为ymx或xmy(m0)。 【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
2
2
(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点;
(2)经过点A(2,-3);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上;
(4)抛物线焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,︱AF︱=5.
x2y2
1,左顶点是(-3,0) 解:(1)双曲线方程可化为
916
由题意设抛物线方程为y22px(p0)且∴p=6.
∴方程为y212x
(2)解法一:经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式: y2=2px或x2=-2py.
点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=
2
p
3, 2
9 2
4 3
点A(2,-3)坐标代入x=-2py,即4=6p,得2p=∴所求抛物线的标准方程是y=
2
94x或x2=-y 23
解法二:由于A(2,-3)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为y2mx或x2ny,
94,n=-, 23
9422
∴所求抛物线的标准方程是y=x或x=-y
23
代入A点坐标求得m=
(3)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2),(4,0)。 ∴焦点为(0,-2),(4,0)。 ∴抛物线方程为x8y或y16x。
(4)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2px(p0),A(m,-3),由抛物 线定义得5AFm
2
2
2
2
p
, 2
又(3)2pm, ∴p1或p9,
故所求抛物线方程为y2x或y18x。
题型二 抛物线的几何性质
方法思路:1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l的距离处
2
2
理,例如若P(x0,y0)为抛物线y22px(p0)上一点,则PFx0
p。 2
2、若过焦点的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长ABx1x2p,x1x2可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P是抛物线y24x上的一个动点。
(1) 求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值; (2) 若B(3,2),求PBPF的最小值。
解:(1)抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x1。 ∵P点到准线x1的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小。
显然P是AF的连线与抛物线的交点,
最小值为AF(2)同理PF与P
过B做BQ⊥准线于Q点,交抛物线与P1点。 ∵PQ, PF11
∴PBPFPBPQBQ4。 11∴PBPF的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路:函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一:要求AB中点纵坐标最小值,可求出y1+y2的最小值,从形式上看变量较多,结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底,这样使得中点纵坐标y成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)
由抛物线方程y=x2知焦点F(0,
1
),准线方程4
y
1
,设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、4
|BC1|、|MN|,则|AD1|+|BC1|=2|MN|,且
1
M=2y,根据抛物线的定义,有+)|AD1|=|AF|、
4
1
|BC1|=|BF|,∴2(y+)=|AF|+|BF|≥|AB|=2,
4
1
)2 433∴y,即点M纵坐标的最小值为。
44
∴2(y+
分析二:要求AB中点M的纵坐标y的最小值,可列出y关于某一变量的函数,然后求
此函数的最小值。
222
解法二:设抛物线y=x上点A(a,a),B(b,b),AB的中点为M(x,y),则
aba2b2x,y
22
∵|AB|=2,∴(a―b)+(a―b)=4,则(a+b)-4ab+(a+b)-4ab=4
2222222
则2x=a+b,2y=a+b,得ab=2x-y,∴4x―4(2x―y)+4y―4(2x―y)=4 整理得yx
2
2
2
2
2
2
22
22
14x1
2
y
1111113(4x21)221 444444x14
即点M纵坐标的最小值为3/4。
练习: 1、以y=±
2
2
x为渐近线的双曲线的方程是( ) 3
2
2
2
2
2
2
2
A、3y―2x=6 B、9y―8x=1 C、3y―2x=1 D、9y―4x=36 【答案D】解析:A
的渐近线为y=x ,B
的渐近线为y=3,只有D的渐近线符合题意。 C
的渐近线为y=22
2、若双曲线xy1的左支上一点P(a,b)到直线y=x
a+b的值为
( ) A、
11
B、 C、2 D、2 22
【答案A】解析:∵P在双曲线上,
∴ab1即(a+b)(a-b)=1 又P(a,b)到直线y=x
22
1
2
ab
即ab2 ∴a+b=
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴,焦点在直线3x4y120上,那么抛物线的方程是()
A、y216x B、y212x C、y216x D、y212x
【答案C】解析:令x=0得y=-3,令y=0得x=4,
∴直线3x4y120与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0)。 ∴焦点为(0,-3),(4,0)。
∴抛物线方程为x212y或y216x。 4、若抛物线y=
12
x上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标是 4
79797979,±) D.(±,) 161688
A.(4,±4) B.(±4,4) C.(
【答案B】解析:抛物线的焦点是(0,1),准线是y1,
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。 设P(x,y),则y=4,
∴x4
5、若点A的坐标为(3,2),点P是抛物线上的一动点,则PAPF F为抛物线y22x的焦点,
取得最小值时点P的坐标是 ( C )
1
D.(,1)
2
【答案C】解析:抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x1。 ∵P点到准线x1的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到A(3,2)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点, ∴P的坐标为(2,2)
A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2)
6、已知A、B是抛物线y2px(p0)上两点,O为坐标原点,若︱OA︱=︱OB︱,且 △AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是( )
2
A、x=p B、x=3p C、x=
35p D、x=p 22
y2y2
【答案D】解析:设A(,y),B(,-y),
2p2p
∵F(p,0)是△AOB的垂心, ∴
yy2p2p2
y
1 y22p
整理得y25p2
y25
∴xp
2p2
x2y2
1只有一个公共点的直线有 7、过点P(4,1),且与双曲线
916
【答案】两条
解析:因为P(4,1)位于双曲线的右支里面,故只有两条直线与双曲线有一个
公共点,分别与双曲线的两条渐近线平行。 这两条直线是:y1
44
(x4)和y1(x4) 33
x2
y21有共同的渐近线,且过点A(2,-2),则C的两条准线之间8、双曲线C与双曲线2
的距离为 。
【答案】
3
x2
y2k(k0), 解析:设双曲线C的方程为2
将点A代入,得k=-2。
y2x2
1 故双曲线C的方程为:
24
∴a
b=2, c2a2
所以两条准线之间的距离是。 c9、已知抛物线y2px(p0),一条长为4P的弦,其两个端点在抛物线上滑动,则此弦
中点到y轴的最小距离是
2
【答案】3p 2
解析:设动弦两个端点为A、B,中点为C,作AA’,BB’,CC’垂直于准线的垂线,垂
足分别为A’、 B’、 C’,连接AF、BF,由抛物线定义可知,︱AF︱=︱AA’︱, ︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线
111(AA')BB')= (AF)BF) AB=2p 222
p3 当AB经过点F时取等号,所以C点到y轴的距离最小值为2p-p。 22 ∴︱CC′︱=
10、抛物线y212x的一条弦的中点为M(2,3),则此弦所在的直线方程是。
【答案】2x-y+1=0
解析:设此弦所在的直线l方程为y3k(x2),
l与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x24
将l的方程代入抛物线方程整理得
k2x2(4k26k12)x(2k3)20 (4k26k12)4 由韦达定理得x1x22k
解得k2
∴此直线方程为y32(x2) 即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为
解:由题意知,2c16 c8 又e4,求双曲线的方程。 3c4 a6 a3
b2c2a228
y2x2
1 3628
x2y2
A(0,b)和B(a,0)
12、已知双曲线221(a0,b
0)的离心率eab
的直线与原点的距离为。 2
(1)求双曲线的方程;
(2)直线ykxm(k0,m0)与该双曲线交于不同的两点C、D,且C、D两点都在
以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围。
2b24e1a23解:(1
)由题设,得 解得a3,b1 22
x2
y21。 ∴双曲线的方程为3
(2)把直线方程ykxm代入双曲线方程,
并整理得(13k2)x26kmx3m230
因为直线与双曲线交于不同的两点,
∴12m1236k0 ①
设C(x1,y1),D(x2,y2) 则x1x2226km2myyk(xx)2m, 12122213k13k
设CD的中点为P(x0,y0), x1x2yy2,y01, 22
3kmmy则x0, 02213k13k
m121依题意,AP⊥CD,∴kAP k
13k2其中x0整理得3k4m1 ②
将②式代入①式得 m4m0
∴m>4或m<0
又3k4m10,即m
∴m的取值范围为m>4或2221 41m0。 4
213、已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y2px上,△ABC的重心与此抛
物线的焦点F重合(如图)
(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC中点M的坐标;
(3)求BC所在直线的方程.(12分)
解:(1)由点A(2,8)在抛物线y22px上,
有822p2,解得p=16. 所以抛物线方程为y232x,
焦点F的坐标为(8,0).
(2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,
M是BC的中点,所以F是线段AM的 定比分点,且AF2,设点M的坐标为(x0,y0),则 FM
22x082y08,0,解得x011,y04, 1212
所以点M的坐标为(11,-4).
(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为:y4k(x11)(k0).
y4k(x11)由2,消x得ky232y32(11k4)0, y32x
所以y1y2yy2324,解得k4. ,由(2)的结论得1
k2
∴BC所在直线的方程是y44(x11)即4xy400。
14、如图, 直线y=11x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线28
y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.(14分)
1yx2解:(1) 解方程组
y1x248
x14x28得或 y2y412
即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB= 1,直线AB的垂直平分线方程 2
12x4) 8y-1=-2(x-2). 令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5). (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,
∵点P到直线OQ的距离
28x
32, OQ ∴SΔOPQ=152x8x32. OQd=216
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
4或
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值为30.