现代控制理论-传递矩阵
2011-3-10
四、传递函数矩阵
4.1 传递函数矩阵
& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) x y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
X( s ) = ( sI − A) −1 Bu( s )
Y( s ) = [C( sI − A ) −1 B + D]U ( s ) = G ( s)U( s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统,初始条件为零时,输出 对于多输 多输出系统 初始条件为零时 输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比,称为传递函数矩 阵,简称传递矩阵。 这里: G ( s ) = C( sI − A) −1 B + D
初始条件为零时,进行拉氏变换
sX( s ) = AX( s) + Bu( s ) Y ( s ) = CX( s ) + Du( s )
( sI − A ) −1 =
adj[ sI − A ] sI − A
对于r维输入m维输出系统:
例
⎡Y 1(s) ⎤ ⎡G 11(s) G 12(s) ⎢Y (s)⎥ ⎢G (s) G (s) 22 ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ M ⎥ ⎢ M M ⎢ ⎥ ⎢ m 1(s) G m2(s) ⎣Ym(s)⎦ ⎣G
U( s ) --r维
L G 1r (s)⎤⎡U 1(s)⎤ ⎥⎢ LG U2(s)⎥ 2r (s)⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ M ⎥ M ⎥⎢ ⎥ LG Ur (s)⎦ m r (s)⎦ ⎣
⎡ −1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ & (t ) = ⎢ x ⎥ x(t ) + ⎢0 1 ⎥ u(t ) 0 − 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ y1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 1 ⎥ x(t ) ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
( SI − A)
−1
⎡ 1 ⎢ s +1 =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ s + 2⎦ ⎤ ⎡ 1 0 ⎥ ⎡1 0⎤ ⎢ s + 1 =⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣0 1⎦ ⎢ 0 ⎢ s + 2⎥ ⎦ ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ s + 2⎥ ⎦
Y( s ) --m维
G(s) --mxr维
⎡ 1 ⎡1 0 ⎤ ⎢ s + 1 −1 G ( s ) = C ( SI − A ) B − D = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎡1⎤ 如果A不变, b = ⎢ ⎥ , ⎣1⎦
则,
c = [1 1]
状态变量图
⎡ 1 ⎢ s +1 G ( s) = [1 1] ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎡1⎤ 2s + 3 ⎥ ⎥= 1 ⎥⎢ ⎣1⎦ ( s + 1)( s + 2) s + 2⎥ ⎦
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4.2 特征方程、特征值和特征向量
sI − A = 0
λI − A = 0
G ( s ) = C( sI − A) −1 B + D =C = adj[ sI − A] B+D sI − A
【说明】
1 系统的特征值就是矩阵A的特征值,即方程 sI − A = 0 的根。 2 系统的特征值就是系统传递函数的极点。 系统的特征值就是系统传递 数的极点 3一个n 维系统,A为nxn方阵,有n个特征值。 4 物理上存在的系统,方阵A为实数阵,其n个特征值 或为实数,或者为共厄复数。
Cadj[ sI − A ]B + sI − A D sI − A
令 sI − A = 0 为特征方程
sI − A = 0 的根为特征值 λi (i = 1, 2,L , n)
4. 4 状态方程的线性变换
特征向量
Pi (i = 1, 2,L , n)
设A阵具有不相同的特征值(λi),如果一个非零的 向量pi,满足下式:
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程, 两组状态变量之间存在着线性变换。
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
& = Ax + bu x y = cx
P变换, 变换矩阵:
x = px
& = Ax + bu x y = cx
p = [ p1
p2 L
pn ]
x = px
& = Ax + bu = Apx + bu & = px x
可以证明:
& = p −1Apx + p −1bu x = Ax + bu
这里
sI − A = sI − A
对系统作线性非奇异变换,其特征值不变。
A = p −1Ap
b = p −1b
c = cp
y = cx = cpx = cx
反变换为: A = pAp −1
b = pb
c = cp −1
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(1)化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值,即λi
例 A= ⎢
⎡0 1⎤ ⎥ ⎣ −2 −3⎦
求 P使
A→Λ
⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ2 ⎥ Λ = p −1Ap = ⎢ ⎢ ⎥ O ⎢ ⎥ λn ⎦ ⎣
P阵由A阵的实数向量Pi组成 特征向量满足:
sI − A = 0
λ1 = −1
λ2 = −2
λ1 = −1
⎡P 11 ⎤ P 1 = ⎢ ⎥ P ⎣ 21 ⎦
p = [ p1
p2 L
pn ]
⎡P ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡P 11 ⎤ −1 ⎢ 11 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ P21 ⎦ ⎣ −2 −3⎦ ⎣ P21 ⎦
APi = λi Pi
P21 ⎡ −P ⎡ ⎤ 11 ⎤ ⎢ − P ⎥ = ⎢ −2 P − 3 P ⎥ ⎣ 21 ⎦ ⎣ 11 21 ⎦
−P ⎧ 11 = P 21 ⎨ ⎩− P21 = −2 p11 − 3P21
λ2 = −2
⎡P ⎤ P2 = ⎢ 12 ⎥ ⎣ P22 ⎦
⎡P ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡P 12 ⎤ −2 ⎢ 12 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ P22 ⎦ ⎣ −2 −3⎦ ⎣ P22 ⎦
⎡1⎤ P 1 = ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
选
P 11 = 1
P21 = −1
代回方程中验算
P22 ⎡ −2 P ⎡ ⎤ 12 ⎤ ⎢ −2 P ⎥ = ⎢ − 2 P − 3 P ⎥ ⎣ ⎣ 22 ⎦ 12 22 ⎦
选
−2 P ⎧ 12 = P 22 ⎨ − 2 P = − 2 p12 − 3P22 22 ⎩
P 12 = −1
P21 = 2
P = [P 1
⎡ 1 −1⎤ P2 ] = ⎢ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦
⎡ −1 0 ⎤ A→Λ =⎢ ⎥ ⎣ 0 −2 ⎦
两个特征值λ1,λ2构成对角线
−1
b) 若A阵为友矩阵,且有n个互不相同的实数特 征值λi
⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − a0 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ 1 ⎥ L − an −1 ⎥ ⎦ 0 L 1
⎡ 1 −1⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 1 −1⎤ Λ = P −1 AP = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ −2 −3⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎡ 2 1⎤ ⎢1 1⎥ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 1 −1⎤ ⎡ −1 0 ⎤ ⎦ =⎣ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎣ −2 −3⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ 0 −2 ⎦
− a1
b = p −1b
c = cp
sI − A = 0
λi
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则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
例
1 0⎤ ⎡0 ⎥ A=⎢ 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ −6 −11 −6 ⎥ ⎦
λ1 = −1 λ1 = −2 λ3 = −3
⎡1 ⎢λ ⎢ 1 P = ⎢ λ12 ⎢ ⎢ M n ⎢ ⎣λ1
λ2 L λn ⎥ ⎥ λ2 2 L λn 2 ⎥ λ2
n
1
L
1 ⎤
⎥ ⎥ L λn ⎥ ⎦
n
⎡ λ1 ⎢ Λ=⎢ ⎢ ⎢ ⎣
λ2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ λn ⎦
sI − A = 0
⎡1 1 1⎤ ⎥ P=⎢ ⎢ −1 −2 −3⎥ ⎢1 4 9⎥ ⎣ ⎦
(2)化A阵为约当型
A阵具有m个重实数特征值λ1,不能求出m个互相 独立的特征向量,只能将A化为约当阵。
⎡λ1 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ1 O ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ O 1 ⎢ ⎥ λ1 J = P −1 AP = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λm+1 ⎢ ⎥ 0 O ⎢ ⎥ ⎢ λn ⎥ ⎣ ⎦
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