Dandelin 双球证明定理圆锥曲线

平面与圆锥面的截线

一、教学目标：

1. 知识与内容：

（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2

（2）利用Dandelin 双球证明定理2中情况（1）

（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解

2. 过程与方法：

利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin 两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。

3. 情感态度价值观：

通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。

二、教学重点难点

重点：（1）定理2的证明

（2）椭圆准线和离心率的探究

难点：椭圆准线和离心率的探究

三、教学过程

椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法

有许多，例如：

（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；

（2）椭圆的定义

（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0

（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；

（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2

图1

如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况

吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。

思考：如图3-9(1), AD 是等腰三角形ABC 底边上的高,

∠BAD =α. 直线l 与AD 相交于点P , 且与AD 的夹角

为β(0P l π2(1)l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交; ). 试探究:当α与β满足什么关系?

(2)l 与AB 不相交;

(3)l 与BA 的延长线、AC 都相交B D C

利用几何画板实验探索. 图3-9()1

如图3-9

(2), 可以有如下结论: G A

(1)当l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交时,

设l 与AB (或AB 的延长线) 交于E , 与AC 交于F .

因为β是∆AEP 的外角, 所以必然有β>α;

反之, 当β>α时, l 与AB (或AB 的延长线) 、AC 都相交. E αF

P l

(2)当l 与AB 不相交时, 则l //AB , 这时有β=α;

反之, 当β=α时, l //AB , 那么l 与AB 不相交.

B

D C

(3)当l 与BA 的延长线、AC 都相交时, 设l 与BA 的延长线交于G , 3-9(2)

因为α是∆APG 的外角, 所以β

思考：将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥, 直线拓广为平面, 则得到图3-10.

会出现

如果平面与一条母线平行(相当于图3-9(2)中的β=α), 那么 （1）平面就只与正圆锥的一半相交, 这时的交线是一条抛物线;

如果平面不与母线平行, 那么会出现两种情形:

（2）平面只与圆锥的一半相交, 这时的交线为椭圆;

（3）平面与圆锥的两部分都相交, 这时的交线叫做双曲线.

归纳提升：

定理 在空间中，取直线l 为轴，直线l ' 与l 相交于O 点，其夹角为α，l ' 围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ' 为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β（π与l 平行，记住β＝0），则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

思考

:你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论(1)吗?

问题：利用Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，

一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π

与圆锥的交线为椭圆.

讨论：点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比小于1）.

证明1：利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.

证明2：①上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，

记这个圆所在平面为π/；

②如果平面π与平面π/的交线为m ，在图中椭圆上任取一点A ，该Dandelin

球与平面π的切点为F ，则点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离

比是（小于1）. （称点F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，

常数为离心率e . ）

点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准. 探究:如图3-12,

(1)找出椭圆的准线;

(2)探讨P 到焦点F 1的距离与到两平面交线m 的距离之比.

图3-12

如图3-12, 上面一个Dandelin 球与圆锥的交线为圆S , 记圆S ，所在的平面为π`.

设π与π`的交线为m . 在椭圆上任取一点P , 连接PF 1. 在π中过P 作m 的垂线, 垂足 为A . 过P 作π`的垂线, 垂足为B , 连接AB , 则AB 是PA 在平面π`上的射影.

容易证明, m ⊥AB . 故∠PAB 是平面π与平面π`交成的二面角的平面角.

在Rt ∆ABP 中, ∠APB =β, 所以PB =PA cos β. (1)

(2) 设过P 的母线与圆S 交于点Q 1, 则在Rt ∆PQ 1B 中,

∠Q 1PB =α, 所以PB =PQ 1cos α.

由(1)(2)得PF 1cos βPF cos βπ=. 因为0

由上所述可知, 椭圆的准线为m , 椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为cos βcos β常数, 因此椭圆的离心率为e =, cos αcos α

即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比. 讨论

：我们延用讨论椭圆结构特点的思路, 讨论一下双曲线的结构特点.

图

3-13

如图3-13, 当β

在截口上任取一点P , 连接PF 1、PF 2. 过P 和圆锥的顶点O 作母线, 分别与两个球切于Q 1、Q 2, 则母线PO 为两圆的公共切线。又P 在平面π内，F1，F2为平面π内两个切点，因此PF1，PF2，分别为两圆的切线，所以

PF 1=PQ 1, PF 2=PQ 2. 所以|PF 1-PF 2|=|PQ 1-PQ 2|=QQ 12.

由于QQ 12为两圆S 1、S 2所在平行平面之间的母线段长, 因此QQ 12的长为定值.

由上所述可知, 双曲线的结构特点是:

双曲上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数. 拓展：1. 请证明定理2中的结论（2）

2. 探究双曲线的准线和离心率

3. 探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果 四、自我检测练习

1. 平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是

分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的

不同情况.

答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆；

2. 判断椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？ 分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明.

答案：略.

五、课外研究材料

材料1. 阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：

运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于

7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。

（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？

（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入的理解圆锥曲线

材料2. 圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线．

设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为θ．

当截面不过顶点时，

（1）当θ＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；

π时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，2

π交线是椭圆．特别地，当θ＝，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆． 2（2）当α＜θ＜

（3）当0≤θ＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线．

当截面过顶点时，

（1）当θ＝α时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线．

（2）当α＜θ≤π时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点． 2

（3）当0≤θ＜α时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线．

前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线．有时，也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线．后一类情况，交线是一个点或两条直线（包括相交与重合），把它们叫做退化的圆锥曲线．

由于椭圆（包含圆）和双曲线都具有对称中心，所以椭圆（包含圆）和双曲线是有心圆锥曲线．而抛物线不具有对称中心，抛物线是无心圆锥曲线．

在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线．