中考中的一次函数应用题(答案)

中考中的一次函数应用题求解（答案）

1 试题概述

一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。

一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。

2.1方案设计问题

⑴物资调运

例1. （2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A 、B 、C 三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D 、E 两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D 县的数量比运往E 县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D 、E 两县的数量各是多少？

（2）若要求C 地运往D 县的赈灾物资为60吨，A 地运往D 的赈灾物资为x 吨（x 为整数），B 地运往D 县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E 县，且B 地运往E 县的赈灾物资数量不超过25吨。则A 、B 两地的赈灾物资运往D 、E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；

（3）已知A 、B 、C 三地的赈灾物资运往D 、E 两县的费用如下表：

为即使将这批赈灾物资运往D 、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。

⑴直接用一元一次方程求解。运往D 县的数量比运往E 县的数量的2倍少20吨，设运往E 县m 吨，则运往D 县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）

⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A 地运往D 的赈灾物资为x 吨，可将相应数量关系列表如下：

表格说明：①A 、B 、C 、D 、E 各地后括号中的数字为调运量或需求量；

②表格中含x 的式子或数字，表示对应地点调运数量；

③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。

确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B 地运往D 县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的2倍。②B 地运往E 县的赈灾物资数量不超过25吨。故：

解得 ∴40＜x ≤45 ∵x 为整数

∴x 的取值为41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案有五种。

方案一：A 县救灾物资运往D 县41吨，运往E 县59吨；

B县救灾物资运往D 县79吨，运往E 县21吨。 （其余方案略）

⑶设运送这批赈灾物资的总费用为y ，由⑵中表格可知：

y=220x+250（100-x ）+200（120-x ）+220（x-20）+200×60+210×20

=-10x+60800

∵y 随x 增大而减小，且40＜x ≤45，x 为整数，

∴当x=41时，y 有最大值。

该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+60800=60390（元）

求解物资调运问题的一般策略：

⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；

⑵根据表格中量的关系写函数式

⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；

⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。

⑵方案比较

例2. （2008年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x （张），总费用为y （元）。现有两种购买方案：

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）

方案二：购买方式如图2所示。

解答下列问题：

⑴方案一中，y 与x 的函数关系式为 ；方案二中，当0≤x ≤100时，y 与x 的函数关系式

为 ，当x ＞100时，y 与x 的函数关系式为 。

⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。

⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。

⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y 1=60x+10000（x ≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x ≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y 2=100x（0≤x ≤100）；当x ＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y 2=80x+2000（x ＞100）。

⑵购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y 1=y2，求出此时x 的值。然后利用不等式确定方案。

当y 1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。

当y 1＞y 2时，解得x ＜400，则当100＜x ＜400时，选择方案二，总费用最省；

当y 1＜y 2时，解得x ＞400，则当x ＞400时，选择方案一，总费用最省。

⑶分两种情况讨论：（用方程求解）

①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m （m ＜100）张，则乙买700-m 张。

100m+60（700-m ）+10000=58000 解得m=150（不合题意，舍去）

②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m （m ＞100）张，则乙买700-m 张

80m+2000+60（700-m ）+10000=58000 解得m=200，700-m=500

解方案比较问题的一般策略：

⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。

⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。

⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。

方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。

2.2分段函数问题

⑴分段价格

例3. （2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b ＞a ）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．

（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？

（2）求的值，并写出当x ＞10时，与之间的函数关系式；

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？

解析：（1）当时，有．将，代入，得．

用8吨水应收水费（元）．

（2）当x ＞10时，有． 将，代入， 得 ∴． 故当x ＞10时，．

（3）因

所以甲、乙两家上月用水均超过10吨． 设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨， 则 解之，得

故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．

解分段价格问题的一般策略：

⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。

⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。

⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。

⑵几何图形中的动点

例4. （2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P （，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分

.

（图

①） （图②） （图③）

（1）s 与之间的函数关系式是： ；

（2）与图③相对应的P 点的运动路径是： ；P 点出发 秒首次到达点B ；

（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.

解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=

M→D→A→N， 10秒

(3)当3≤s ＜5，即P 从A 到B 时，y=4-s；

当5≤s ＜7，即P 从B 到C 时，y=-1； (t≥0) (2)由图象③，M 纵坐标为0变为1，则路径为：

当7≤s ≤8，即P 从C 到M 时，y=s-8．（补全图象略．）

求解几何图形中的动点问题一般策略：

⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。

⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。

⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。

1多个函数图象

例6 （2010年泰州第28题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时

开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米) 、(千米) 与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2分）

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。

解析：本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。

（1）由图象可知：AB 段发生故障。时间为4.9-3=1.9 （小时）

(2)要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。即要求出B 点的纵坐标。点B 在线段BD 上，且横坐标为4.9。只需求出BD 所在直线的解析式即可。C 是BD 、EF 交点，C 点的横坐标为6，求出直线EF 的解析式，则可得到C 点坐标。从而求出BD 解析式，得到B 点纵坐标。

设直线EF 的解析式为乙=kx+b∵点E(1.25,0)、点F （7.25,480）均在直线EF 上 ∴ 解得 ∴直线EF 的解析式是y 乙=80X-100

∵点C 在直线EF 上，且点C 的横坐标为6，

∴点C 的纵坐标为80×6—100=380 ∴点C 的坐标是（6，380）

设直线BD 的解析式为y 甲 = mx+n

∵点C （6，380）、点D （7，480）在直线BD 上

∴ 解得 ∴BD 的解析式是y 甲=100X -220

∵B 点在直线BD 上且点B 的横坐标为4.9，代入y 甲得B （4.9，270）

∴甲组在排除故障时, 距出发点的路程是270千米。

（3）符合约定

由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B 和D 相距最远。

在点B 处有y 乙—y 甲=80×4.9—100—（100×4.9—220）=22千米＜25千米

在点D 有y 甲—y 乙=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米

∴按图像所表示的走法符合约定

多个函数图象求式问题的一般策略：

⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。 ⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。

2.4多变量及其最值问题

例7（2008年泰安第25题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．

解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：（元）

（2）由题意可设与的函数关系为 将代入 得 ∴ ∴种植亩数与政府补贴的函数关系为 同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为

（3）由题意

∴u ∴当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．

解多个变量及其最值问题的一般策略：

⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。

⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。 ⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法.