第七章边界层理论

第七章 边界层理论

要点： • 边界层的概念 • 边界层的物理特征 • 边界层方程 • 流动的分离

§7.1 边界层 [1]边界层概念 ◎Reynolds数意义的回顾 Re数很大时，可以忽略粘性作用。但是由 理想流体得出的速度场在靠近壁面处与真实情 况不符。——D’Alembert佯谬。 ◎无滑移边界条件 真实情况下，紧贴物体表面的流体与物体 之间是没有相对流动的，这样在紧靠物体表面 附近的一层流体区域中，有很大的速度梯度。

◎实际流体是有粘性的。 按照Newton内摩擦定律，当流场中流体之 间存在速度梯度时，粘性就以内摩擦的形式出 现。其特点是使低速流体加速，使高速流体减 速。速度梯度越大，粘性力也就越大。 这样，在近靠壁面的层中，粘性力和惯性 力相比是不能忽略的。

Prandtl在1904年提出了边界层的概念，他 认为流动可以分两个区域来研究：在物体表面 处有一个薄层，在这个薄层中必须考虑粘性力 的作用，这个薄层称为边界层。在边界层外的 区域中，流体可以当作理想的。 边界层概念的作用：将粘性力的作用限制 在很薄的一层中，对于薄层外部的大部分流域， 则可按理想流体的处理方法，极大地简化粘性 流体分析，而且所得的结果与实际的情况也相 符。 Prandtl的边界层理论对流体力学的发展起 了极大的推动作用。

[2]边界层的基本概念与特征 ◎边界层的形成 由于流道形状的不同，使得边界层中的流 动参数发生变化，特别是压力的变化，而直接 影响到边界层的形成和发展。 (1)平板边界层

→边界层厚度 将绕流流场划分成边界层和外流区两个部分， 首先遇到的是如何确定两者之间的分界面。参看平 板边界层的图。 由于粘性作用，流体速度在壁面处为零，然 后沿壁面法向并逐渐增加，最终达到外部主流的速 度V∞。考虑到边界层外边界处，速度增加到V∞是一 个渐近过程，因此人为规定：将流体速度从u=0到 u=0.99V∞对应的流体层的厚度定义为边界层的厚度。 特别需要指出的是，边界层的外边界不是流 线。事实上，边界层内是有法向速度的。

→边界层形成 一块平板顺着来流方向放置，沿着流动方 向向下，由于粘性而损耗了动能，使得边界层 里的速度沿程减小，结果边界层的厚度沿程是 不断增加的。 →边界层厚度——量级估计 边界层里，粘性力与惯性力同量级，即

U2 U ~μ 2 ρ L δ

即 δ

~

L μL = ρU Re

即

δ

L

~

1 Re

所以，当Re远大于1时，δ L

圆管边界层 流体匀速进入光滑圆管，由于粘性作用而 在管壁处形成边界层，边界层的存在使得靠近壁 面的流体速度减小，但是流量却不变，结果管中 心的流体速度加快。

随着流体往管内流，边界层的厚度逐渐加 大，当圆管足够长时，边界层最终将扩展到中心 线上，换言之，就是整个通道都被边界层所占据。 此时整个管内的流动都必须按粘性流动处理。这 就是所谓的充分发展的管流。而管道入口处的流 动称为初始段。

收敛通道内的流动 在收敛通道内，由于主流流速不断加大， 致使管内压力不断减小，后面我们将证明，在 流动方向上主流压力分布就是边界层内的压力 分布，因此，边界层里的压力向下游是减小的， 这称为顺压力梯度。 在顺压梯度下， 边界层逐渐变薄。 ——请分析原因。

扩张通道内的流动 与顺压梯度相反，这里将出现逆压梯度。流 体将不断消耗动能来平衡压力的增加。此时边界 层将越来越厚，形象地说，边界层里的速度分布 越来越瘦，最终流体动能将不能平衡压力，边界 层里的速度减为零。结果边界层里将出现倒流的 情况。这种现象 称为分离。开始 出现倒流的地方 叫做分离点。

[3]层流边界层和湍流边界层 一般情况下，物体前缘或管道进口处前段将 形成层流边界层。经过一段路程后，层流边界层 将变为湍流边界层。这个转变一般不是突然的， 有一个过渡段，称为转捩段。有时在工程中，为 使问题简单常常假设转捩段的长度为零，称为转 捩点。

• 临界Re数。它取决于很多扰动因素影响。 • 判断流态的准则仍然是雷诺数。不过，有沿板 长的雷诺数和当地雷诺数之分，分别是：

ρV∞ L ρV∞ x Re = , Re x = μ μ

• 平板边界层的临界雷诺数Rex约为3×105～ 3×106。 • 层流边界层的流动阻力比湍流的要大；但是一 旦层流边界层分离，流动阻力就会大大增加， 这时可以通过将边界层提前由层流变为湍流， 使流动阻力减小。

[4]边界层的结构 一般不划分层流边界层。 湍流边界层可以按照壁面湍流、管内湍流 和自由湍流。管内湍流前面已经做了介绍，现 在讨论壁面湍流边界层。 边界层里面，靠近壁面的地方，首先是粘 性底层。该层中，由于壁面的限制，靠近壁面 处流体的脉动速度和湍流剪应力都趋向于零。 速度分布满足：

∂u τ w = ∂y μ

湍流场中，速度分布常常写成所谓壁面律的 形式，即 u ⎛ yuτ ⎞ + + = f⎜ u = f y 也即 ⎟

( )

的形式。其中

uτ

⎝ ν ⎠

uτ = τ w ρ

y 是摩擦速度， 是时均速度， 是无量纲离壁距离。 u

y +

+

离开粘性底层往上，粘性切应力逐渐减小， 而湍流剪切应力逐渐增大，这是所谓的过渡层， 这里粘性切应力与湍流剪切应力的量级相同， 壁面律的形式非常复杂。

再往上，湍流剪切应力远大于粘性切应力，

后者几乎可以忽略。这个区域称为湍流(核心) 区。这个区里的壁面律的形式是对数函数的形 1 + + 式： u = ln y + B

κ 其中， ≈ 0.41, B = 5.5

在与外部势流的交界面处，湍流不是突然 消失的。这里流动时而是湍流的，时而又是非 湍流的势流。这个区域称为间歇层。

κ

为确定间歇性的变化，定义一个因子，称为 间歇因子，定义为在某一段时间内，在所考虑的 流动区域内：

间歇因子 = 涡旋占据的时间 总时间

当 γ =1的区域称为内层； 而 γ

关于湍流边界层中的速度分布，形式和经 验公式都很多。 有时，着眼于边界层内的流速与外部主流 流速的差额，因此可采用所谓的亏损律分布形 式。所谓亏损，是主流流速减去边界层内的流 速，而亏损律是把这个差值通过摩擦速度和无 量纲离壁距离表示的函数。 对于湍流边界层的外层，因为湍流是间歇 性的，所以采用另一个分布函数形式，称为尾 迹律。 请参见Schlishting的《边界层理论》。

[5]边界层的厚度 ◎位移厚度——由于边界层的存在，实际流过 边界层内的流体质量比理想情况时的减小，其 δ 减小量为

∫ (ρ U − ρu )dy

0 0

设这个减小量与主流流过的厚度为δ 1 的流层内 的流量 ρ 0Uδ 1 相等，则

1 δ1 = ρ0U

∫ (ρ U − ρu )dy

0 0

δ

不可压流 δ

=

∫

0

u⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟dy ⎝ U⎠

这个量称为位移厚度，也称为流量损失厚度。 它表示由于边界层的存在，实际流过边界层 内流量的减少量。

位移厚度的意义在于设计流道时，实际 情况比按理想流体计算的要厚一些，这是由 于粘性的因素。这个差别量就是位移厚度。 例如设计喷管时，先按理想流体求得喷 管的理想型面，再根据沿程各站的位移厚度 得到实际的型面。 有时，计算外部无 粘流时，应该在绕流物 体壁面上加上一层位移 厚度，作为外流边界。

◎动量厚度和能量厚度 边界层的存在，同时使得流体的动量和能 量比理想情况要小，因此可以引入动量损失厚 度和能量损失厚度。 δ (ρ0 uU − ρu 2 )dy 因为边界层的存在，动量损失为∫0

δ 2 的动量为ρ 0U 2δ 2 主流在单位时间内通过某个厚度

因此动量(损失)厚度为

1 δ2 = 2 ρ 0U

∫

δ

0

ρu (U − u )dy

不可压流

=

∫

δ

0

u U

u⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ ⎝ U⎠

◎能量损失厚度 能量损失为

1 δ (ρ0 uU 2 − ρu 3 )dy 2 ∫0

主流在单位时间内通过某个厚度δ 3 的能量为

1 2 ρ 0U 3δ 3 因此能量(损失)厚度为

不可压流 δ u 1 δ δ3 = ρu (U 2 − u 2 )dy = ∫ 0 U ρ 0U 3 ∫0

⎛ u2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜ U ⎟ ⎝ ⎠

◎形状因子 工程上，常

用这些厚度的比值来刻画边界层内 的速度分布

H 12 = δ 1 δ 2

H 23 = δ 2 δ 3

H 这些参数都称为形状因子。 12 越小，边界层的形 状显得越厚。对均匀流中放置的平板，层流时 H 12 约为2.6，而充分发展的管流的形状因子 H 12 约为 H 1.4。对于湍流边界层， 12 比层流的小。

§7.2 边界层微分方程式 [1] 层流边界层 边界层方程是Prandtl根据边界层的特点，把NS方程简化得到的。 下面以忽略质量力的不可压缩粘性流体来研究 层流流动的边界层方程。

⎧ ∂Vx ∂V y ⎪ + =0 ∂x ∂y ⎪ ⎪ ∂V ∂Vx ∂Vx ∂p μ ⎛ ∂ 2Vx ∂ 2Vx ⎞ ⎪ x ⎟ + Vx + Vy =− + ⎜ 2 + ⎨ 2 ⎟ ⎜ ∂x ∂x ∂y ∂x ρ ⎝ ∂y ⎠ ⎪ ∂t ⎪ ∂V y ⎛ ∂ 2V y ∂ 2V y ⎞ ∂V y ∂V y ∂p μ ⎜ ⎟ + Vx + Vy =− + + ⎪ 2 2 ⎟ ∂y ∂y ρ ⎜ ∂x ∂y ⎠ ∂x ⎪ ∂t ⎝ ⎩

根据边界层的流动特点，上面的方程可以 进行简化。为此，来考虑N-S方程组中各项在 边界层内的量级大小。 选择来流速度V∞为特征速度、特征长度L 为基准，把N-S方程进行无量纲化。 方程中各量的无量纲化为：

x = x L , y = y L , V = Vx V∞ ,V = Vy V∞ ,

* *

* x

* y

t = tV∞ L ,

*

p = p ρV

*

2 ∞

把这些无量纲量代入N-S方程，得到

⎧ ∂Vx* ∂Vx* ⎪ =0 + ∂y ∂x ⎪ ⎪ ∂V * ∂Vx* ∂Vx* ∂p* 1 ⎛ ∂ 2Vx* ∂ 2Vx* ⎞ ⎪ x ⎟ ⎜ + Vx* * + V y* * = − * + + ⎨ * ⎜ ∂x*2 ∂y *2 ⎟ Re ⎝ ∂x ∂y ∂x ⎪ ∂t ⎠ 2 * 2 * ⎪ ∂V * ∂V y* ∂V y* ∂p* 1 ⎛ ∂ V y ∂ V y ⎞ y ⎜ ⎪ * + Vx* * + V y* * = − * + + *2 ⎟ 2 ∂y ∂x ∂y Re ⎜ ∂x * ⎪ ∂t ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎩

其中 Re = ρV∞ L μ

因为δ * = δ L ~ 1

Re ，所以当Re很大时， ∗ δ

根据这点，来估计N-S方程中的各项量级大 * x * ~ O (1), Vx ~ O (1)，这样 ∂Vx* ∂x* ~ O (1， ) 小。首先假设 又因为 y* ~ O (δ * )，所以按照连续方程，可得

V y* ~ O (δ * )

在此基础上，可以得到N-S方程中所有速度项的 量级，比如

∂V x* ⎛ 1 ⎞ ~ O⎜ * ⎟ ∂y ⎝δ ⎠

∂ 2V x* ~ O (1) 2 ∂x

∂ 2V x* ⎛ 1 ⎞ ~ O ⎜ *2 ⎟ 2 ∂y ⎝δ ⎠

把它们全部列出在N-S方程中，

∂Vx* ∂Vx* ∂Vx* ∂p* 1 ⎛ ∂ 2Vx* ∂ 2Vx* ⎞ ⎜ + Vx* * + V y* * = − * + + *2 ⎟ 2 * ∂t ∂x ∂y ∂x Re ⎜ ∂x* ∂y ⎟ ⎝ ⎠

O (1)

O (1)

O (1)

O (δ ∗2 )

O (1)

2 * 2 * ∂V y* ∂V y* ∂V y* ∂p* 1 ⎛ ∂ V y ∂ V y ⎞ ⎜ + Vx* * + V y* * = − * + + *2 ⎟ 2 ∂t * ∂x ∂y ∂y Re ⎜ ∂x* ∂y ⎟ ⎝ ⎠

O (δ ∗ ) O (δ ∗ )

O (δ ∗ )

O (δ ∗3 ) O (δ ∗ )

忽略掉所有的关于δ 的一次方(包括一次方) 以上量级的各项，保留所以的压力项，得到

∗

这就是边界层的微分方程。从此方程组的 第三个方程可见，沿边界层的横向，有 p = p ( x ) = pe ( x ) 换言之，边界层内的压力在垂直于壁面

方向上是 相等的，而且等于外缘处(无粘流)的压力。

⎧ ∂V x ∂V y + =0 ⎪ ∂x ∂y ⎪ ∂V x ∂V x ∂p μ ∂ 2V x ⎪ ∂V x =− + Vx + Vy + ⎨ ∂t ∂x ∂y ∂x ρ ∂y 2 ⎪ ∂p ⎪ =0 ⎪ ∂y ⎩

边界层外缘处的压力可用势流速度得出。 外缘处的速度也可由势流得出。根据Bernoulli方 程，有 2

pe + (1 2 )ρve = Const.

所以，也可把动量定理中的速度梯度改写成：

dve ∂p dp = = − ρve dx ∂x dx

对于绕曲面的流动，只要曲率不是很大， 就可以采用边界层流动方程，此时y轴垂直物面， 而x轴沿着物面。

[2]湍流边界层微分方程 对于湍流边界层，在按照时均量表示时， 只需要考察Reynolds应力。

⎧ ∂Vx ∂V y ⎪ + =0 ⎪ ∂x ∂y ⎪ ∂Vx ∂Vx ∂p μ ∂ 2Vx ⎛ ∂ v′2 ∂ v′ v′ ⎞ ⎪ ∂Vx + Vx + Vy =− + −⎜ x + x y ⎟ ⎨ ∂t ∂x ∂y ∂x ρ ∂y 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ∂ v′ v′ ∂ v′2 ⎞ ∂p ⎪ = −⎜ x y + y ⎟ ⎜ ∂x ⎪ ∂y ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎩

其中，时均符号“-”被省略了。

′2 = v′ v′ = v′2 根据湍流的各向同性，可认为v x x y y

但由于 x∗ ~ O (1), y ∗ ~ O (δ ∗ ), 所以可得：

⎧ ∂Vx ∂V y + =0 ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎪ ∂V ∂p μ ∂ 2Vx ⎛ ∂ v′2 ∂ v′ v′ ⎞ ∂Vx ∂Vx ⎪ x −⎜ x + x y ⎟ =− + + Vy + Vx ⎨ ∂y ⎟ ∂x ρ ∂y 2 ⎜ ∂x ∂y ∂x ∂t ⎪ ⎠ ⎝ ⎪ ∂ v′2 ∂p ⎪ =− y ⎪ ∂y ∂y ⎩

从最后一式可见，由于Reynolds应力的存在，湍 流边界层内的压力沿垂直于壁面方向有一些变化。 p = pe − ρ v′2 y

把这最后一式代入湍流边界层方程，可得：

⎧ ∂Vx ∂V y =0 + ⎪ ∂y ∂x ⎪ ⎨ 2 2 ∂Vx ∂Vx 1 dpe μ ∂ 2Vx ∂ v′ v′ ∂ v′ − v′ ∂Vx y ⎪ = + − x y− x + Vx + Vy ⎪ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x ρ dx ρ ∂y 2 ⎩

(

)

再按各向同性性质，最后一项可以忽略，所以得

⎧ ∂Vx ∂V y + =0 ⎪ ⎪ ∂x ∂y ⎨ ∂V 1 dpe μ ∂τ ∂V ∂V ⎪ x + Vx x + V y x = + ⎪ ∂t ρ dx ρ ∂y ∂x ∂y ⎩ ∂v x 是湍流中的总应力τ = μ ∂y − ρ v′x v′y ，在这

这里的τ 种写法下，层流边界层流动的微分方程也相同。

§7.3 边界层积分方程（Karman动量积分方程） [1]Karman动量积分方程 工程上,常用Karman动量积分方程来近似求解 边界层内的平均流动特性。现在来推导这个方程。 左边是从边界层 内选取的一个控制体。 其两个侧面分别垂直 于壁面，相距dx，上 面是边界层的外缘， 底面是壁面。

我们来考察沿流动方向(x轴)的动量变化。 首先考察作用在控制体上的力。 在左侧的面上，作用力为：pδ

∂ ( pδ ) ⎤ ⎡ 在右侧的面上，作用力为：− ⎢ pδ + ∂x dx ⎥ ⎣ ⎦

在上边界的面上，因为压力的变化在dx内不大， 所以以其中点值为平均压力，得作用力为：

∂p dx ⎞ ∂δ ⎛ dx ⎟ ⎜p+ ∂x 2 ⎠ ∂x ⎝

乘以后面的量表示在x方向的投影值。

− 在下边界的面上，作用力为： τ wdx τ 这里， w 是壁面切应力，它沿着x负向。

这样，作用在控制体上沿x方向的总作用力为：

∂p ⎞ ⎛ ∑ Fx = −⎜τ w + δ ∂x ⎟dx ⎝ ⎠

再来考察控制体内的动量。控制体内的总动量为： ∂ ∂⎛ δ ρv x dV = ⎜ ∫ ρv x dy ⎞dx ⎟ ∫V ⎠ ∂t ⎝ 0 ∂t

2 ρv x dy 沿左侧面流入的动量通量为：0 ∫

δ

沿右侧面流出的动量通量就可以写成：

∫

δ

0

∂ ⎛ δ 2 ⎞ ρv dy + ⎜ ∫ ρv x dy ⎟dx ⎠ ∂x ⎝ 0

2 x

底面没有流体进出。但是上边界因为不是 流线，所以必须考虑通过该面的动量通量。为 求动量通量，必须先确定出通过该面的质量流 量。

因为通过上边界的流量按照连续方程等于 从左右两侧面净流出的流量加上控制体内部的 质量变化率，即

∂ ⎛ δ ⎞dx − δ ρv dy + ∂ ⎡⎛ δ ρdy ⎞dx ⎤ ∫0 ρvx dy + ∂x ⎜ ∫0 ρvx dy ⎟ ∫0 x ∂t ⎢⎜ ∫0 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ∂⎛ δ ⎞dx + ∂ ⎛ δ ρv dy ⎞dx = ⎜ ∫ ρdy ⎟ ⎜ ∫0 x ⎟ 0 ⎠ ⎠ ∂t ⎝ ∂x ⎝

δ

∂⎛ δ ⎞dx + ∂ ⎛ δ ρv 2 dy ⎞dx − V ∂ ⎛ δ ρdy ⎞dx − V ∂ ⎛ δ ρv dy ⎞dx ⎜ ∫0 x ⎟ ⎜ ∫0 ρv x dy ⎟ ⎜ ∫0 x ⎟ ⎜ ∫0 ⎟ ∞ ∞ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂x ⎝ ∂t ∂x ∂t

因为边界层的外边界的流速为外部主流速 度V∞，所以控制体内，沿x方向上的动量变化 为：

联合上面的结果，得到控制体内沿x方向 的动量定理为：

∂p ⎞ ∂ ⎛ δ ⎛ ⎞ + ∂ ⎛ δ ρv 2dy ⎞ − ⎜τ w + δ ⎜ ∫0 x ⎟ ⎟ = ⎜ ∫0 ρv x dy ⎟ ⎠ ∂x ⎝ ⎠ ∂x ⎠ ∂t ⎝ ⎝ ∂⎛ δ ∂ ⎛ δ − V∞ ⎜ ∫ ρdy ⎞ − V∞ ⎜ ∫ ρv x dy ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ∂t ⎝ 0 ∂x ⎝ 0

这就是最一般形式的Karman动量积分方程。

定常不可压缩流动中，Karman动量积分方程 可简化为下列形式：

∂p ⎞ ∂ ⎛ δ 2 ⎞ 1⎛ ∂ ⎛ δ − ⎜τ w + δ ⎟ = ⎜ ∫0 v x dy ⎟ − V∞ ⎜ ∫ v x dy ⎞ ⎟ ⎠ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ρ⎝ ⎠ ∂x ⎝ 0

进一步，因为压力梯度项可用Bernoulli方程 与外部无粘流的参数联系，即 δ ∂p 1 δ ∂p dV∞ δ ∂p dV∞ = ∫ dy = − 即 = − ρV∞ ∫0 V∞dy dx ρ ∂x ρ 0 ∂x ∂x dx

∂ ⎛ δ ∂ ⎛ δ ⎞ = ⎜ V v dy ⎞ − dV∞ V∞ ⎜ ∫ v x dy ⎟ ∫0 ∞ x ⎟ dx ⎠ ∂x ⎝ ⎠ ∂x ⎝ 0

另外

∫

δ

0

v x dy

这样，定常不可压流体流动的Karman动量 积分方程可化为：

τw d ⎡ δ 2 ⎤ + dV∞ = ∫0 (V∞vx − vx )dy ⎥ dx ⎣ ⎦ ρ dx ⎢

∫ (V

0

δ

∞

− v x )dy

按照边界层厚度的定义，这就成为：

这就是最常用的定常、不可压流动的 Karman动量积分方程。

dV∞ τw d = (V∞δ 2 ) + δ 1V∞ dx ρ dx cf ⎛ 1 dV∞

⎞ dδ 2 τw ≡ = + (2 + H12 )δ 1 ⎜ 或 2 ⎟ ⎜ V dx ⎟ 2 ρV∞ dx ⎠ ⎝ ∞

[说明] ①上面式中的cf是沿壁面的摩擦系数，常称为当 地摩阻系数。上面同时也给出了它的定义。 ②Karman动量积分方程中共有 τ w、δ 和vx三个未 知数，V∞也通过外部主流区求得。这样方程还 缺少条件。因此求解时需要补充两个方程。 ③但更多是直接假设所求解的速度分布具有某种 形式，这是Karman的学生Polhauson使用的方 法。

[2]平板边界层的求解 1、层流 Polhauson假设：平板内的速度分布可以用多 项式表示： 2 3

u ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = a + b⎜ ⎟ + c ⎜ ⎟ + d ⎜ ⎟ V∞ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠

这样，按定义得出 δ 1,δ 2,τ w 。代入动量积分方 程。解出 δ 。

u = a + bη + cη 2 + dη 3 ，其中η 或者 V ∞

=y δ

速度分 布 f (η )

δ Re x x δ 1 Re x x

δ 2 Re x x

cf

Re x 2

η

2η − η 2

1.5η − 0.5η 2

2η − 2η 3 + η 4

5.47

1.826

0.731

0.365

sin (πη 2 )

Blasius 解

5.00

1.721

0.664

0.332

其中（当地）摩擦阻力系数为

τw cf = (1 2)ρ∞V∞2

1

总摩擦阻力定义为：

1 L CD = τ dx = ∫ c f dx 2 ∫0 w (1 2)ρ∞V∞ L L 0

L

对平板层流边界层，Blasius通过解边界层微 分方程得到的摩阻系数分别为：

c f = 0.664

Re x

C f = 1.328

Re L

2、湍流边界层 对湍流边界层，层流时所采用的速度分布和 切应力方法已经不能使用于湍流边界层了。通常 按圆管中湍流分析的结果给出平板边界层的补充 关系。 利用Prandtl的1/7次方规律计算时均速度：

u ⎛ y⎞ = ⎜ ⎟ ,4000

17

在5×105

2⎛ ν − 0.0225ρ ∞V∞ ⎜ ⎜V δ ⎝ ∞

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

14

⎡⎛ y ⎞2 7 ⎛ y ⎞1 7 ⎤ d δ = ρV∞2 ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥dy dx ∫0 ⎝δ ⎠ ⎥ ⎢⎝ δ ⎠ ⎣ ⎦

积分后整理，得 ⎛ ν − 0.0225⎜ ⎜V δ ⎝ ∞

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

14

d ⎛7 7 ⎞ 7 dδ = ⎜ δ − δ⎟=− dx ⎝ 9 8 ⎠ 72 dx

将上式分离变量，再积分得 14 ⎛ν ⎞ ⎜ ⎟ x = 3.46δ 5 4 + C1 ⎜ ⎟

⎝ V∞ ⎠

式中的C1是积分常数。由于湍流边界层的起点 及其所对应的边界层厚度均难以确定，因此直 接求解C1有点困难。

如果假设湍流起点在平板前缘处，即x=0时， δ =0，可得C1=0，这样边界层厚度为

δ x = 0.37 Re−1 5 x 采用速度的七分之一次方定律，可得位移厚度为： δ 1 x = 0.0463 Re−1 5 x

考虑到实际有层流边界层的存在，可对上 式进行修改，同时可将系数修正为更适合实验 结果的系数，将在下面的阻力系

数中给出阻力 系数的修正公式。

六、流动阻力 流动阻力主要是由摩擦阻力和压差阻力所组 成。前者是物体表面切应力在来流方向上的总和； 后者是指物体表面上的压力所引起的合力在来流 方向上的分量。 绕流中，常用两个阻力系数。一个称为当地 摩阻系数：

cf =

ρV∞2 2

τw

它反映了流体在壁面各点上的摩擦阻力大小。

另一个称为总摩阻系数。如果平板宽为b， 长为L，则总摩阻系数为： L 1 L 1 C f = ∫ c f dx = τ dx 2 ∫0 w (1 2 )ρV∞ L L 0 对前面介绍的湍流边界层，其总摩阻系数为： 0.072 Cf = 15 (Re L ) 其中，ReL是以板长定义的Reynolds数。 更精确的总摩阻系数为： 0.074 B − Cf = ,5 × 105

关于压差阻力的确定是一个困难的问题， 常常通过实验或复杂的流场计算得到。如果 按迎风面积确定的压差阻力系数为CD，则总 阻力为 1 2 FD = CD AD ⋅ ρ ∞V∞ 2 来表示。这里的AD称为物体的迎风面积，是 指物体在来流方向上的投影面积；而摩擦阻 力是： 1 2 F f = C f A ⋅ ρ ∞V∞

2

§7.5 流动的分离 沿着边界层流动方向，由于要不断地克服沿 程摩擦阻力，因此边界层内的流体要逐渐消耗掉 动能，致使边界层内的速度减少。 实际流体流过物面时，特别是弯曲或拐折的 壁面时，经常从某一点开始，边界层脱离壁面， 并产生尾迹涡，这种现象称为边界层的分离，简 称为分离。 发生分离的物理原因是有逆压梯度的存在。

以机翼绕流为例。从前驻点到最大厚度处， 边界层外主流是加速的，压力逐渐降低，压力能 转化为了动能。这称为顺压梯度区。在顺压梯度 区内，沿流动方向的作用力有助于克服壁面摩擦 力，对边界层 内的流动有增 速作用，从而 减少了边界层 厚度的增长率。

从最大厚度往后，主流是减速的，压力升 高，动能转化为压力能，称为逆压梯度区。在 逆压梯度区，沿着流动反方向的压差作用力将 对边界层内的流动有减速作用，从而增大了边 界层厚度的增长率。 如果逆压梯度很大，就能使边界层内的流 动速度逐渐地减少为零，最终导致边界层在某 处出现分离(或称为脱体)。

可见，在顺压梯度区：∂u ∂y > 0, ∂ 2 u ∂y 2

在逆压梯度区： ∂u ∂y > 0, ∂ 2u ∂y 2 > 0

因此，在分离点处，必有： ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ = 0 或 τw = 0 ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠w 请注意，这是流动分离的必要条件。 发生分离后，在物体的后面形成了分离区， 分离区将严重影响外流的边界，因此不能再认为 粘性起作用的区域只是限制在固体物面附近的一 个薄层内了，也就是说，边界层理论完全失效。 并且从上面的讨论中可知，只有在逆压梯度区域， 边界层

才可能分离。

流动分离的控制 流体机械和涉及到流体动力的问题，避免流动分 离总是十分重要的。因为流动一旦分离，流动损失是 非常大的，而且由分离还会造成其他的问题，如气动 力激振等。 对外部绕流，采用流线性的绕流物体；对内流， 控制管道的扩张角过大都是为了避免边界层分离。 除了这些被动式的分离控制外，还可以采用主动 控制技术。 流动减阻，是一个目前方兴未艾的学科领域。

习题： p.176 Ex.7-1 Ex.7-4 Ex.7-7