抛物线的焦点与准线
抛物线的焦点与准线(高中知识有关)
九上P54、活动2(新书)
一、高中知识:文科选修(1-1)P53-55;理科选修(1-1)P56-59 抛物线的几个定义:把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线.
b4acb214acb21,),准线为y公式:抛物线yaxbxc的焦点为( 2a4a4a
2
二、试题:
1、(2010黄冈市,25,15分)已知抛物线yax2bxc(a0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,),求以PM为底边的
等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
2、2012年山东潍坊市
24.(本题满分11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,0)、B(2,0)、C(0,-1)三点,过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C,D(0,-2)作平行于x轴的直线l1、l2.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),N两点到直线l2并证明M、的距离之和等于线段MN的长.
5
作垂线,4
34
3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷
24、如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线
交于M(x1,y1)和
N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0). (1)求b的值. (2)求x1•x2的值.
(3)分别过M,N作直线l:y=﹣1的垂线,垂足分别是 M1和N1.判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.
(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
4、2010年南通市中考试题(五中月考)
28.(本小题满分14分)(2010年南通市)
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与 x轴平行,O为坐标原点.
(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直
线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)
是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.
(第28题)
5、(2011-2012福州市九上期末考试题)
22.(14分)已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A
(-2,0)、B(0,1)两点,且对称轴是y轴,经过
点C(0,2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点,P、Q为抛物线yax2bxc(a0)上的两动点。 (1)求抛物线的解析式;
(2)以点P为圆心,PO为半径的圆记为⊙P,
判断直线l与⊙P的位置关系,并证明你的结论; (3)设线段PQ9,G是PQ的中点,求点G到直
线l距离的最小值。
第22题图
6、(2012四川资阳9分)抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
14
(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=
100
,求点M的坐标. 9
抛物线的焦点与准线(高中知识有关)答案
1、(2010黄冈市,25,15分)【分析】.(1)抛物线的顶点为C(1,1),可设解析式
2
为y=a(x-1)+1,又因抛物线过原点,可得a=-1,所以y=-(x-1)2+1,化简得
5
y=-x2+2x,即可求字母a,b,c的值;(2)由FM=FP,PM与直线y垂直,可得
4
5331
∴y,代入y=-x2+2x,
解得x1y,
44411
∴点P坐标为(1)或(1
,),所以分两
44
种情况,通过计算可得△PFM为正三角形;(3)由PM=PN
5
可得y,
4
3933
整理得,t22yty0,解得t1,t22y(舍
21644
3
去),故存在点N(1,),使PM=PN恒成立.
4
【答案】.(1)a=-1,b=2,c=0
55331
(2)∵FM=FP,PM与直线y垂直,∴y,∴y,
4
44111
把y代入y=-x2+2x,
解得x1∴点P坐标为(1,
)或(1,),
444
1
当点P
坐标为(1,)时,MP=MF=PF
=1,∴△PFM为正三角形,
41
当点P坐标为(1,)时,MP=MF=PF=1,∴△PFM为正三角形,
411
∴当点
P坐标为(1,)或(1,)时,△PFM为正三角形;
44
5
(3)存在,∵PM=PN,∴ y
4
25522
两边同时平方得,yy2=x1yt
162
39
∵y=-x2+2x,∴t22yty0,
216
333
解得t1,t22y(舍去),故存在点N(1,),使PM=PN恒成立.
444
【涉及知识点】二次函数,等腰三角形,等边三角形
【点评】本题是一道综合性较强的题目,第(1)问较简单,考查大多数学生的能力水平,第(2)问、(3)问较难,解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程,从而求出点的坐标,在第(3)问中要注意解关于t的字母系数方程,本题有一定的区分度.
【推荐指数】★★★★★
2、2012年山东潍坊市24.(本题满分ll分)
解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
a104a2bc
解得4 由b004a2bc
1cc1
所以y
12
x1.……3分 4
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
1212
x11,y2x21,,所以x22=4(y2+1); 44
又ON2=x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2,所以ON=2y2,又因为y2≥-l,
所以y1
所以0N=2+y2.……5分
设ON的中点E,分别过点N、E向直线l1作垂线,垂足为P、F,
OCNP2y2
, 所以ON=2EF, 22
即ON的中点到直线l1,的距离等于0N长度的一半,
所以以ON为直径的圆与l1相切.………………………………………7分
则 EF
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则MN2=MH2+NH2=(x2-x1)2+(y2-y1),
222
又y1=kx1,y2=kx2,所以(y2-y1)=k(x2-x1)
222
所以MN=(1+k)(x2一xl);
N既在y=kx的图象上又在抛物线上,又因为点M、所以kx
122
x1, 即x-4kx-4=0,4
4kk21622
所以x2k2k2,所以(x2-x1)=16(1+k),
2
2222
所以MN=16(1+k),∴MN=4(1+k)…9分
延长NP交l2于点Q,过点M作MS⊥l2交l2于点S,
则MS+NQ=y1+2+y2+2=
2222222
又x1+x2=2[4k+4(1+k)]=16k+8,所以MS+NQ=4k+2+2=4(1+k)=MN 即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长.……………………ll分
说明:本参考答案给出了一种解题方法,其它正确方法应参考本标准给出相应分数. 3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷 考点:二次函数综合题。 专题:代数几何综合题。 分析:(1)把点F的坐标代入直线可以确定b的值.
(2)联立直线与抛物线,代入(1)中求出的b值,利用根与系数的关系可以求出x1•x2的值.
222
(3)确定M1,N1的坐标,利用两点间的距离公式,分别求出M1F,N1F,M1N1,然后用勾股定理判断三角形的形状.
(4)根据题意可知y=﹣1总与该圆相切..
1212122
x11x214(x1x2)2 444
解答:解:(1)∵直线y=kx+b过点F(0,1),b=1
xx1xx2
⑵显然和是方程组
yyyy12
ykx1
12的两组解,解方程组消元得yx4
12
xkx10,依据“根与系数关系”得x1x24. 4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:
由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证
Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形. ⑷存在,该直线为y=-1.理由如下: 直线y=-1即为直线M1N1.
如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为
121
m,计算知NN1=m21
, 412m1,得NN1=NF
4同理MM1=MF.
那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=
第22题解答用图
11
(MM1+NN1)=MN,即圆心22
到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.
点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)由点F的坐标求出b的值.
(2)结合直线与抛物线的解析式,利用根与系数的关系求出代数式的值. (3)用两点间的距离公式,判断三角形的形状. (4)根据点与圆的位置判断直线与圆的位置. 4、2010年南通市中考试题(五中月考)
22.(本小题满分14分)
(1)因为当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等,故b=0. 设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=ax2+bx+c,得
1a,16ac3,
解得4
4ac0.c1.
∴这条抛物线的解析式为y=
12
x-1. 4
设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=kx+b,得
1
k,4kb3,
解得2
2kb0.b1.
∴这条直线的解析式为y=-
1
x+1. 2
(2)依题意,OA=32425.即⊙A的半径为5. 而圆心到直线l的距离为3+2=5. 即圆心到直线l的距离=⊙A的半径, ∴直线l与⊙A相切.
(3)由题意,把x=-1代入y=-
133x+1,得y=,即D(-1,).
222
由(2)中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等,且当点A成为抛物线上一个动点时,仍然具有这样的性质,于是过点D作DH⊥直线l于H,交抛物线于点P,此时易
317)此时四边形PDOC为梯形,面积为. 48
略解过程如下:(以下过程是:证明当点D、P、H三点共线时,△PDO的周长最小)
如图1,过点P作PH⊥l,垂足为H,延长HP交x轴于点G,
得DH是D点到l最短距离,点P坐标(-1,-设P(m,n)则yP∴
12
m1, 4
11
OP2OG2GP2m2(m21)2(m21)2
44
, ∴OP∵
12
m1 4
PHyPyH
121
m1(2)m21∴OP=PH 44
要使△PDO的周长最小,因为OD是定值,所以只要OP+PD最小,
∵OP=PH
∴只要PH+PD最小
根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。”可知,当点D、P、H三点共线时,PH+PD最小,
因此,当点D、P、H三点共线时,△PDO的周长最小。 5、(2011-2012福州市九上期末考试题)
22.解:(1)∵抛物线yax2bxc的对称轴是y轴,
∴b0 . ----------------------------------------------1分 ∵抛物线yax2bxc经过点A(2,0)、B(0,1)两点, ∴
c1,a
1
,-----------------------------3分 4
∴所求抛物线的解析式为
1
yx21.---------------------4分
4
12
(2)设点P坐标为(p,p1),
4
如图,过点P作PHl,垂足为H, ∵PH2(
121
p1)=p21,---6分 44112
p1)2=p21,----8分
44
OP
p2(
∴OPPH.
∴直线l与以点P为圆心,PO长为半径的圆相切. --------------------9分
(3)如图,分别过点P、Q、G作l的垂线,垂足分别是D、E、F. 连接EG并延长交DP的延长线于点K, ∵G是PQ的中点
,
∴易证得△EQG△KPG,
∴EQPK,-------------------11分 由(2)知抛物线y
12
x1上任意一点到原点O的距 4
离等于该点到直线l:y2的距离,
即EQOQ,DPOP,----------- 12分 ∴ FG
111
DK(DPPK)(DPEQ) 222
1
(OPOQ),----------13分 2
∴只有当点P、Q、O三点共线时,线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小. ∵PQ9,
∴GF≥4.5,即点G到直线l距离的最小值是4.5.---------- 14分 (若用梯形中位线定理求解扣1分)
6、(2012四川资阳9分)【答案】解:(1)∵y=x2+x+m=标为(-2 , m1)。∵顶点在直线y=x+3上,∴-2+3=m1,解得m=2。
(2)∵点N在抛物线上,且点N的横坐标为a,∴点N
@]
141
x+22+m1,∴顶点坐4
的纵坐标为a2+a+2,即点N(a,a2+a+2)。过点F作FC⊥NB于点C,在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=a2+a,
1414
14
1144
1122
而NB2a2a2)a2a)(a24a)4,
44
222
∴NF2NC2FC2 a2a)(a2)a2a)(a24a)4。
∴NF2=NB2,NF=NB。
(3)连接AF、BF,由NF=NB,得∠NFB=∠NBF, 由(2)的结论知,MF=MA,∴∠MAF=∠MFA。 ∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,
∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°
,
∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°。 ∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。 又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF。
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PFPB100
,∴PF2= PA×PB=。过点F作FG⊥x轴于点G。
PAPF9
81414
PG,在Rt△PFG
中,∴PO=PG+GO=。∴P(- , 0) 。
333
∴