浅谈如何判断一组向量线性相关
每 浅 谈 如 何 判 断 一 组 向量 线 性 相 关 ◆ 李晓颖 ( 铁岭师范高等专科学校 ) 【 摘要】向量组的线性相关性和 线性 无关性是整个 向量这章的基础 , 要想 学好 向量 , 就要 对这 两个基本 的概念 清楚的理解和记 忆, 何判 如断 向量 线性 相 关和 线 性 无 关就 成 为 学好 向 量 的 关键 。 【 关键 词】向量组线性相关性线性无关性秩 零 的 数 ,。 使 褥 , …,则 ,线 性 无 关 那 么如 何 , 纽 向 鼢 I : ( 1 如 粜 商 不 , …, ),^口 +ka +… + . : 法: 热 嘲种 方法 地 从向 髓雏l 对应 的 行钏 式 采削 断 。 l粜 以口, , 为列 向 辍组 的矩 所 [ I = 】 . … ! 阵 的 行州 武 等 j , 也 觥 挺 说它 所 列 成 的 齐 次线 性 方 程 纵 有 非 零 解 ,所 以 向 皴 组 零…=0,那 么向 醚组 , 一 线性 槲 关 .判断 嘶l 向聚 是 线性 棚荚 还 是 线 l 关 ? F 介 儿科, l 性 午美 和 线性 无 必的 方 : 无 l 定线 H,, 线 性 棚 建 。份则 , 以髓j , , 为 列 向懿组 的矩 阵 的行 州 式 蒋 攀,向艇 . … :第一种 方法是 由线 性组合判 断, 也就 是定义 法 : 如果 一组 向量 它有系 数不全 为零 的线性组合等于零 向量 , 么这组向量线 性相 关 , 那 反之 , 果一 如 组 向量只有 系数全 为零 的线 性组 合 才会等 于零 向量 。 那么这 组 向量线 性 无 关。 2 —毋 I , 线 性无 芙 { . ・ : 一,】 b 1 d 例 : 划断 向髓 绸 口 = , 6: f , d 线 性相 关 迹魁 线 性无 关 ,菇 5 ( } 一 中 ab cd备 iH , ,, 卡 嘲。线一 桐荧 还 是线 性 无 关 解: j a lc d 备 不丰 嘲 ,I 以 , , ,, , H 矧此 : 为 州 向懿 纰成 的矩 阵 A 的订 列式 而 向 例: 0i } c 脚j 组 司蓬一5 - ( 】 3 2 解 :设 存在 组数 ^,2t,4 键 衔 ^ + 2 膏 十 , 七 k 口l 十 3 4 ~0 3 3 —从衙 鳓懿 组 , , 2 —5 ( ) 一b 5榭 ” 线 性 无关 。 5 , 0 0 4 2 2 0 .1 2 3 3 - 5 3 5 例 :剐 断 阳跫 翱 口 2 hr _ — j l 妄40 t 线 , 线性 棚 关还 魁线 性无 关 , 。 罐 书 解 : 以 。i , , 为 列 向 溅 组 成 的 . 3 2 4O 3 ●1 ≈ O ~8 ~1 O 00 三2 0 0 例 : 削 断 向 髓 组 删 : nt 『= ff榭线。 f 主 关性 1111近无 。,,线 魁笑 性 : 言 f1『. 詈+兰 1『1 奎 f卜 第 珏种 方法 恐用 向艇组 的 秩来 判 断 , 如粜 向蛙 组 的秩 等 于这 个 向 敏组 夺 身所 包含 的 向髓的个数t械能衔出 , , 口 的撒夫线性无荚缎楚它翻身,所以向精组口, , 吼 …. …, 线 性桐 关 。 第六 种 方法魁 向 黼纰 z f零 阳舔 的线 性 桕 荚 p含 { 第 七种 疗法 楚 组 向髓 部分 向锵 线 性午 荚 ,则 这缀 问 髓线性 丰 关 。 H 日 E : 蹬 ‘ 向 蹴 口, , , … , /  ̄ ) 明 组 I … 口 rs ,其 中 I 2…, 线 l j , , 口 = 关. 村存诒 仝为零的 蹦数岛 …, ,使掰南 正 …+ 0 : . q+ 研 所 以 l 七 : … +^ 十2 + 0 . 十+ +O =0 -, … 1 ・ 所以向龋组 . , , 口 线性棚荚。 , , 口 …, 第八种 方法 灶 向 凝 和 向墩 对 应分 龋 成 比例 ,则 向 群和 向髓 线 性 栩关 例 断 组=吼 =线 芙 线 关 ; 向 ][ 性 还性 判 艇 I =, ]棚 是 无 , 吼 解 虑 线 ++=数 l l : : 齐 性 组 -。蛳: ・ l 考 次 方 : 鸭系 限 ; I l 一m明 : 为向 墩 卡 向 黼 对 应 分 艇成 比例 .j 以 =詹 : ¨ j 吁 , 即 Ⅱ一 =0 所 以 向燃 口乖 向豫 线 性 桐荚 。 ¨ 第 九种 方法 是利 删 阵 的 秩削 ;, 设 …纽 向 蜒 髓, …, m s个 l维 向镦所 矧 成 j 三 . 吼, 口 足 1 的 向 蹴组 ,则 向 髓蹦 的线 性棚 关 性 r 由向 锵蜘 所棚 成 的嫩 f= 秩 的火 小来 判 定。 } 矩 ) f的 9 ; } l 】 瞄 的微婶 了 时 , 向赞组 线 性无 哭 ; 矩 阵 的 秩小 予 s时 ,向鲢 纽线 性槲 炎。 : 2 例 :判 断 向辅 组 = 0 3 线 性 丰芙 还 足线 性 无关 甜{ 捋 例 0 避 { l, I 问 当 t为何值 时 ,向 封线 性 丰关 :定 纽 =l 向 l 2 =I l l 3 , m 1 『] 『 1 1 1l l j 3 j鼎: 考 虑 齐 次 线 性 方 绑 , 口: + =0 系 数 矩阵 解 髓划矩 , 纽应 2 所 的l 『 t- 『 t 1 I L 玎皑 t5I, 阳 艟组 口, , 线 性 丰 芙 ' 『 ; j l 2 } f 幽 j阶 梯 形矩 阵 的 非零 {: } : 3数 |3等于 未 知般 数 日 3 此 齐次 线 疗榭绑 职有 解 l 从 i 向撼 纽 q , , 线 l f l i = % 无关 。 嗣 第 卜 方法 是利 用 矩 阵的 特征 假 与特 征 多项 式进 行 判断 , 转向 礅缀 中 器 向 是属 l 种 阵的 删特 征 假所 埘 应的 特 艇I ,则此 向 艇翔 线性 无芙 。 ≈毓 以上是 判定向量组线性相关和线 性无关 的十种 ( 下转第 11 3 页) 0 /0 2 7 22 1 9静 都被统计在数据库 中, 根据数 据库 中的人 才缺 口信 息 , 校确定 要培 养的 学 目标 , 在低年级 的基础课完成 后 , 就可 以和招 聘企 业达成 意向 性联合 培养 4 合理配置企业的资深人士做兼职教师 聘请著名设计机构的资深人士作为设计专业 的教师在 国外很 普遍 , 国协议 , 在这一环节 , 学生在学 习理论知识 的同时 , 就可 以参 与到企业 的实际 外的大学 , 可能有 3 % 的老 师是专职任课老师 , 0 其他 7 %是外聘的 。 0 我国由 设计项 目当中, 四的实 习和毕业设计 , 以完全在企业 中完成 , 大 可 这种 模式 于教育体制 问题 , 以基本上老 师在学校 全部 都是专 职任课 的, 师由于 所 老 下, 学生相 当于提前一年在企业实 习。大 四一毕业就能胜 任工作 岗位 的要 教学任务繁重 , 他的社会实践的能力和专业化 的能力可能不如外面 的设计 求, 对学校来说 , 学校 完成 了教学 目标实现 了学生就业 , 业则获得 了具有 机构 , 企 而在 国外 , 设计教育发展 的比较成 功的 一个重要 原 因就 是大量 聘请 较强实践能力 的应届毕业生 , 短了培训 时 间, 图 1 缩 见 。研究 表 明, 业设 世界著名设计机构的资深人士做 兼职教 授 , 如, 国西北大 学的聘请 世 工 例 美 计人 力资源市场受 国内外宏 观经济形 势 、 国家 中长 期经 济发展 规划 , 用人 界著名的交互设计专家 D nN r a 做教授 。通过 大量聘 请企 业资深 设计 o o n m 单位会根据企业 自身的情况对每年 的设计 人才需求做 出相应 的调 整, 为了 师, 学生 的视野可 以大大得到开拓 , 而不仅仅局 限在课 堂 , 这对学生 的实践 适应社会发展 , 高校应 与时俱进 , 时根 据宏观经济形 势对人才培 养模式 、 动手能力提高大有好处。 及 培养方 案不断地改进 。同时优 化设置 课程 , 在专业课 程 学 习的同时 , 充分 利用实验室资源 , 通过课题组 的形式 完成专 业知识 的掌 握 , 系统 地培 养了 5 积极拓展学生校外实践基地 .设计专业是对实践要求比较高的专业 , 学校应该 以地 方经济建设 为支 产学研全方位合作项 目, 保证 高校科研 与行业发 展同 步, 紧密联 系发达地 区工业设计相关企业 , 鼓励学生到企 业实习。让更 多的学生可 以在产学研 平台下 , 通过企业和高校共同的平台下参与新产 品开发环节、 设计研究 、 设 学生合理运用 资源 的能 力, 分析 问题 和解决 问题 的能力。学校 的教学 应紧 撑 , 加强与地 区科研院所 、 企事业 单位 、 方政 府的科技 合作 与交流 , 订 地 签 密围绕用人单位的需 求, 动态 的调整 , 与时俱进。 就业市场需求驱动的工业设计人才培弊横式 … … … … … ‘ 扎盘^ 黼采球艟 ……………。’ £ 一一 ・ 熊 - 一・ 8 g ~一 - 一 ・ ・黝 : 一 计竞赛等方式使参与到产品设计的各个阶段。通过正 确的引导 , 保证理论 与实践并重 , 学科知识体系化。具体措施如 下: 嘲 图 1 就业市 场需求驱动 的人 才培 养模式 3 依托区域经济的优势 , . 通过校企联合培 养方式来提高学 生实践能 力 和创新能力 1 因材施 教 。 据不 同学生 的优 缺点 及本 人 的兴趣 爱好 , . 根 针对 性地 培养。 2 鼓励学生参加课 外学术 活动及各种设计竞赛。 . 3 把社会经济 发展对本专业人才 的要求作为培养方案的指 导方 向。 . 4 把毕业设计 题 目和用人单位实际 问题相结合。 . 5 形成用人单位和学校 互访机 制 , 态的调 整授课 内容 , . 动 以适应 当前 的就业形势。 三 、 论 结产学合作模式是 目前高校办学 的一个热 点方向 , 高校 和企 业建立产 学 研合作关系 , 是高校与企及科 研单位 相互配 合、 互惠 互利 的一种 开放式 合 作教育形式。~般是高校的学术 带头人 带领研 究生 和企业 的研 发机构 展 开合作 , 本科生参与较少 , 但工业设计专业 由于 其专业 的特殊 性 , 本科 生已 经可 以参与企业的设计项 目, 我校在近几年 和重庆的著名 汽车摩托车企 业 的科研项 目合作中 . 就有相 当数量的优 秀本科 生参与企 业的科 研项 目( 见 创意经济大背景下 , 创新是关键 , 创造性人 才的培养更是 重中之重 。 目前国 内外宏观经济对我 国制造业很不利 , 这也对工业设计 专业的就业造成 了严峻的形势 , 高校的工业设计教 育应根 据宏观 经济形势 , 调整 自己的教 学培养方案 , 以适应严 峻的就业形势 , 提高毕 业生的综合素质 。 关键提 高学 图2 , ) 这些参 与过企 业实际设计项 目的学 生的动手能力和独立思考 问题 的 能力比没有参与实际项 目的学生 明显 强 的多。重庆 当地 的工业设 计专 业 应 因地制宜 , 建立 校企 合作 的产 学研 的长效 机 制。营造 良好 的设计 学 习 氛围。 生的动手能力 , 能力, 实践 以满足用人单位需 求 , 从根本上说是提 高学生的 创新能力 , 只有这样 , 才能让 广大工业 设计专 业毕业 生具备企 业要 求工业 设计师应 具备的素质 , 从而能适应 当前的创意经济大形式。 参考文献: [] 1 肖狄虎 , 董昊 东. 业设计及 产 品差 异化 与企业 竞争战 略[ ] 求 工 J.索,0 9,0 ). 20 (7 [] 2 汤重熹. 创新设计—— “ 中国制造” 向“ 迈 中国创 造” 的突破 口[ ] J. 装 饰 ,0 7 (2). 20 ,1 [] 3 蒋剑 丰, 徐浩. 国工业设计的发展状况及对策分析[ ] 现代企业 我 J.教 育 ,0 7 (2). 2 0 ,2 图 2 学生参与的沙滩车设计项 目 [] 4 何晓佑. 步 阶段 的中 国工 业设 计教 育[ ] 创意 与设计 , 0 0 起 J. 21 ,(5 . 0) 校企合作 的产 学研教 学模式 能够扩 大实践教学 的内容与领域 , 学生 让直接从企业 的研究项 目中得到实 践经验 , 补充课 堂教 学的不 足 , 直接 获得 本 专业最前沿 的知识 , 工业设计学科 发展和企业 生产力发展具 有都重要 对 意义 : 一方面 , 企业可 以充分享用 学生 ( 括指导教 师 ) 包 所带 来的丰 富而充 满活力 的创意 ; 另一方面 , 生可 以获得很 多学里面学不到的知识。 学 [] 5 张福 昌, 何晓佑. 关于加快发展江 苏省工业设计产业的建 议[ ] 科 J. 技导报 ,0 9 (3 . 2 0 ,0 ) [] 6 林立 , 冉险生, 罗天洪. 工业设 计专业 实践 教学新模 式探 索[ ] 高 J. 等建筑教育 ,00,0 ) 21 (6 . [] 7 何晓佑. 中国制造” 向“ 从“ 走 中国创造” D] 南京艺术学院, 0 . [ . 2 7 0 ( 上接第 7 9页) 方法 , 只要 掌握 好定义 和定 理 , 活地 运用 以上 的十种 方 灵 法, 线性相 关性和线性无 关性 的难点就会很好 的突破。 参考文献 : (3 . 0) [] 2 一类 向量组线性相关性的简便判别. 数学学 习与研 究,09,0 ) 20 ( 8 [] 3 高等代数. 高等教育出版 社, 0 , 7 . 2 2() 0 [] 4 同济大学. 线性代 数. 高等教育 出版社 ,04 8 . 2 0 .9 [] 1 判断 向量组线性相关 性的另 一种方法. 四川理 工学 院学报 ,0 5, 20 0 /0 2 1 1 22 1 3