微积分基本定理
《微积分基本定理》(说课稿)
一、教材分析
1、教材的地位及作用
微积分基本定理是人教B 数学(选修2-2)第一章第4节内容,本节内容共设计两个课时,这是第二课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习,它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。
2、教学目标
根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下:
(1)知识目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会求简单的定积分。
(2)能力目标:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。
(3)情感目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。
3、教学重点、难点
重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。(根据教材内容特点及教学目标的要求)
难点:了解微积分基本定理的含义。(根据学生的年龄结构特征和心理认知特点)
——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位。
二、教法和学法
1、教法:
素质教育理论要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高。根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题,引导学生联想旧知识来解决和探索新知识,从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲,体现了学生的主体地位。
2、学法:
学法要突出自主学习,研讨发现,知识是通过学生自己积极思考,主动探索获得的,学生在教师的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法和规律进行总结,在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部到整体,特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程,培养学生学习的主动性。
三、教具
多媒体课件(可以增强课堂的趣味性,能够在动态演示中化解教学难点,有效解决教学重点,增大课堂的容量,提高课堂效率)
四、教学设想
(一)创设问题情境
问题:同学们能否用定积分的定义来求 的值?(添加一个小题目) ——让学生在动手过程中感受到“用定义”来求定积分是极其困难,激发学生寻找计算定积分新方法的认识需要和求知欲,引导学生自觉思考,主动探索新知。
(二)探索新知
我会类比于两个实数加法的逆运算是减法。乘法的逆运算是除法,而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算的,类似地提出问题:
1、求定积分运算有没有逆运算,它的逆运算我们如何去定义?
2、求导和求定积分运算是否具有以上关系呢?
——以学生现有的知识水平想到导数和定积分的内在联系是很困难的,引导学生大胆尝试,并主动探索它们之间的内在联系。
3、请同学们看教材第57页的探究,说说探究的基本思路?
——为解决教学重点和化解教学难点,提供清晰地、严密地思路,使教学重点明了、清晰化。
引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容:
①如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),那么它在时刻t 的速度是什么?
复习位移与速度之间的关系:V (t)=s′(t) ——基本定理的条件雏形。 ——联想旧知识,为解决新知作准备。
②如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生画出函数s= s(t)的图像,通过观察s= s(t)的图像或根据位移的定义探索发现并得出S= s(b)-s(a)——基本定理的右端雏形。
——让学生体会数形结合的方法,并巩固旧知识。
③如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S ?
引导学生利用导数的几何意义,从图像上直观地观察近似值的意义并用定积分得出S= V (t)dt——基本定理左端雏形。(让学生体会数形结合的方法和联想旧知识的作用。)
——在这一过程中体现了定积分的基本思想,突出了导数的几何意义,体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
探索新知这一过程其实就是解决教学重点和化解教学难点的过程中,体现了教法和学法的统一。
(三)讨论归纳
1、问题:由以上探究同学们得出什么结论?
引导学生讨论后,归纳并得出基本定理的特例:
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b ,a 处的函数值之差s(b)-s(a), 即 V (t) dt = s′(t) dt= s(b)-s(a)
——进一步突出重点,突破难点,并巩固和深化所学知识,形成基本技能,培养学生学习的主动性。
2、教师给出定理的一般形式
一般地,如果f(x)是区间[a, b]上的连续函数,并且
F′(x)= f(x),那么 f(x) dx =F(b)-F(a)(F(b)-F(a)记为F(x)| a
这个结论叫做微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式),而这个结论是对探索新知中前两个问题的完美解答。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材料,以及他们的学术成果在整个社会乃至全世界的影响,有利于丰富课堂内容。
由微积分基本定理的特例进而一般化而获得知识的方法是从特殊到一般、从局部到整体的方法,符合认识规律。把这种研究问题的方法渗透到学法中,体现了教法和学法的统一。
(四)巩固练习,强化提高,并得出结论。
1、计算 x 3dx 的值。
2、计算 的值。
1
1、∵( )′=χ3 ∴ x 3dx= | =
2、∵(1nx)′= ∴ =lnx| =ln2-ln1= ln2
第一道练习的设计是为了体现微积分基本定理的作用,第二道练习的设计是为了回答创设问题情境中的问题。
引导学生体会利用微积分基本定理求定积分的方法和关键并得出结论:
用微积分基本定理求定积分的方法比“定义法”来得更优越些,而利用基本定理求定积分的关键是求出满足F′(χ)=f(χ)的函数F(χ),而求出函数F(χ)的方法是运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(χ)。
——即能达到教学目标的要求又能进一步巩固和深化所学知识,形成基本技能,培养学生的主动探索能力。
(五)布置作业:
计算 e -x dx 与P 62习题A 组1.(4)
目的是巩固和深化所学知识,为下一节课的学习埋下伏笔,并能拓展知识和让学生联想复合函数的求导方法来解决复合函数的定积分计算,这样可以拓展学生的思维。
五、板书设计
微积分基本定理的特例
( V(t) dt = s′(t) dt = s(b)-s(a) )得出的步骤:
1、s′(t) =V(t)
2、s(b)-s(a)=S
3、 V(t) dt =S
一般形式(微积分基本定理)
b
f(x)= F(x)| a = F(b)-F(a)
(其中 F′(x)= f(x),f(x)为连续函数,x ∈[a,b])
练习:
1、 x 3dx
2、
解:1、∵( )′=X3
1
∴ x 3dx= | =
2、∵(lnx)′ =
2
1
∴ =lnx| =ln2-ln1=ln2