直角坐标系解决立体几何问题
在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。
重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。 难点：建立恰当的空间直角坐标系
关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。 Ⅰ、空间直角坐标系的建立
y . M
z
. M
y
x
平面直角坐标系
空间直角坐标系
空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:
若与的夹角为θ(0≤θ≤π), 且={x1,y 1,z 1},={x2,y 2,z 2},则 ⑴ ²=||||cosθ 或 ²= x1x 2+y1y 2+z1z 2 ⑵若a 与b 非零向量 cosθ
2． 向量的数量积的几何性质:
⑴两个非零向量与垂直的充要条件是²=0
⑵两个非零向量与平行的充要条件是²=±|||| 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。
D 1
=
x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2x +y +z ⋅x +y +z
21
21
21
22
22
22
用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角
在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，
则cos θ=|cos |=
注意, 由于两向量的夹角范围为[0︒, 180︒], 而异面直线所成角的范围为
(0︒
例1：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6, 求异面直线DA 1与AC 1的所成角；
分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。
问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？
（异面直线平移相交，求相交直线的交角） 问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？
（求向量DA 1与AC 1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系） 问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。
（以DA 为X 轴，以DC 为Y 轴，以DD 1为Z 轴） 问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？
（请学生个别回答）
例2．直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面是边长 为4的菱形, 且∠DAB=60°，AA 1=6，AC 与BC 交于E ，A 1C 1与B 1D 1交于E 1， （1）求：DA 1与AC 1的所成角； （2）若F 是AE 1的中点，
求：B 1E 与FD 1的所成角；
②直线a 与平面α所成的角θ（如图1-1）
可转化成用向量a 与平面α的法向量n 的夹角ω表示，由向量平移得：若
→
→
图1－1
图1－2
图1－3
平面
α的法向量n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具. 由n ⊥α可知，要求得法向量n ，只需在平面α上找出两
⎧→→→a ⋅n =0⎪个不共线向量a 、b ，最后通过解方程组⎨得到n .
→→⎪⎩b ⋅n =0
→
→
→
→→
例4、 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90︒，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1 与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是∆ABD 的重 心G ，求直线A 1B 与平面ABD 所成角正弦值.
x
例8. 三棱柱OAB -O 1A 1B 1，平面O B B 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB =60︒，
∠AOB =90︒且OB =OO 1=2，OA =3，求：二面角O 1-AB -O 的余弦值大小.
B 1
例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —A
BCD 中，AD//BC，∠A BC=900，
11
S A ⊥面A BCD ，S A =，A B=BC=1，A D=。求侧面SCD 与面SB A 所成的二面
22
角的余弦值大小。
用向量解决距离问题
①两点A , B 间距离|AB |
由AB =AB ⋅AB 可算出；
−−→
→
→
−−→
2
−−→
2
−−→−−→
→2
→2
→→
⎛⎫⎛⎫
若AB =a +b ，则由数量积得AB = a ⎪+ b ⎪+2a ⋅b ，
⎝⎭⎝⎭
若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式. ②点P 到直线AB 的距离
过点P 作直线AB 的垂线PD ，垂足为D ，则由PD ⊥AB 且点A , B , D 共线得
PD ∙AB =0, AD =λAB ，解出D 点后再求|PD |。
C (0, 2, 0)，例1、直角坐标系中的三点A 0, 1, ，求点A 到直线BC B , 0, 0，的距离。
解：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H 设BH =λBC ，∵BC =-3, 2, 0
∴BH =λ-3, 2, 0=-3λ, 2λ, 0，则H 点坐标为∴AH =
−−→−−→
−−→
())
−−→
()
−−→
()()
-
, 2λ, 0
-3λ, 2λ-1, -，又∵AH ∙BC =0，
)
−−→−−→
−−→−−→⎛233⎫5 ⎪, , -⎪，AH =∴-3+3λ+4λ-2=0，λ=，∴AH =
777⎝⎭
24
7
③异面直线a 、b 的距离
−→⎧→−
a ⋅EF =0
b 的公垂线段EF （E ∈a 、F ∈b ）可先设a 、，再由垂直向量性质得⎪，⎨→−
−→
⎪b ⋅EF =0⎩
从而得到E 、F 的坐标，最后算出所求EF .
例2、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为1，求异面直线A 1C 、BD 的距离？
分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好. 建立直角坐标系，设EF 是所求的公垂线，令BE =λBD 、
A 1F =k A 1C ，则BE =λ(-1, 1, 0)、E 的坐标为(1-λ, λ, 0)，
−−→
−−→
−−→
−−→−−→
−−→
同理F (k , k , 1-k )，再由EF ⋅BD =0、EF ⋅A 1C =0，算得
−−→−−→12λ=、k =，最后算出EF 、EF =. 236
−−→−−→−−→−−→
这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧. ④点P 到平面α的距离h
先设平面α的斜线为PA (A ∈α)，再求α的法向量n ，运用向量平移，不
→
→
难得到推论“h 等于PA 在法向量n 上的射影PA
⋅
−−→→−−→
n n
→
最后由此算出所求距离.
例3、正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =1，
AA 1=2，E 是CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，
设平面BDE 的法向量为n =(x , y , z ) ，
−→⎧→−→⎧y +z =0n ⋅DE =0⎪由⎨，得⎨；令y =1，得法向量n =(-1, 1, -1) →−−→
⎩x +y =0⎪n ⋅DB =0
⎩
→
∴D 1E 在n 上的投影为D 1E ⋅
−−→→
→
−−→
n n
→
=
2323
，∴点D 1到平面BDE 的距离为. 33
此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。
④两平行平面α, β之间的距离
由平行平面间的距离定义知道，平面α上任意一点A 到β的距离就是α到β的距离，因此，我们也可把α到β的距离转化为A 到β的距离，运用求点与面距离的方法来求。
1、(2011年高考陕西卷理科16) （本小题满分12分） 如图：在 ABC 中, ∠ABC=60, ∠BAC=90,
AD 是BC 上的高，沿AD 把 ABD 折起，
使∠BDC=90（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
（Ⅱ）设E 为BC 的中点, 求AE 与DB 夹角的余弦值。
2、(2011年高考北京卷理科16) （本小题共14分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面
ABCD 是菱形，AB =2, ∠BAD =60 .
(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC ;
（Ⅱ）若PA =AB , 求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
3、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。
分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。