涉及三个连续自然数的整除问题
涉及三个连续自然数的整除问题
陕西省小学教师培训中心 王凯成 赵熹民
题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。
题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。
题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。如何解决这类问题呢？
例1 见题1
解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。以中间数的个位数字是0或5为突 破口。
谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。
100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。
23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。
故159、160、161是符合条件的一组数。
在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？
3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k 只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。
例2 见题2
解：能被
0或5。
从1919的个位数字是7。
随便取一个数试验。
88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除) ，1672+190=1862， 3整除1860，但17不整除1861。再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除) 。
1862+570=2432，此时恰好17整除2431。
故2430、2431、2432是符合条件的一组数。
由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k (k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。
例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。
解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什
么不会是9、0、1呢？) 。
从7入手。只有□8×7的个位数是6。
400÷7=57……1
58×7=406，因最小数被6整除，它必被3整除，但3不整除404，调整。给404加上70的若干倍。
404+70=474，3整除474, 2整除474，故6整除474。
474、475、476是符合条件的一组数。
以上三例体现了解决这类问题的一般方法：
首先，根据题意确定三个连续自然数的个位数字。
其次，从个位数字入手试验，先满足一个整除条件(除数最大) ，经试验分析调整，直到满足其它整除条件为止。
涉及三个连续自然数的整除问题都可以转化为孙子问题。
题1可转化为：一个自然数(题1中的最大数) 大于100，小于200，它被7除余0，被5除余1，被3除余2。求此数。
题2可转化为：一个自然数(题2中的最大数) ，它被19除余0，被17除余1，被15除余2。求此数。
对于孙子问题可用孙子定理来解，但对一个具体问题未必简单。
本文发表于中国教育学会主办的《中小学数学 小学版》1996年第3期。