[第六章 近独立粒子的最概然分布]作业评讲
《第六章 近独立粒子的最概然分布》作业评讲
习题6.1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒
子的量子态数为：D (ε) d ε=
2πV εd ε ()⋅2m
h 3
证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。 在六维相空间，相体积元d τ=dxdydzdp x dp y dp z 内的微观量子态为：
d τdxdydzdp x dp y dp z
= 33h h
体积V =L 3内，动量在范围P x ~P x +dP x , P y ~P y +dP y , P z ~P z +dP z 的自由粒子量子态数。
⎰⎰⎰
V
dxdydzdp x dp y dp z
h 3
=
Vdp x dp y dp z
h 3VP 2sin θdPd θd ϕ
=
h 3
对θ, ϕ积分, 可得体积V =L 3内自由粒子动量大小在P ~P +dP 范围的量子态
⎰⎰
2ππ
VP 2sin θdPd θd ϕVP 2dP
=4π 33
h h
1
P 21-
由ε=进行变量代换：P =(2m ε) ，dP =(2m ) ⋅ε2d ε
2m 2
代入上式可得：在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：
D (ε) d ε=
2πV εd ε ()⋅2m
h 3
其中D (ε) 为在ε到ε+d ε的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度 证毕。
习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量
范围内，量子态数为：
2L ⎛m ⎫D (ε) d ε= ⎪d ε
h ⎝2ε⎭
证明：一维粒子局域于宏观长度L 内运动，其能量值和动量值是准连续的。
在二维相空间，相体积元d τ=dxdp x 内的微观量子态为：
d τdxdp x
= h h
在长度x =L 内，动量在范围P x ~P x +dP x 的自由粒子量子态数。
dxdp x Ldp x
=⎰h h L
对p x 在范围-P -dP ~-P 及P ~P +dP 积分, 可得在长度x =L 内，自由粒子动量大小在P ~P +dP 范围的量子态
p +dp Ldp Ldp x 2Ldp x
+= ⎰-p -dp h ⎰p h h -p
P 21-2
P =(2m ε) 由ε=进行变量代换：，dP =(2m ) ⋅εd ε
2m 2
1
代入上式可得：长度x =L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，一维自
2L ⎛m ⎫由粒子的量子态数为：D (ε) d ε= ⎪d ε
h ⎝2ε⎭
习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量
范围内，量子态数为
2πL 2
D (ε)d ε=2md ε
h
证明：二维粒子局域于宏观面积L 2内运动，其能量值和动量值是准连续的。
在四维相空间，相体积元d τ=dxdydp x dp y 内的微观量子态为：
d τdxdydp x dp y
= 22h h
面积S =L 2内，动量在范围P x ~P x +dP x , P y ~P y +dP y 的自由粒子量子态数。
⎰⎰
L
2
dxdydp x dp y
h 2
=
L 2dp x dp y
h 2
L 2PdPd ϕ
=
h 2
对ϕ积分, 可得在面积L 2内，自由粒子动量大小在P ~P +dP 范围的量子态
⎰
2π
L 2PdPd ϕL 2PdP
=2π 22
h h
1
P 21-2
由ε=进行变量代换：P =(2m ε) ，dP =(2m ) ⋅εd ε
2m 2
代入上式可得：面积S =L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内, 二维自由粒子的量子态数为：
2πL 22πmL 2D (ε)d ε=2PdP =
h h 2
2πm L 2
⇒D (ε)= 2
h
⎛P 2⎫2πmL 2d 2m ⎪⎪=h 2d ε ⎝⎭
习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=cp 。试求在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。 解：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。 在六维相空间，相体积元d τ=dxdydzdp x dp y dp z 内的微观量子态为：
d τdxdydzdp x dp y dp z = 33h h
体积V =L 3内，动量在范围P x ~P x +dP x , P y ~P y +dP y , P z ~P z +dP z 的自由粒子量子态数。
⎰⎰⎰
V
dxdydzdp x dp y dp z
h
3
=
Vdp x dp y dp z
h 3VP 2sin θdPd θd ϕ
=3
h
对θ, ϕ积分, 可得体积V =L 3内自由粒子动量大小在P ~P +dP 范围的量子态
⎰⎰
2ππ
VP 2sin θdPd θd ϕVP 2dP
=4π 33
h h
由粒子的能量动量关系为ε=cp 进行变量代换：ε=cp ⇒d ε=cdp ， 代入上式可得：在极端相对论情形下, 在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：
4πV 24πV ε2
D (ε) d ε=3p dp =3
h (hc )
4πV ε2
于是， D (ε) =
(hc ) 3
第六章 近独立粒子的最概然分布(补充例题)
[例1]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、ω、2ω、3ω、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量3ω相联系的是什么样的分布？并根据公式ΩM.B =
N!
ωl a l 计算每种分布的微观态数∏a l ! l
l
。 ΩD , 并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）（2）、在题（1）中，如0和ω两能级是非简并的，而2ω和3ω两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。 解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级 ε1, ε2, ε3，ε4, 能量值 0, ω, 2ω,3ω
1 , 简并度 1, 1, 1，
分布数 a 1, a 2, a 4,
分布{a l }要满足的条件是：
∑a l =N =6， ∑a l εl =E =3ω
l
l
满足上述限制条件的分布可以有： D 1:{a l }={5, 0, 0, 1, 0 }
D 2:{a l }={4, 1, 1, 0, 0 }
D 3:{a l }={3, 3, 0, 0, 0 }
则各分布所对应的微观态数为：
ΩD 1=
6! 6! 6! ⨯1=6 ΩD 2=⨯1=30 ΩD 3=⨯1=20 5! 4! 3!3!
所以此种情况下体系的总的微观状态数为Ω总=Ω1+Ω2+Ω3=56 各分布的几率为：
P D 1=
ΩD 1Ω总
ΩD 230ΩD 3206==0. 107 P D 2===0. 536 P D 3===0. 357 56Ω总56Ω总56
（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级 ε1, ε2, ε3，ε4, 能量值 0, ω, 2ω,3ω
10 , 简并度 1, 1, 6，
分布数 a 1, a 2, a 4,
分布{a l }要满足的条件是：
∑a l =N =6， ∑a l εl =E =3ω
l
l
满足上述限制条件的分布可以有： D 1:{a l }={5, 0, 0, 1, 0 }
D 2:{a l }={4, 1, 1, 0, 0 }
D 3:{a l }={3, 3, 0, 0, 0 }
则各分布所对应的微观态数为：
ΩD 1=
6! 6! 6! ⨯10=60 ΩD 2=⨯6=180 ΩD 3=⨯1=20 5! 4! 3!3!
所以此种情况下体系的总的微观状态数为Ω总=Ω1+Ω2+Ω3=260 各分布的几率为：
P D 1=
ΩD 1Ω总
=
ΩD 2180ΩD 36020
=0. 230 P D 2===0. 69 2 P D 3===0. 07 7260Ω总260Ω总260
[例2]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’. 粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：
a l =ωl e -α-βεl 和a '
l
''
=ωl e -α-βεl
其中εl 和εl '是两种粒子的能级，ωl 和ωl '是能级简并度。 证： 粒子A 能级，粒子数分布：εl ——{a l }——简并度ωl 粒子B 能级，粒子数分布：εl '——{a ’l }——简并度ωl ' 体系两种粒子分布要满足的条件为： ∑a l =N ，∑a l '=N ' ∑a l εl +∑a l 'εl '=E
l
l
l
l
分布{a l }，对应的微观状态数为
Ω1=
N!
ωl a l ∏a l ! l
l
分布{a l '}，对应的微观状态数为
N '! a l '
' Ω2=ω∏l
'a ! l l
l
则系统的微观态数为Ω=Ω1⋅Ω2
上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。
在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件∑a l =N ，∑a l '=N '
l
l
∑a ε+∑a 'ε'=E 下使ln Ω=ln Ω
l l
l l
l
l
l
1
利用斯特林公式可得： ⋅Ω2为极大的分布。
由
l
l
l
ln Ω=ln Ω1⋅Ω2=N ln N -∑a l ln a l +∑a l ln ωl +N 'ln N '-∑a l 'ln a l '+∑a l 'ln ωl '
δln Ω1⋅Ω2=0，得
⎛a l
δln Ω1⋅Ω2=-∑ln ω
l ⎝l
⎫⎛a l '⎫
⎪⎪δa l -∑ln ω'⎪⎪δa l '=0 l ⎭⎝l ⎭
而由限制条件可得：
∑δa
l
l
=0，∑δa l '=0
l
∑εδa +∑ε'δa '=0
l
l
l
l
l
l
引入拉氏不定乘子α，α'，β，得
⎛a l ⎫⎛a l '⎫⎛⎫
⎪ ⎪'''δln Ω1⋅Ω2-α∑δa l -α'∑δa l '-β ∑εl δa l +∑εl 'δa l '⎪=-∑ ln +α+βεδa -ln +α+βεl ⎪l ∑ l ⎪δa l =0 ω'ωl l l l l ⎝l ⎝⎝l ⎭l ⎭⎭
根据拉格朗日未定乘子法原理，每个δa l 及δa l '的系数都等于零，所以得：
ln a l
ωl
a l '
ln ωl '
⎫
+α+βεl =0⎪
⎪⎧a l =ωl exp [-α-βεl ] ⎬⇒⎨
''''a =ωl exp [-α-βεl ]+α'+βεl '=0⎪⎩l
⎪⎭
讨论：
（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的α，
α'不同，但有共同的β，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具
有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的β
（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的β是相同的，
由此可见，参数β是一个与温度有关的量。
[例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’. 粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。如果粒子玻色子或费米子。试导出，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别。
解： 考虑一般性，系统由N 个玻色子和N ’. 个费米子组成，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{a l }和{a l '}必须满足
∑a
l
l
=N ，∑a l '=N ' ∑a l εl +∑a l 'εl '=E
l
l
l
才有可能实现。
玻粒子A 能级，粒子数分布：εl ——{a l }——简并度ωl 费米粒子B 能级，粒子数分布：εl '——{a ’l }——简并度ωl ' 玻色子处于分布{a l }时，对应的微观状态数为
Ω=∏
l
(ωl +a l -1)!
a l ! ωl -1!
费米子处于分布{a l '}时，对应的微观状态数为
Ω'=∏
l
ω'! l
a l '! ωl '-a l '!
则系统的微观态数为Ω(0)=Ω⋅Ω'
上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。
在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件∑a l =N ，∑a l '=N '
l
l
∑a ε+∑a 'ε'=E 下使ln Ω()=ln Ω⋅Ω'为极大的分布。利用斯特林公式可
l l l l
l l
得：
ln Ω(0)=ln Ω⋅Ω'
=∑[(ωl +a l )ln (ωl +a l )-a l ln a l -ωl ln ωl ]+∑[(ωl '-a l ')ln (ωl '-a l ')-a l 'ln a l '+ωl 'ln ωl ']
l
l
由δln Ω⋅Ω'=0，得
δln Ω⋅Ω'=∑
l
ln (ωl +a l )ln (ωl '-a l ')
a l +∑a l '=0
'a l a l l
而由限制条件可得：
∑δa
l
l
'=0 =0，∑δa l '=0 ∑εl δa l +∑εl 'δa l
l
l
l
引入拉氏不定乘子α，α'，β，得
⎛⎫
δln Ω⋅Ω'-α∑δa l -α'∑δa l '-β ∑εl δa l +∑εl 'δa l '⎪
l l l ⎝l ⎭
''⎡(ω+a )⎤⎡(ω-a )⎤
=∑⎢ln l l -α-βεl ⎥δa l +∑⎢ln l l -α'-βεl '⎥δa l '=0
a l a l 'l ⎣l ⎣⎦⎦
根据拉格朗日未定乘子法原理，每个δa l 及δa l '的系数都等于零，所以得：
ln
(ωl +a l )
a l
-α-βεl =0⇒a l =
ωl
e α+βεl -1
ln
(ωl '-a l ')
a l '
-α'-βεl '=0⇒a l '=
ωl '
e
α'+βεl '
+1
拉氏不定乘子α，α'，β由限制条件
∑a
l
l
=N ，
∑a '=N '
l l
∑a ε+∑a 'ε'=E 确定。
l l
l l
l
l
上式表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α，α'不同，但
β相等。