高等光学教程-第2章参考答案

第二章 干涉理论基础和干涉仪

2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm，其谱线宽度为10

4

nm，光电接

收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为l，则l由探测器接受灵敏度N所决定，2lN

 l

N

2

0.032m （32nm）

一次测长量程lM由相干长度lc所决定，2lMlc

 lM

112

lc2m 22

2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色，

解释为什么油膜较厚时彩色消失。

解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超

过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。

2.3计算下列光的相干长度

(1)高压汞灯的绿线，546.1nm(2)HeNe激光器发出的光，633nm解答：计算相干长度

5nm

1MHz

2

（1） Lc59.6m

c

（2） Lc300m



2.4在杨氏双缝实验中

（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。

（2）若以直径为0.1mm的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于

1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设=550nm 解答：（1） II02I02I02I0cos

V

（2）由(2-104)式 P0

b

d

b

dP0



b0.182M



2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p，光源波长为5893A，针孔P1、P2大小相同，相距为d，Z0=1m， Z1=1m

（1）当两孔P1、P2相距d=2mm时，计算光源的宽度由p=0增大到0.1mm时观察屏上可见度变化范围。

（2）设p=0.2mm，Z0、Z1不变，改变P1P2之间的孔距d，当可见度第一次为0时 d=? （3）仍设p=0.2mm，若d=3mm， Z01m.求0面上z轴附近的可见度函数。

图p2-5

pdsin

pdZ0

sinc解答：（1）由(2-106)式 V

pdZ0Z0

（2）由(2-107)式 d

0.82

Z0

2.95mm p

sin

（3） V

pdZ0

pdZ0



sin3.19

4.76103 3.19

2.6 有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位10200，

偏振方向均垂直于xoy平面，这两束光的入射方向与x轴的夹角大小相等（如图p2-6所示），对称地斜射在记录面yoz上，光波波长为633nm。

(1) 作出yoz平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。 (2) 当两束光的夹角10和30时，求yoz平面上干涉条纹的间距和空间频率。 (3) 设置于yoz平面上记录面感光物质的空间分辨率为2000条/mm，若要记录干涉条

纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角最大不能超过多少度。

图p2-6-1

解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距

d



2sin

（1） 在yoz平面上干涉条纹的大致形状如图p2-6-2所示。

图p2-6-2

（2）两光束夹角110时，15，

d1



2sin1



0.633m1

3.63mf276条/mm  ， 1

2sin5d1

两光束夹角230时， 215，

d2



2sin2



0.633m1

1.22m ， f820条/mm 2

d22sin15

（3） 由

10

和633nm计算得到78.5 mm

20002sin2

与z轴夹角分别为、0、。2.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与xz平面平行，

光波波长为，振幅之比A1:A2:A31:2:1。设它们的偏振方向均垂直于xz平面，在原点o处的初相位1020300。求在z0的平面上 (1) 合成振幅分布

(2) 光强分布 (3) 条纹间距

图p2-7

解答：

（1）三束光在xoy平面上的复振幅分布分别为

U1(x,y)Aexp(jkxsin)U2(x,y)2A

U3(x,y)Aexp(jkxsin)

总的复振幅分布

U(x,y)U1U2U32A1cos(kxsin)

（2）在xoy平面上光强分布

I(x,y)U(x,y)

2

4A21cos(kxsin)2

2

ksin

2.8 如图p2-8所示，S为一单色点光源，P1、P2为大小相同的小孔，孔径间距为d，透镜的半径为a，焦距为f，P1、P2关于z轴对称。

（1）若在观察平面上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？

（2）当观察屏的位置由Z=0开始增大时，求面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条

纹总数与Z的关系。

（3）条纹间距 x

图p2-8-1

解答：

图p2-8-2

由P1P2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与z轴的夹角大小为，两束光重叠区域z坐标的最大值为Z0。当观察屏由z0开始向右移动时屏上干涉区域的横向宽度为X。

（1） sin条纹垂直于纸面，间距

d(d4f)

2

21/2

l

（2）



2sin





2d

(d24f2)1/2

Z0

2afaa



dtgd2f

增至zZ0时条纹消失，由

1

XZz0 aZ0

当0

2(Z0z)ad

2az

Z0f

2a

dzf

条纹总数

N

X 

l(d24f2)1/22d

2.9 在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以45角入射。对于以下两种

情况，求电能密度的时间平均值

(1) 入射光的偏振方向垂直于入射面； (2) 入射光的偏振方向平行于入射面；

(3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中乳胶膜与镜M成角时，求乳胶膜F上条纹的间距。

图p2-9 维纳驻波实验

解答：

(i)

（1）入射光的偏振方向垂直于入射面时E0//0，在入射角45时由（2-41）式给出

Ex0Ey

(i)

2E0

2

sinkzexp2

2 jtkx

22

Ez0

所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿z方向是周期变化的。由（1-81）式，电能

密度的时间平均值

0n21(i)*

Re(EE*)0n2E0Re(ED)

44

2



 sin22kz



结果与坐标z有关，与坐标x、y无关。

(i)

（2）入射光的偏振方向平行于入射面时，E00，在入射角45时，由（2-41）式给

出

ExEy0

(i)

2E0//

2

sinkzexp22jtkx

22

2(i)cosexpEz2E0kz//2



由（1-81）式电能密度的时间平均值

2jtkx2

0n20n20n2(i)1****

Re(ED)E0//Re(EE)(ExExEzEz)

4442

经时间平均后电能密度与z无关。

2

（3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时，与z无关因而感光乳胶在曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时，与z有关，与x、y无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。

2



2sin2

考虑到乳胶膜与镜M成角，在乳胶膜上得到的条纹的间距

干涉条纹的间距 d





D

d2



sin2sin

2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为1和2的光，光强均为I0，双孔距离为d，孔所在的屏与观察屏的距离为D，求： （1）观察屏上条纹的可见度函数。

（2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。

（3）设1=5890A，2=5896A,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。 解答：





2d2d

（1）I1(x)2I0 ， xIxIx1cos()21cos20 DD12

dd

 I(x)I1(x)I2(x)4I01coskxcoskx

DD

其中 k1

2

1

， k2

2

2

图p2.10

dd

2kk1k2以及kk1k2，I(x)表达式中有一个函数coskxcoskx，它是周

DDkdxkd

期函数cos被一个cos

DD



x

的振幅包络所调制的结果(见图P2-10)， 条纹的可见度 

d

V(x)coskx

D

（2）可见度变化周期 lT



d

kD



D

kd

条纹间距为 l

22D

 dkdkD

在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为N，则有

D

N

lT(x)kdk



2D2k2l

kd

式中 21 （（3）由k



2N

）

d

x，得 D2

x

D

2dk

48.23mm （可见度函数第一次为0）

由k

d

x，得 D2

x

D

2dk

49m （条纹第一次消失）

2.11 光源的光谱分布规律如图p2-11所示，图中以波数k作为横轴，波数的中心值为k0在光谱宽度k范围内F(k)不变，将

从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 相遇

时的偏振方向相同，光程差为S，试求：

（1）两光束干涉后所得光强的表达式I(S) （2）干涉条纹的对比度V(S)

（3）对比度V的第一个零点所对应的S？

图p2-11

解答：两束光的每一束在dk范围内光的强度为

Idk

I1I20 ， kS

2k

Idk

（1） dI(x)I1I22I1I2cos20(1coskS)

2k

S

ksink0k2dk2 I(x)I0(1coskS)I01cosk0S Sk0k2k

k2



kSsin2

（2）可见度 kk0 V()

2

2

（3）第一个零点处sin(k2)0，由这一关系式得到|S|

2.12 如图p2-12所示，一辐射波长范围为、中心波长为的准单色点光源S置于z轴上，

与透镜La相距fa（fa为La的焦距）在与z轴相垂直的屏0上有两个长狭缝S1、S2，它们垂直于纸面对称放置，透镜Lb紧靠在0在Lb的后焦面上观察干涉条纹，当X由0增大时求条纹第一个零点所对应的X值。

图p2-12-1

解答：

图p2-12-1

方法一 dsinLc ， d

fb  ， Xfb

dd2

dkS方法二 Sd 即  ，d ，

22

2fb

Xfb

d

2.13 图p2-13所示是一个由光波导制成的马赫—曾特尔干涉仪。它由三个部分组成：第I

部分是对输入信号进行分路的耦合器，耦合器的长度为d；第II部分是长度相差L的

两条波导，它们的折射率n1n2neff；第III部分与第I部分的结构和功能相同，也是一个耦合器，其作用是将信号进行复合。以下讨论中不计光在波导中的传输损耗。耦合区长度为d的耦合器传输矩阵为

cosd

Mcoupler

jsindjsind

cosd

式中为常数。图p2-13中第II部分的传输矩阵为

L

exp0jk2 MII

L0expjk2

(1) 若I、III部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能，试证明它的传输矩阵为 M

11j

 2j1

(2) 设频率附近有频率相差（）的两个单色光信号Ein,1、Ein,2分别从图p2-13

中左端的两个入口处输入，在进入端口时它们的初始相位相同。若要全部光功率只在右端

的同一个端口，如端口

2

探测到，求干涉仪两臂差应满足的条件。

图p2-13

2.13解（1）对于一个平分功率的3dB耦合器来说，传输矩阵Mcoupler中d



4

，因此有

Mcoupler

11j 2j1

（2）两个臂的输出光场Eout,1和Eout,2与输入场Ein,1和Ein,2的关系为

Eout,1Ein,1

MEE （P2.13-1）

out,2in,2

kLkL

sincosM1222 jM22coskLsinkL

22

（P2.13-2）

图P2-13所示的结构就构成了一个复用器，设波长为1的光从Ein,1处注入，波长为2的光从Ein,2处注入。利用（P2.13-1）式得到输出场Eout,1和Eout,2分别是两个输入场单独分布时的总和：

M11

式中 MMcouplerMMcoupler

M21

kLkL

Eout,1jEin,1(1)sin1Ein,2(2)cos2 （P2.13-3a）

22kLkL

Eout,2jEin,1(1)cos1Ein,2(2)sin2 （P2.13-3b）

22

（j1 , 2）。输出光功率 式中kj2neffj，

Pout,1Eout,1

2

kLkL

sin21Pin,1cos22Pin,2 （P2.13-4a）

22kLkL

cos21Pin,1sin22Pin,2 （P2.13-4b）

22

Pout,2Eout,2

2

式中Pin,jEin,j2，（j1 , 2）。在推导以上两式时，由于交叉项的频率是光载波频率的两倍，光探测器不能响应，因而在式中没有写出该项。由以上两式可以看出，若要全部光功率只在右端的同一个端口如端口2探测到，需要有k1L2及k2L2，或者

11(k1k2)L2neffL （P2.13-5） 12

因此干涉仪两臂的长度差应满足

111L2neff21c2neff （P2.13-6）

式中是由端口入射的两光波之间的频率差。

2.14 一直径为1cm单色扩展圆形面发光光源，面上各面元发出的光波相互独立，如果用干

涉孔径角来量度的话，其空间相干范围是多少弧度？如果用相干面积量度, 求离光源1m远处的相干面积有多大？10m远处的相干面积有多大？ 设光源波长0.55m。 解答：光源线度P1cm，由(2-119)式，Ad，对于角直径为的均匀圆盘光源

A1.22  pp1.221.22    dbdb

d1.221.220.55m0.67105rad bp1cm

相干面积计算的准则，参考(2-109)式所下的定义，由

P0b

ddb

P0  d22b2P02

在近似估计时所采用将线度平方的方法，根据这一方法，对于圆形光源由

(1.22b)2(1.22b)2d1.222d  Ac 2bPA4Ps

当b1m时， Ac4.510m

当b10m时 Ac4.510m

2.15 (1)什么是定域条纹，什么是非定域条纹。

(2)结合图2-30说明对于一个楔角很小的平面劈如何确定以S为中心的扩展光源产生的定域条纹的位置。

(3)在图2-32所示的情形中，若入射的平行光垂直于劈角0的尖劈表面，问干涉条纹定域在什么位置。

提示：（1）参考教材§2-6中有关部分。 7922

（2）参考教材§2-6中图2-30及其说明

（3）定域在尖劈的上表面