[2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵]教案3
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2
教学目标
1. 了解行列式产生的背景；
2. 经历引入二阶行列式的过程；
3. 掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．
教学重难点
二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．
教学过程
典型例题
⎡32⎤例1 求矩阵A =⎢⎥的逆矩阵.(2009江苏卷) 21⎣⎦
⎡x y ⎤⎡32⎤⎡x y ⎤⎡10⎤, 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎢则⎥⎢21⎥⎢z w ⎥=⎢01⎥, z w ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎧3x +2z =1, ⎧3y +2w =0, ⎡3x +2z 3y +2w ⎤⎡10⎤=, 即⎢故 ⎨⎨⎥⎢01⎥2x +z 2y +w 2x +z =0, 2y +w =1, ⎣⎦⎣⎦⎩⎩
解得：x =-1, z =2, y =2, w =-3，
⎡-12⎤从而A 的逆矩阵为A -1=⎢⎥. 2-3⎣⎦
⎡d ⎢ad -bc ⎡a b ⎤-1或由逆矩阵知识A =⎢⎥则A =⎢-c c d ⎢⎣⎦⎢⎣ad -bc -b ⎤ad -bc ⎥⎥直接可得答案． a ⎥ad -bc ⎥⎦
例2 已知曲线C ：xy =1
将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转450后，求得到的曲线C ' 的方程；
⎡cos 45解：由题设条件，M =⎢0⎣sin 45
⎡x ⎤⎡x ' ⎤T M :⎢⎥→⎢⎥=⎣y ⎦⎣y ' ⎦0-sin 45⎤=0⎥cos 45⎦02-2⎥，
⎥⎥⎦+y ， y ⎡x ⎤⎥⋅⎢y ⎥=⎥⎣⎦⎥⎦⎧⎤y ⎥⎪x ' =⎥，即有⎪⎨⎥⎪y ' =y ⎥⎪⎩⎦
⎧⎪x =⎪解得⎨⎪y =⎪⎩x ' +y ') ，代入曲线C 的方程为y ' 2-x ' 2=2。 y ' -x ') 所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转450后，得到的曲线是y 2-x 2=2。
⎡2a ⎤例3已知矩阵M =⎢⎥，其中a ∈R ，若点P (1,-2) 在矩阵M 的变换下得到点P '(-4,0) ， 21⎣⎦
（1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
⎡2a ⎤⎡1⎤⎡-4⎤解：（1）由⎢⎥⎢-2⎥=⎢0⎥， ∴2-2a =-4⇒a =3. 21⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡23⎤（2）由（1）知M =⎢⎥，则矩阵M 的特征多项式为 21⎣⎦
f (λ) =λ-2
-2-3=(λ-2)(λ-1) -6=λ2-3λ-4 λ-1
令f (λ) =0，得矩阵M 的特征值为-1与4.
⎧(λ-2) x -3y =0⇒x +y =0 当λ=-1时， ⎨-2x +(λ-1) y =0⎩
⎡1⎤∴矩阵M 的属于特征值-1的一个特征向量为⎢⎥; ⎣-1⎦
⎧(λ-2) x -3y =0⇒2x -3y =0 当λ=4时， ⎨-2x +(λ-1) y =0⎩
⎡3⎤∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎢⎥. ⎣2⎦
例４自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等. 因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系. 但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾. 现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并
⎧an 13anbn 有关系式⎨，其中a 1＝1，b 1＝1，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势. bn 12an 2bn ⎩
⎡1⎤⎡1⎤⎡31⎤解：α1 =⎢⎥, α2 =⎢⎥是矩阵M=⎢⎥ 分别对应特征值λ1=1，λ2=4的两个特征向量，而α1与α2不-2221⎣⎦⎣⎦⎣⎦