一元二次方程应用题的题型
一元二次方程的应用
（一）二次三项式的因式分解
（1） 形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式．
（2） 二次三项式因式分解的公式 ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．
(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．
(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．
(3) 因式分解二次三项式的步骤
(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2． (b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．
(4) 难点/混淆点：
(a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．
(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．
(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．
(5) 常见例题 - 4y2＋8y－1．
解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0
根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0
所以它有两个不等的实根。它的两根是：
1
启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；
(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化． (6) 拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解 这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.
(7) 综合题：
二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？
解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k
(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式； (b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；
(c)当△=0时，即16－
24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．
当时，
（二）列一元二次方程解应用题
（1）解应用题步骤 即：
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断解是否符合题意；
2
6．写出正确的解．
（2）常见类型
20x·x＝5． 20
4、商品销售问题
常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额） （a）给出关系式
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
(b)一个“+” 一个“—”
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、面积问题
例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽
? 20－x－
剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米），一条横路所占的面积为232x(米)．
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是
22(40x＋32x－2x)米，根据题意可列出方程
232×20－（40x＋32x－2x）＝570．
解：设道路宽为x米，根据题意，得
232×20－（40x＋32x－2x）＝570．
2整理，得x－36x＋35＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝35．
x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．
答：道路宽为1米．
说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2)，就更易发现等量关系列出方程．
2
3
如前所设，知矩形MNPQ的长MN＝(32－2x)米，宽NP＝(20－x)米，则矩形MNPQ的面积为：(32－
2x)(20－x)．而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x)(20－x)＝570，思路清晰，简单明了．
7、图表信息问题
14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面该区住房总面积积＝，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住该区人口总数
房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米? 答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？14．(1)1999，7．4
(2)10％
8、行程问题：
1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
9、工程问题：
1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式．
11、动态几何：
如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，
4
△ PBQ的面积等于8cm2 ？ 解：设经过x秒，得：
BP=6-x，BQ=2x
∵ S△PBQ=BP×BQ÷2
∴（6-x）×2x÷2=8
解得：x1=2，x2=4
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