概率统计简明教程答案
Genreteda ybFo xi PDFt reaCot r Fxoi tofSwtar ettp:h//wwwfox.tsofiwtare.cm oFro eavualtino ony.
l
习一解题答
. 用1集的合式写出形列随机试下的样验本间空随机与件事 A ：1() 抛枚硬币一次，观两察出现的，面件 事 A= {两次出现的面同相 } ；()2 记录某电话总一机钟内接到分呼的叫次数事件 ，A = {分钟一呼内次叫不超过 3 次}； 数() 从3一批泡中灯机随抽取一，只测其寿命，试件 事A ={ 命在寿 200 到0 2050 小之间时。}解 (1) = {( +Ω+),,( +−,), (−+,) (,−,)− } A，= {(+,)+ (−,,−) }.( )2 记 为X分一钟接内的呼到次叫，则数Ω {= X =k |k = 0, 1,,2L} L，A = { X = k |k =,1,0,32 } .()3 记X 为抽 的灯到的寿泡命单位（小：时 ，则 Ω =） { X ∈( , + 0)∞} ，A = X{∈ ( 020,0 2005} . )2. 袋中1有0 个球，分别 编有号码 1 至0，1 从中取任 1球 ，设 A ={ 取球的号码得是偶}，数 = {取B 得的球号是奇码}数， C = {取得球号码的于小5}，问 列运下表算什示事件么 (1)：A U ；B2)(A B；(3) AC ；4( AC )(5) ； CA；( ) 6BU C(7；)A − C 解.( ) 1A B U=Ω 是然事必；件( 2 )AB = φ不是可能件；事( 3)A C={取 得的号球码 2是4}； (，4)A C = 取得球{号的是 1码，35，6，7，8，，，91}0；(5 ) A C= {取得的球码号为奇数且不小， 5于}= {取得球的号为 5，码，79}； (6) B UC = B I C= {取得球的码号是不于 小 5偶的}数 ={取 得球的号码为6，8 10，； (7} )A C = −AC ={ 得球的号取码不是于小5 的偶数}{=得取球号码为的 68，10}， 1 1 33. 区间在[ 0, 2] 上任一取数记 A， = x
1 3 11 3 4() UAB = A x U ≤ 0 x
7()E 7 =BAC= A UBU C (；8) 8E= BA UA CU B C .5 .批产一中品有格品和废合品，中
从有放地抽回取三，每次取次件一设，A i示表事件第“i
次
eGerantd bye Foxt iPFDCr eato r Foit xSofwatr etht:/p/ww.wofixsotftare.cowmF o ervalauitnoo nl.
y抽到品废”， =i 12,3, 试用 ，A 表示i下事件： 列1() 一次、第第次二至中有少次抽一到废；品( 2) 有第只一次抽废到品； 3)(三 次抽到都废； 品()4至 少一有次到抽合格； 品()2只有两 次到废品。抽 解( 1 )1A U2A ； 2( A1 A2) 3A ；( ) A31A2 3A ；( ) 41 AUA2 U A ；3(5 )1A 2 A3A U1AA A2 U3 A 1A A23. 6 .接进连三次行击射， Ai设 { 第 i =次射击命中} ， = 1i,2,3 ， B= 三次射击恰{好命中二次}， C {=次三击射少至中命二}；次用 试A 表示iB 和C 。 解B
=A 1A2A 3 U1 AA A23 UA1 A A32
C
= 1 AA2U A 1A 3U A 2A3
习
二解题
1答．一批从由 54 件品、5正件 品组成的产次中任品 3 件取品，产其求中有恰1 件 品次的概率。 5 0 解这是不放回抽 取样，本总数 点n= 3 ，求概率记事件的为A ， 有利则 A 的样于本数点 45 5 k= 2 1 . 是 于 45 5 1 2 5 4×44 ×5 ×! 39 k9 P (A ) = = = =0 × 45 9 4× 8 ×2! 39 n 20 5 3 2． 口袋中一有 个红球5 及2 白球，从这袋个任取一球，中过它的看色后颜回袋放，然后，中 再这从袋任取一中球设，次取每时球中各袋球个取被的可能到相同。性求( 1) 一第次、二次第取到都球红的概； 率()2第 次取一红到，球第次取到二白的概球率 (；3) 次二得取球为的红白各一的、概；率 4() 二第取次红到球概的。 率解本 题 有 放 是回 抽取模 式， 样 本 点 数总 n= 7 2 .记 ()12)(3()4( ) 题求概 率 的事 件分 别 为 A , B,C , D.
5 2 5 ()有利于 A ⅰ样本点的 数 k =A5 ， P故 (A )= = 9 74 5×2 10( ) ⅱ利于 B有的 本样点 数k = B ×52 故 ，(P B = 2 ) =94 20 (7)ⅲ 利于 有 C样本点数 k的 C= 2× 5 × 2故， (P )C =4 9 7 5× 355 = . (ⅳ )有利于 D样的点数本 D k = ×7 5，故 (PD) = 2 4= 97 7．一3个口袋中有 装 6球，分只编上别码号 1至6，随 机从这个口地袋中 取 2只球试，求：1) 最(小号码 是 3的概 ；(率)2 大最号是 码 的3概率。解 题是无本放模回，样本式点数总 = 6n × 5. ()ⅰ 小最号为码 3只能从，号编为3，4，5 6， 这个四中取球2 只， 有且一抽次 3到因而，利 有2×31 样 本数为点 × 3 ，所2求率为 =概. 6× 5 (ⅱ5) 最号码大 为3，只从 能，213，号球中取 ，有且次取一 3，于是到利有本样数为 点2× 2 ，
2
2
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2×
2 2= .6 × 1554．一个 子中装有 6盒只晶体管 其中，有 2只是不 合格品
，现在不放回作样，接连抽取 2 次，每次取 只，试求1列下事件概率的： 1)(2 只合格都 ；()2 1合只，格 1只不格合； 3) (至少 1 有合格。 解只分 记题别()1、()、(32涉及的事)件为A, B, C， 则 4 2 4×3 2× 2P( ) =A = = 6 6 5× × 25 2 4 2 1 1 = 4× 2 ×2= 8 P( B) = 6 5 15 ×6 2 注意到 C= A U B 且 A， B 互与，因而由概率斥可的性知 2加 8 1 4(CP) = P A) ( P+( B) =+ = 551 155． 掷两颗子，骰求列事下的件率：概(1) 点之和数为7； () 点数之和不2过超5 ；(3) 数之点为和数。 偶 解别分题记1)((、)、23)(的件事为 A, B, ,C样本点数总 n= 6 (2ⅰ) 含样本点 A2,(5, (5,))2,(1, 6),(6,)1(,,34),(,4)3 61 P (∴ ) A= 2= 6 6 (ⅱ B )含本点(样11,,)1(,2),(,1),21(3,,)(3,1)(,1,)4,(,41)(2,,)2,2,(3)(,3,)2 01 5 P∴ B) ( 2 = 18 6=( ⅲ ) C 含样 本 点 1(,),(1,13,)(,13),(,15,(5,)1)(2,2),;2(4,,()4,2)(,2,)6,6(2,,)3,3(, )(,3),5(,53;)(,44)(,,46,)6(,4)(5,5;);(66,, )一 1共 8个本点。 1样8 1 ∴(PC ) = =6 326 ．把、甲、乙三名学生随丙地分配到 5 机空间的置舍中宿，去假设间每宿最舍多住 可8人， 试求这名三学住生不同宿舍概率的 解 记 求。 概率 的 事 件 A为 ，样 本 点 数总为 3 5 而，有 利A的 样 本 点数 为 × 5 × 34， 所以 5 × 4 × 31 2P A) =(= . 5 52 7．3经总的五理位秘中有书位精通英语，两偶今遇其的中位三求下，列件事的率： 概() 1件事 ： A“中恰其一有精通英位” ；语 2)( 事件 B：“ 中恰有二其精位英通”语 ； 3() 事 件 C：“ 中有其精人通语英 。 ”5 解 样本点总为 数 3
所求
概率
为 2 3 1 2 2× × 33! 63 =1) P( () A == ； 5 × 4 =×3 0 5 1 5 3
Gene
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2
3 2 1 = 3 ×3! = 3；( 2 )( P) = B5 4× 3 ×1 05 3 ()3 C =因 AUB ，且 A与 互B斥，因 3 而 93P(C ) P( A= +) P B() = + = 5 10 10 +. y= 1围成所三的形角内而，在落三 8．这一设点质一定在 落Oy x平面内由x 轴、 y 轴及线直Sx A 1x = /13 的 左的概率边。 形内角各处的点能性相等，计可算质点落在这线 y 解直记求概 率事件的 A为 ， S则A 图为阴影部中分而 ， | Ω|= / 2 ，
1 11 2 1 55 − = × 2 2 =3 2 918 最由后何几型概概率计算的式公可 得 |S 5|/ 18 5 O P (A ) =A= = . Ω||1 /2 9 ． （9前面见答问题2. 3） 1．已知0A ⊂ ， BP( A = 0)4. ，P B() =0 6. 求 |， SA | =2
Ωh
1
3 图 /.23 1
x
(1)
( AP ), ( P B )；
(2) P ( AU ) B(3；) P( A )B；(4) ( PBA ,) P A B() ；()5P( A B .)解 (1 )P A () = −1P( A = ) − 1.0 = 40.6 ， (P B )=1 −P ()B= 1 − .06 =.04； ( 2 )P( AU B ) =( P)A +( P) B P(−A B ) =P( ) A P+( ) −BP A)(= P B) = (06 .；(3 P) (AB =) ( PA ) =0.4； ( ) P(4 BA) =P( A −B) =(φ ) =P0 P( ,AB ) =P(A BU)= 1− P A ( B) = 1U− 0.6 = 0. 4; 5)( P(A B )= P (B −A )= .06− .40= .2. 01． 设 A1,B 是两个件事 已知， P ()A= 0 5 .，P (B)= .7 0，( AP BU )=0.8 ， 求 试P A −(B) 及 P (B −A ). 解 注意到 ( P UA B) =P A() P+(B )− P A(B) ， 因而 P( B ) =A (P A )+ P () B −( PA B)U= 0.5 + 0. 7−0 8. =0 4.. 于 是 ，P (A− B) P( A= AB− )= ( A)P P−(A )B =05 − .0. =4 .1 ； P0 ( B A− = )( PB − BA)= ( PB)− P ( BA )= 0.7 −0. 4= .3 .0
题习解答三
1．已随知机件 A 事概的率 P( )A =0. 5随机，件 B事的概 率P (B ) 0.6=， 条件率概P B |( ) A= .80 试求， (PA ) B 及( AP B ). 解 ( AP B = P()A P) B(| A = ).5 ×0 08 . 0.=4
P ( AB) = P( A BU )= 1−P (A UB ) = 1 −P (A) P− ( )B+ P(AB ) = 1 − 0 5.− 0. + 604. =0. 3 ．2批零一共件 00 个1次品，率为1 %0从，不中回放取三次（次取一个每）， 求第次三才得正 取的品概。 率10 ×9 ×9 81 0 = =9 解 = . 1p0 × 099 × 9 989 ×98107 8．某人3有笔一金，资投他基入金的率为概 0.5，8购股票买概的为率 0.8，2项两投都做的概 资为率0 .1 (91 )已知他已投入金基再，买购股票概的率多是少 ？(2) 已知已购买股票，他再投基入金概率的是多？少解 记 A =基金}{， B = {股票}， 则P(A ) 0=58,. (P )B= 0. 8,2 P(AB = )01.9
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P. (AB 0).1 = 9 0=32.7. (PA) 0.5 8(PA )B0 19. == 06.7 . 82( P( )A |B) = P ()B0 .284． 定给 (PA) 0=5 ，. ( P)B =.3 ， P0 A(B) = 0. 5 ，1证下面验四等式：个 ( AP| ) =BP( A,)P( A | B = P( A)), ( BP |A) = P (B ) ，P B ( A )| =P( B). P( B) 0A1. 5 = 1= = (PA ) 解(P A B)| = (PB ).0 23 P A(B) ( P) − AP(AB ) .50 0.15 0−.35 =P( A |B) = == = 05 = P.( A P() B)1 − P (B) 07. 07. P (AB) .05 1( BP | A)= = 0=3 .= ( P)BP( A )0.5P A ()BP( B ) P(− A ) 0B3. 0−.1 5.105 (PB |A )= = == P=( B 1 −)P ( ) 0A5 0.5. (PA 5．有朋)远自来，他坐方火、车、汽船和飞车的机概率分别为 .3，0.02，0.1，.40若坐，火车 迟，的到率概是 025，.坐若，迟到船概的是 0.3，率若坐汽车，到迟概率是的0 1，若.飞坐机不则会 到迟求他最。后能迟可的概率到
(1)
P。 (B| A)=
解
按且意
题则
B= UB Ai， B={迟 }到A，1= {火车}，A坐2 {=船坐}A3， {坐=车汽} ，4A= {乘飞机 }
， =1i
4
P( B| 1 )A= 0. 25 ，(PB | 2 A) = .03 ， (P B| A 3 )= 0.1 ， (P B| A4 ) = 0. 由全
概公式率：
有P (B)= ∑(PAi ) P( B A| ) i 0=.3× 0. 5 2 +0.
2
× .03+ 0. ×1 .0 =1 0145
.i =
1
4
6
已．知袋甲有 6中只红 球4，只白 球乙袋；有 8中 只红，球 6白球只求。下事件的概列率：( 1)随机 一只袋，再从该取袋中机随取球，一该是球球红 ；2)(合并 只袋，两中从随取一球机，该是红球球 。解 1() B = 记 该球{红是球} ， A1 {= 自取甲袋} ，2 A ={取自 袋乙 } 已， 知P (B |1A) 6 =/1 ，0P B |(A2 = 8) 1/ ，所以 41 61 841 P B)(= P (A 1 ) ( P B|A 1) +P (2 A )P(B |A2) = + × = ×21 2 014 7 04 17= () P2( B)= 24 1 7．某工2有甲、厂、丙三个车乙，间产生一同产品，每车间的个产分别占全厂的量25%， 3%5， 04，各%间产品的次车率品分为别 %，5%42，%，该厂产求品次品率的。解 0 .25 ×005 × .0.35 + ×0.4 + 0.4 0 ×0.02= .01250+ 0.104 0+ 00.08= 00.354= 3 45.%8． 发报分台别以概 率.6，004.发出 " • " 和" −" 由，通于信到干受，扰当出 "发• "，时别以概 率分0 8.和 .0 收到2 "• " " − 和" 同，样，发当信出号 " −" 时分，别以0. 9和 0. 1的 率概收 " 到 " 和−" • " 。 求() 1到信号收 "• " 的概率(；2 )收当到 " • "时 发，出 •" " 概率。的解 记B= {收 信号 " • 到" ，} A {发=信号 出"• " (1)}P( )B = (PA) P( B| A )+P( A ) P( |B )A 0.= 6×0 8.+ .04× 0.1 =0 4. 8 +.040 =.052 ( PA) (PB |A 0)6. 0×. 12 =8 =. (2 ) P( A|B )=P ()B .50 213 ．设9工厂有某 , BA, C三 个车，生产同间螺一钉各，车个间的量产别分占总产的 量52%，3%，5 4%，各0个间成品中次品车百分比的别为分5%，4 %，%，2如从该厂产品中取抽一，得件到是次
的
G
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，品求依它次车间 A是 B,, C生产 概率的 。解 方为便计，记事件A, B, C为 A, , B C间生产车产的品，事 件D = {品次，}因 P此(D ) =P A()P( D| A + P)(B) ( D | PB)+ (C ) PP(D | C ) 0=.25 × .00 + 503.5× 0.0 4+ 0.4 × 00.2 = .0015 + 20.14 0 0.008 = 0+0.435P ( )AP ( D|A )025.× 0. 5 P0 (A |D )== = 0.3 6 2 P(D) 0.3450 P(B )P( D | B ) .05 ×30 0. 4 P B (|D = = = 0)4.0 6P( D) .0043 P5C ) P((D | C 0.4)× .002P (C| D = ) ==0. 223 P(D ) 0 .34501 ．0设 A 与B 立独 ， 且P(A) =p, P B) =( ， q下求列件事的率概P： A ( B) U，P(A U )B P， A (UB .) P(解 U B) A=P (A) + P( B )−P A() P B)( =p q −+pq P(A U ) B=P( A )+ ( P B) −(P )A ( PB ) = p+ 1 −q −p(1 −q ) =1− q pq+
P(A UB =)P ( AB ) 1= − P A) ( P(B ) =1 −pq
1．已知 1A , B立独，且 P A B() =1 / 9 ,P (B A =)P (A ) B，求P( A ,)P( B ) . 解 P(因AB ) = (P AB) ， 独由性有立 P A( P( ) B) P=( )A ( B P) 而 从P(A − P( )) PA( )B =P (B) P(−A) (P B) 导 致( PA)= P( B ) 再 由P(A B ) 1=/ 9 ， 1 有 / 9= P( A) P( B ) = 1 − (( P))A1( −P( B) )=( 1− (PA ) 2 )所以 1 P( −)A= 1
/ 3最。后到 得(PB )= P A( )=2 / .312．甲 、乙、丙三同时人独立向同一地目标各射击一，命次率中分为别 1/31/2，，/2，3目求 标被中的概命。 解 率而 3 2 1 11 8 P B ( ) =1− P I iA = 1− P( 1A) P (A2 )P( 3 )A= 1 − ×32 × 3= 1 − 9=9. i=1 13．六设相个同元的件，下图所如示样那置安线路在中，设个每元不通达的件率为 p概 ，这 求个装置通达概的率。假各个定件通达元否与是互独相的。立1 2 解 记 = A{通达}，A i =元件 i{ 达}通 ，i = 1,2,,435,6,
43 则A = A A1 U2 A A4 3UA5 A 6 所， 5以6 P A( = P() 1AA2 ) + P (3AA4 ) + P( 5 AA6 ) 图3.1 P( −A 1A A2 34 A)− P (A A4 3A5A 6) −( P1AA2 A5 6 A)+ P (1 AA 2A 3A4A5 A 6
) 记B= 命{中标目}， 1 =A{ 命中}甲， A2 {乙=命中}，A3 = { 丙命}中，
则B
=U A i因
， i=1
3
= 3
1( − )p 2− 3( − 1p) 4+(1 −p)6 1．假设4部一器在一天内机生发故障的率为 0.概2，机器生故发障时天停止工全，若一作周五 工作日个里每天否发是故障相生独立，互试求周五一工个日里发作 生3 故次的概率。 障53 2 解 p= 3 (02).(0. )8= 0.5021 . 1 5．灯泡耐用时在 1000 间小时上以概的为率 02.求，个灯三泡在使 用001 小时0以后最多有 只一坏个了概的。 率 3 3 3 2 解 p= ( 0 .2 ) +3 2 × .8 0× (.0) =2 .008 +0 .006 = 90.04 1. 61．设在次独三试验中，事立件A 现出概的率等，相已若 知 至A少出一现的概率等次 于19/72， 事求 A件在 次每试验中现出的概率 (PA ) .
eneraGte byd Foit xPFDCr atoer Fo it Sxotwfrae thp:/t/ww.wfoxisoftwtrae.omcF r eovalutaion olny.
解
假设
记 Ai 依={ A 在 第 次试验中i出}现 ， =i 12,3.
,
p= P(A)
3 19 =P Ai = −1P ( 1AA 2A3 )=1 − (1 −p )3 U 27 i = 18 ， 此 即p 1= / 3.所以， ( 1− p 3 ) =2 717加工．一零件共经过需 3道工 ，设序第、一、三二道序的工品次率分为 2%别3、、5%% 假.设 道工序是各互不响影，求加工的出的来件零的品率次 。解注 到意，加零工为件品次当且仅当 1-3， 工序道至中有一道少出现品次。 记A i {=第i 道 工为序品}， 次i 1=2,3,.则 次品率 3 p= P UA i = 1 − P (1 ) A( P2A P( )3A = )1− 098.× .90 7 0.9× 5= −10. 03097≈ 0097. i 1 = 18三．个人立破译一独码，密们他能独译立的概率出分别 0.为25，.05，0.4.3 求此密码被译出的 率概 解 记 。 = A译出{密}， 码iA =第{i 人译出 } i， =1 2,3. ,则 3 (P A) =P U Ai =1 − (P A1 P() A 2 P) A( 3 ) i =1 1 = −.750× 0. 56 ×0 .6 =1 −.0925 = 2.7070 519．将枚均一匀币连硬续立抛独 掷10次， 恰有5 出次现面的概率是多正少有？4 次 至6 次出现
正面的概率多少是 ？01 1 0 1 36 解1) ( 5 2 =2 65；
1 10 0 1 () ∑2 .k =4 k 220 某宾馆．大有楼4 部 梯，通过调电查，道在知时某刻 T，电各梯正在行的概率运为 0均.7，5
6： 求() 在1时刻至少有 此1台 梯电运在行的率； 概2()在 时刻此恰有好半一梯在运电行的率概； ()3在 此刻所时电有都在运梯的概率行。2 5 5解 () 11 (1 − −075.) 4= 1− 0.2(5)4 =2 5 2 26 4 27 31 22 2() = ( ×0 . 75) ( 0. 25 6 ×) = 2 1 28 4 4
1 83 (3 )(075. = ) 256= 4
44
习 四题答解1.
下列 给的数列出哪，些随机是量变的布分，并律明说理。 由 （1）ipi = ,i = 0,1,,3,24 , ； 5155 −2i, i= ,01,,23 ；（） 2ip= 1 （36）p i =, i = ,2,34, ；54 i +1 , i =1,23, ,4, 5。 4）（pi = 5
2
()
G
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解
其一条件为 pi ≥ 0,
i = 1 ,2 ,L ，其条二件为∑ ip= 1。i
要说题明中出给的列数是，是否随机变量的分律，只要布验 证i p是否足满下二个条列：
依件据面上的明可说 得1）（中的数列 为机随变量的分布； （律）中2的数不列随机变量的分是律，布 5−9 4=−
1 1= =
；事 件X{ =4 表示随机取出的} 个球的3最 大 50 1 3
3 1× 3 2 号 为 4码， 因另此外2 个球可在 1 2 、、 号3球任中选此，时P( = X) 4= ；同理可=得1 0 5 3 4 × 1 2 = 6 。P( X = 5) = 10 5 3
的分X布为律
Ge
ernaet byd oxitF DFP Cearotr Fxito Sofwartehtt p//w:w.wofitxsfowaretc.m Foo rveluaaiot onlny.
X
率概X 的分函布为 数0F
x )(
=1 1 4 10
03
11
0
3 40
x
5
6
01
1
≥5x 5 在相同.条下件立独地行进 次射击5， 次每射时击中目标击概率为 的0.6，求 中击目的标次数X 的布律分 。解 题依意 X服从参 数 n =,5 p= .60 二项分的，布此因其，分律
布 5 k−5k P( X k=) =k 0 6. 04 ., =k0 1,,L , 5，
具
体算计可后 X 得率 概03
2 1253
1
4 825
62
1
4 6425
3
12 6256
4
16
6252
5
2
43 135
26
.从一 含批有10 件 品正及 3件 次的产品品中一件一的件抽。设取次抽每时取，件各品被产 到的抽可性能等相。在列下种三形下，情别求分出到直得正取品为所需次数 止X的分布 律。（1 ） 每取次出产品立的即放回这产批中再取下一品产件； 品2）（ 次取出的产品每不放都这批产回中品； （3 ）次每取一件出产后品总是放一回正件。品解 （）1事设件A i,i = 1 ,, 2L表示第 i次 到的抽品产为正品依，题，意A1 , L ,A ,nL 相 互立独，且P( A
i = 1)0, i 1= ,2,L 而 1
3( XP= k) =P 1 L Ak A− 1Ak= AP 1 P ALk− 1
(
)
)
((
)
3 (P Ak = ) 1 3
k −
110, k =,1 2, 1L3
即 X服 参数 p 从
P=(X = 1) =
1 0的何分几。布13
（2）于每由次出取的品产再不回放，因，X此 可取能的到值 为12，，，3，
4013 × 01 5 P,( X=2) = = , 1 313 × 1 22 36× × 21 503 2×× 1 ×101 = P,(X= 4) = =. P( X = ) 3 =1 3 ×1 × 121 41 313× 2 ×1 11 ×10 28 6
的分X布为 律X 概率
( P X =1 )
=1
1
103
25 26
3
1534
4
1
82
（3）6 可能X取的值到为 ，1，3，4，21
0 3×1 1 33 P, X ( =2) ==, 13 13 × 13 16 9 × 2 × 3217 2 3× 2 ×1 6P ( X = ) 3== , (PX =4 )= = .31× 3 1× 1 3219713 × 1 3× 1 32179
所
求 的X分布律为X 概 1率10
3
1
23316
93
2 71297
4 61927
于由三抽样种方式同，导致 不X的分 律布也一样不，请仔细会体们它的不同。处7 .设随机 变量 X~ B(,6 p) ，已 知 (P X = )1= P (X = 5 ，求 p) 与P ( X=2) 值的
。G
neraeed tb yFxot PiD FrCetora Fxiot oSfwtre hatt:/p/wwwf.oitsxfotarwe.ocmFor eavualtoni noy.
l
解
k6 − 由k 于X ~ B(6, p ，)此因 ( P X= 6)= p 1(− p ), =k0, 1 ,L , 6。
5
P
( X= 1) =6 p( 1−p ) , (P X 5=)= 6 p 5( 1− p ,) 15 即得 解 p= ； 6(p1 −p ) = p 56(1 −p ,)2 62 2 6 − 6 1 1 ×6 51
1 5时此，P X = 2()= 2 2 2 =2! × 2 = 46。
6k
此可由得
算8
掷.枚均一的硬币 4 次，设随匀机变 X量 示表出国徽现的次数，求 的分布X数函。解 一枚 均硬币匀每在抛掷次出现国徽的概率中为， 此因X 从服 = n, 4 =p 二项的分，布即
4k−k
2
11
2 4 1 1 P X( k= ) = k 2 2
,k = ,102,3,,4
由此可
得 X的布分函 数，
10， 6 51 ，16 11 ， 1 165， 1 6
F( x =
)
，1x≥4 . 某商店出9某售种物，根据品以的经验，每往月销售量X 服从数 λ =参4 的 松泊布分，问在月初 进货时，要进少才多能以 9%的概9充率分足顾满的客要？需解 至少要设 n进件 物，品由意题 n应 满足P(
X≤ n− )1
9n −14 kk 0
即
=(P X≤ −n1) = ∑
n
k!
e− 4
9 k4 4 P−( X n ) = ≤∑ e≥ 0 99 .k 0=k! 查 松分布表泊求得可 n= 9 。
0. 1有一车汽有大量站车通汽过，辆汽每在车一天段时间某事故出概率为的 0.0010，在天该某 时段间内有10 0 0辆车汽通，过求故事次数不于少2 的概率 解 。 设X 为100 辆0车汽出中事故的次数依，意题X ，服 n从 =001, p = 0.0000 1二项的分布即，X ~ B( 0001,0.001) 0由， 于n 较大 ， 较小，因此p可也以近地似为 认 服X λ从= p n=100 0× 00.010= 0 .1 的 泊分布，即松X P~( 0.1 ，所求概)率
为P(X ≥)2 = 1− P X(= ) −0P( X 1) ≈1−= 0.01−0. 10 .1 10.− 1e e −! 01 = ! 1− 0.94037 8 0−0.0498 4= 0004.679
.11 .试某的成验概功率为0.75，失败概率为 .20，5以若X 表示试 验者得获次首功成进行的试所验次 ，写出 X 的分布数律。 解设事件 iA 表示 i第 试验次功成，则 (P i A)= .05 7，且 A1 L ,,An ,L相 互独。立机变量随X 取 意 味着k前k −1 次试未验成功，但第k 次 试验成功因，此有
( PX= )k= P A1 L A −k1 Ak P =1A L Ak P− P1 Ak( ) 0.2=5k −1 0.5
7
(
)
(
)
2(
)
所求分布的为律 概X
率
017.5
0.2
5 ×.07
5…
…
k
0
2.5
k 1
−
×0. 57
…
…
enGeatre db Foxiyt DPFCre taor oFxit oftwSaerhtt :/p/ww.wofitsxofwatre.cm Foore alvuaitono nly.
1
.2 设随机量 变 X的度密数函为 f(x = )2x， 0 x A ∫−∞ f∞ (x dx)= 1因，此 有0 2∫x xd= 1 解得 ， = A±1 ，其 中 A=− 1舍 去，取 即 A=1
（2）分布函数。F
( ) =xP ( ≤ x ) X=∫−∞ f x )dx
(x
∫−∞
0xd=
x
x
−∞∫ d0 x +∫ 02x dx∫−∞ 0 xd ∫0+ 2 xdx + ∫10 d
0
x01
x
00
≤ x
−x
=
x1
2
x ≥
1 31 .设随机量 X变 的度函数为密f x( )= A e−∞,
的X分函数布 。∞+ −x 解1）系（数 A必 须满 ∫−足∞A ex = d ，1由于 e x −为偶数函，所
以+∞+∞ +∞−x −x −x ∫−∞A exd= 2∫ A0 ex =d 20 ∫eA x d=1
解 得 =A； 2）（ (P0
∞x
1111
21
2
f x( )xd
2
1
1 e −1− 2；
()
=
∫−∞ 2e −∫ ∞ 2
0e
x
1
1
−
xx
xd −1 x xd+ 0 ∫e d x2
x
x0≥
x−
=∫
1 xe dx ∞− 201 x1 xx −−∫ ∞ 2 dex ∫0 +2 edx
x
= 14=.证明： 数
f (x 函 =
)1x e2 1 +1 1− e −x2 21 x e2 11 − e −x2
(
x)≥0 x
x − c2 ce
0
2
x （ 为c的常数正）
2 c d x2 x2c d −− x2 = e−2 2cc x2 +∞
为某
个机变量随 X 密的度数。函 由于 f证 x() ≥ 0 且 ，−∫∞ f ( )dxx= ∫−∞e +∞
+∞ x −
c
= −∫0 e
+∞
−
=1，
0
因
此 (f x 满)足度密函的二数个条，由此件可得 f(x )为 某随个机量的变密度数。函 5. 求1出密与函度
f 数( )x=
05.ex 0.2 5
0
Gneeaterd by oxit FPD FCraeto roFxi Sottwarefh tt:p/w/wwf.xoitsoftwarecom .Fo ervluaatin oolny
x.0 ≤x
2x
应的分对布数 函F (x) 表达式的 解。
x当
0 x
当x ≤ 0 时， F(x) =∫∞ f (−x d) x= ∫− 0∞5e. xdx = .50 x
ex0 2 x
当 x >
2 时， F( x) =∫−∞ 0 5e .xd x ∫0 +0.2dx +5∫2 0d x=0 .5 +0.5= 1
综有合0 5e. x, x ≤0 ;F (x ) = .50+ 0 25. ,x0 x ≤ 2≤ ;,1x ≥. 16. 2随设变机量 X在 1,( 6)上服 均从匀分布，求程方 2 +t Xt+ 1 = 0 有实 的根率。 概解 X 的密函数度
f为( )x= 2
其. 方他 程 +tXt +1 = 0有根的充实分必条件要为 X2 −4 0≥ 即 X ， 2≥ ，4此所求因得概为率4 6
P1 2 ≥X 4 P= (X ≤ 2−或X 2)≥ =( XP≤ −2) + P( X ≥ 2 )= 0 ∫2 dx =+ 。 5
51
, 5,
10
；
(
)1
.7 设某品的有效药期X 以天计，概率密其度
为f(x ) =
( + 1x00 3)
20
00
0
,>0x
;，0 他其. 求：1) ( X分的函布数；() 至少有 2002天 效期有的概率 。, x0
(x∫ +001 d),
0x3
20000
0x,
=
≥x . x0
.0000
21
1
−
10000, ( x 1+0)0
2
− 12)( P( X> 020 =) 1− ( XP ≤20 ) = 1 0−F ( 200 )=1 −
(200 +00)1
1= 。 9
1. 设8随变机量X 的分 布函为数F
x ( =)
,01 (− +1 x ) e,
x−
求 X 的
密度数函，并计算 P X (≤ 1)和 P( X >2) 。 解由分布数函F ( x )与密函度 数 (f ) 的关系，可得在 x fx( ) 一切的续连点处有 (fx) = F ′(x )， 此
f 因x( ) =
x e −x, 0,
1
−x≤ x>00
>0x其他
所
求概率 (PX 1) = F (≤1) 1=− (1 +)e1= 1− 2 e−1
；
91 .设机变随量 的分布函数为 F (x X ) = A B arc+atnx,− ∞
P (数X > 2 =)1 − P ( X ≤ 2 )= 1 − F ( ) 2 =1− 1 − (1+ 2 )e 2 − 3e −= 2
。
(
)
解 ：
( 1 ) 要 F使 x ()成 为 随 机 变 量X的 分 函布数 ， 必须 满 足 lm i F( ) x 0=, ilmF x ) (= 1，
即x → −∞ →x+
∞
eGernate dybFo ixt DPFC retaro Foixt oStfwrae thp://tww.fowxtsifowtae.rom Forcev alutaino oln.y
x→ − ∞ →x+∞
li
(m A+ aBcrat n x) = 0lim ( A +B rcaat nx) =
1A
−π
π
B2=0
计算得
A后
+解得
B 1=2 1A =21 =
B
π
1 11 1时， F( x) = + a rtcnax 满也足布分函数余其几的条质性。 2 2 π （π）2 P X(
另外，可
证当 验A= ,B =
==
1
1 1 1 +acran1 − t arc+tn(a 1)− 2 π π2 1π 1 ππ − ⋅⋅ − =π 4 π4 21,−∞
（
3X 的）度函密数
f( x =) F(x )′=
()
0. 2设客在顾银某的窗行口等服待的务间时单（：位imn）服 λ = 从的数指分，布其密度数 为函 f( ) =
1 −5xe 5 ,0
x
x>0
其
他
1
5，
某顾客窗在等口服务，待超若 过10im，他就离n。开
1）设（顾客某某去天行，求银他等到服未务就开离概率的 ；（2设）顾某客一个月去要银行次五求，五次中他多有至一未等次服务的概率到。 （解）设1随机变量X 表某顾示在银行客的窗等口服务的待时间依题意 X ，从 λ服 的指数分=布 且顾客，待时间超过 等0mi1n就离 ，开因，顾此客等到服务就未开离概的为
率( PX 10≥)= ∫01
∞+
1
5
1−5 dxe =e − ；2 5
x
（
2设）Y 示表某顾五次去客银未行到服等的次数，务 Y则 从 服n= ,5p = e − 2二项的分，布所 求率概为P(Y ≤
)1= P ( Y=0) + (Y = 1P) 5 −2 = 0 e
( )
( 1 e−) 0
2−
25.1 设X 服 从Ν (01) ， 借,助 于 标 正准 态分 的布分 布 数 表 计函算 ： （1） ( P X 761) ； 3） （P X 25.) 解。查 正态布分表可 （1得 ）P X ( 1.76) = −1P (X≤ 1. 76) 1 − Φ (=.716) = − 10.6980= .00329 ；（）3P (X
0= 1
4+e 2− 1 e −−2
(
)(
)
5 −2 −2 + 1 e 1 − e
(
)
4
P4( X> 2 5.) =1 − P(X ≤ 25). =1 −2[Φ(.52 − )1]
Gnerated ebyF xito PFDCre aor t FoxitS fotware htpt/:w/w.wfxitoostwafre.om
cFo eravualtin onoy.l
P(
1−5.) ； 22. 设 服从XΝ −( ,116 )，借 助标于准正分布的态分函布表数计算：（ ）1 2） （（）3 P(X 1 。)
= 2
− 2 (2.Φ5)= (1 −20 .993) 8 0=.0124
。
解
当
~ X Νµ( , 2σ) 时， P a (≤ X≤ b ) =
b −Φ µ −aµ − Φ ，借助该性质，于查再标正态准分函布 σ σ
数
表可得
求 .442+ 1 = Φ(0. 6)8= .8005 1 ； 4 − 1. 5+ 1 （2 ）P X( >1−5. = )1 −Φ = 1 − (−Φ0. 251) 4 = − 1(1 − (Φ0.21)5)= Φ(0.15) 2 0.5=98 ；
（14 ）(P X 2.44) = Φ
（3 P）(X
2.−8 +1 =(Φ −.05) 4 =1− (0Φ4.) = 15 − 0.7636 =0.236 ；4 4 4+ 1 − 4 + 1（4 ）P( X
（5） P( − 5
2 + 1 5−+ 1 −Φ = (0.7Φ) 5− Φ−(1) 4 4 = Φ(07.5 − Φ ()1) + 1= 0773.4− 0. 8134 +1 = 0.932 ；1
（） P 6 (X− 1> 1) = 1− P( X 1 ≤− 1)= 1 − P0 ≤ (X ≤ 2) = 1− Φ
3. 2厂生某的滚产直径珠从正服态布 Ν分 (2.5,0.00)1，合格 品的格规规为定2 ± .20 求该，厂滚珠 合的率。格解 求所得率概
为2 . − 2.052 18 . 2.−5 0 P(2− 0.2 ≤X ≤ 2 +.2 )0 Φ= − Φ0 . 10 1 . = Φ(1.5) −Φ(− 2 5. ) = (1Φ.5)− 1 + (2Φ.5)= 0 9332 − 1.+ 0 .998 3= .927 24. 某人0班所上需时间的 ~ ΝX( 03,100 )（单位m：n）已知上班i间时 为：80，3他天每7 ：0 出
5 2 +1 0 + 1 − Φ 4 4 = 1− Φ( 075).+ Φ0(2.)5= 1 −0 7.24 + 7.0987 5 0.825=3。
门，求：
1（某天迟到的概率； ）（2）一（周 5 天计以最）迟到多次的一概。 率解 1（由题意）某知人上路所时花超间 40 过分钟，他就迟了到因，此求所概为率
40− 30 (P X> 4 0)= 1 −Φ = 1− (1Φ) =1 − .8410 =30 .185 ；7 10 2（）记Y 为 天中某人迟5的次到数， 则 服Y从 =n5 ,p= 0.1 578的 项分二布5， 中天多迟最一
到
次概的为
率5 5 5 40P( ≤Y1 ) = 1 0.(185 7 ) ×0.(8143 )+ 1 015.78× (0.8143)= .8109 2。
题习解答
1.五 二随机维量变( X ,Y) 只能取列数组下中值： (0的0),,(− 11), , −1, ,( 20, )，且取这些值的组率概依次为 , ,
1 11 , 5求这二维，机随量的分布律。变6 3 12 1 解 由2意题得可 (X ,Y )的合联布律为分
13
eGneatre by Foxit dPFD Ceatorr F oitxSo twafr htep:t//ww.fwoxitsotfarwe.ocmFo eravlautoin oln.y
X\
Y 1 -
00
0
13 1 12
1 13
10 06 5 2 00 12 .2一口 中有袋四球个，它依次标们数有字 1 ,2,,2 3从这。中袋取任一球后，不回袋放中，从再袋
任中一球。设取每取次时球袋，每个球被中到取可的能性同相。 以、YX 分别第一记二次、到的 取上球标的有数，字 ( 求X, Y ) 分的律布 P(及 X= Y ) 。解 X能的取可为 1, 2,值 3Y，可 的取值能为 , 1,23 相，的应其概，为率1
×2 11 ×11 = , P( =X , 1Y =3) = = ,43 6 4 ×× 31 22× 11 2 1×1 2 ×1 1 P ( X= 2 Y , =1) == ,P ( X =2, Y = 2 ) = , P =(X = 2, Y = 3 =) =, 4 3 6 4× × 6 3×3 4 1 1×62 1P ( =X3 Y,= 1 =) ,P( X =3 , =Y 2) = ,= ( P X=3 Y =, 3) 0=. 21 4× 6 3P (X= ,1Y 1=)= 0 ,(P X 1,= Y= 2 =
)
写或 成XY 1 \ 321 0
1 16 2
211
1 6 6 1 1 。 66
1 13 1 2
6
0P( X
= Y)= P ( = 1X Y ,=1) + P ( X = 2 ,Y= 2 ) +(P X = 3 Y , 3=)=
3 箱子中.有装1 0件产品 ，其中2 件 为次品每次从箱，子任中一取产件品共取 ，2 次，义定 随机变 X、量 如下Y X= 0：，若 第次取出正一；品 = 0Y， 第若次二出取品正；1 若第一次取，次出品 ；， 若第1次取出次二品。分别就 下面两种情况出二维求机随变量( X, )Y的 联分布合律 （1）放回抽样； ：（2不放）回抽样 。 （解）在放回抽样时，1 可X能取值为的 0, ，Y 可能取1的值也 0,1为，
P(且X = , 0 Y= 0) = 8×81 6× 2 48= , P( X= ,0 Y=1) = = , 1 ×010 5 12 0×10 5 2×284 2 2 1 P( × =X 1, Y= 0 ) = = ,P ( X 1, =Y= 1 = )=, 1 0× 1 0251 0 ×102
5
写成 或XY\ 10
1602 4 552
1
245 1 2
（25在无）回情形放，X、Y 下能取可的也为值 0或 ，1取但应值相的概与率放有回形情不下 样一具，体为
8 7× 2 8× 82 8 =, P( X = 0, Y= 1 )== 10 ×,9 45 0 1 9 ×452×8 8 2×11 P( X = 1, Y 0=)= = , P( X = 1, Y= 1 ) = ,=10 × 9 54 1 × 904 5P( = 0X Y ,=0 )
=或写成
G
eenarte bd yFxiotPD FC reaor t Foitx Sofwatr etth://wpww.foitxsfowtae.com Fro ervlauation nlo.
XyY\0 1
0
2
4588 4
5
81 54 1 4
45. 对第 1于题 的中维二机随变 量 ( X,Y )的布，分出关写于 及关于X Y的边 分缘律。布 解把第 1 题 中的合联布分律按相加行得 X的边 缘分布律为X -10 2 概率 列按加相得Y 的缘边布分为 Y律 概 率07
211 3 1 1 25 12 1 6 5 21
11
35. 对于第
3题中的二维 随变量机( X , Y )的分布律，分别在有放回 无和放回两情况下，写出种关于 及关于 YX 的边分缘律布。解 在放回有情下况 X边的分布律缘为 X0 1概 Y 的率边分布缘律为 Y 概 率在无放回况情 X下 的边分布律为 X 缘概 Y 的边缘率布分为律Y 率概0
4 54 155
04
511
5
0 4
51
1 5
1
1
5
. 求6在D 上 服从匀均布的分随变机 ( X , Y ) 量密的函数度分及布函，数中其 D为 x轴、y轴 直 线 及y 2=x + 1 围的成角形区三。 域解区域 D 见 5.图2。
易算得 D 的面积 S为 = 1×× = f
( x ,y)
=4,0, 其他
1
121 ， 以 ( X所 , Y )密的度函 2数 4( x , y )∈ yD
1 (X , Y )分布函数 y的 xF x(, )y ∫−=∞∫ −∞f ( x, y ) xddy
1 2 1当 −≤ x
；当
x
-1
2 +1x
−
2
1 2 0图5.2
1
x
当 −
≤
0 −x2
12
d4y= 4 2x + 4x+ 1 ；
enGraetd ebyFo xi PtFDCr aeort Fo ixtS ftoawrehttp:// ww.fwxoistfowtre.aom corF vaeluaitn oony.
l
x ≥当0 , ≤0y
y 0
当 x ≥
0,y ≥1 时， F x, y() = ∫ 1d ∫x 0
−02
2 2x 1
4+dy =1
合有
0,
综4 x − y 2 + y2y,
F (
x,y =
4 )x 2+ x 4 1+,
2 y− 2,y1
,7.对于第 6 中的二维随机题量变 (X, ) 的Y分，写出关于布 X及于关 Y 边的缘度密数函 解 X 的。边密缘函数为度
f X x )(= ∫− f (∞x,y )dy
+∞
1
x
=
∫
0
2
x +1
4
yd ,
0,
+∞
1
−=
4(2
+ x), 10
,
1
Y的边缘 密函度数
为f Y (y ) = ∫− ∞ f( x , ydx
)
=
∫ y− 41dx,
2
0
0
=
0
,2
1 ( − )y 0,,
0
8
. 在 第 3的题两情况下种，X与 Y 否独是立为，什么？1
64 4 1 ， 而 6( PX= )0P(Y 0)= = × ，=即2 55 5 25P( X 0,=Y = 0 = )P X ( 0)P=Y =( 0 ；)容易验 P(证X =0, Y =1 )= (P X 0=)P(Y= 1 ),
解
有 在 回 情放 况下 ， 由 于 P( =X0, Y= 0 )
=
( P X 1, Y== 0 ) = P (X= 1) (P =Y )0, (PX =1 ,Y =1 ) P(=X = )1PY ( =) 1由，独性立定义知X 与Y相互 立。 独28 4 16 4，而 P(X = 0)P Y ( =) = 0 =×， 易见 在 无放 回 情 况 下， 于 由P X ( =, 0 Y = ) 0 4= 55 255P (X= 0, Y =0)≠ P ( X = 0P)Y(= 0 ，)以所 X与 Y 相不独互立。
9. 在第
6 题中 X， 与Y 是否立独为，么？什解
1 1 f− , =4 ， f而X 4 − 31 1 4 11 =2, f Y =，易 f 见 −, ≠f X − 4 33 4 3 11 f Y 所以，X 与 Y 不 相 4
3互
独立。1 0. X、设 相互独立Y分别且有下具的列分律布：X -2 - 0 1.05 率 写出概示 (表 X Y ), 的分律的表布格 解 由于。 X 与Y 互独立，相因此
14 3 1112 1
Y3 概
率
0.5
- 1
2
114
134
P
X =xi , Y = y j =P ( X x=i P)Y = j y, i=1, 23,4,,j = ,1,23
,(
)
(
)
如例P( X= −2,Y = 0−5. = ) P ( X =− 2)P Y( = −.0)5 =× = 余的其联合概可同样率算，具得体果结 为\XY 0-5.-
2 18
41
1 2
8
111
1
6
131 6
Gen
earte by Foxidt PDFC eatorr Fo itxS ofwate httpr:/ww/wfo.xtisfowart.eocmF r ovaelauton inoy.l
求 (
X, Y ) 的
联合密函数度 P及( X ≥Y) 。解 . 由均匀布分定的义
知 f (X x =)
5 ,,0
1
1 12 12 11 0 48 4 8 110.5 1 12211 设 .X 与 是相Y互独立随机变量的 ，X 服 从0[,0.] 2的上均匀分， 布 Y从参数服为5 的指 分布，
-1数
1
61 241 6
0 x 0 他
y其
由
指分数的定义知
f布 (y)Y =5
−e5 y, 0,
因为X 与 Y 独 立易得， (X ,Y ) 的合密度函联数
0,概率 P( X Y ≥)= ∫∫ fx,(y d)dy ，x
G
f (x y ) = f X, x ( )f Y (y)
=25e
5− y ,
0 0 其
0.2 他 5图3.
其中区x域G =( x{ y ),| x y}见≥ 5.图3经计，算有0
2. x .2
0
(PX Y≥ )= ∫ 0d x∫0 52e− 5 ydy = ∫ 501 −e − x5 xd= e − 。 12. 设1二维机变随 (量 X ,Y )的联 密度合数函
为f ( , x y =)ke
−( x3+ 4 )y
x, >0 , y> 0
(
)
其
他0 求： （1）,数 k系 ； 2（） P0(≤ X ≤ ,01≤ Y 2 ) ； （3≤证明 X 与 ）Y相 独立互
+∞。+∞ 2 + ∞∞+
（2 ）P0( X ≤≤1, 0 ≤ ≤Y 2)= ∫0d y∫0 1 e2− ( x + 3 y 4)d = (x1 − e3− )1 − ( −e 8 ；)1
解 （
） k1 须必足 ∫−满 ∫∞ ∞ − f (x ,y dxdy ) 1= ，即 ∫0d ∫0 ke −(y3 x + 4y ) xd= 1 ，计经得算k =1 2；
（）3关于 X的边缘密度 数
函+∞f X (x ) = −∫∞ f (,xy )d =y+∞
− 3(x + 4 y) yd ,∫012e
>x0 其他x > 0其
他
0
=,同理 求得可Y 的缘密度边函为
4数e−4 ,
y3e−3 x , 0,
>0
1x.3 已二维随机知量变 (X, ) Y联的密合度函数为f
( x , y )=k (1
− x) y , ,0
其 0, 易他 f 见(, yx =)f X( ) fxY y ),−∞(
其
Yf (y)=
（
2分）求关别 X于 关及于 的Y缘边密函度； 数（3）X 与Y 是否立独？ 1）求常（数k ； +∞ + 1∞x 解 （1 ） 满k足 ∫∞ ∫− −∞ f( x, y) xddy= 1即， ∫ 0xd∫ 0 k 1 −( x) dy = y1 得解k =2 4 （；）X2的边缘密度函 数f
(Xx) = ∫ − ∞ fx( ,y) y =d
∞
+∫0 24
1 ( − x )yd ,
y
0x
0
,
=
1 x (21− x ,
2
)
,0
Genera
tde b yoFix PtF DCeatrro oFitx oftwaSreh tt:/pwww.fo/xitsotwarefcom F.r ovaelatuio noln.
y 的Y缘边度函密为
数Yf (y)
=y∫2 4( 1− )xy dx,
0
2
,0
4=
易 ，
见
41. 设随机变 量X 与 Y的联 分合布为律X\Y 0 1 2
35
0
2
25
b
1
a 125
3
2 5 22
5
且(YP = |1X = 0 )= ， 1（）求常 数,ab 值； 的（）2 a,当b （取）1中的时，X 与 值 是Y否独？为什立么？ （解）1a, b 须满必足∑ ∑ p ij = 1 ，
即j=1 i 1 =23
23 1 2 7 ，1另由条件 +外ba++ ++ = 1 ，
可推出a +b= 2 55225 2 525
概定义及已知率的件得条
(YP= 1|X 0) ==
3
( P = X0, Y 1=)b = = 2 5 P( X=0 +)b 5 32 7 141 由解此得b ，=结合a +b = 可到 a得 ，= 25 5 2251 a=4 2 即53 b= 5214 35 17 （2） a当= , =b 时，可求 得( PX= 0 =), P(Y =0 ) ，易= 2见 55 25 22 52 ( X P= 0,Y =0)= P≠( = 0X)P(Y 0 )= 2
5
因，此 与 YX 独立。 15不.对 于第2 题中 二维随的机变 量 (X ,Y )的分 布，求当 =Y 2 时 X的 条件布律。 分解 易 p知2⋅ =PY (= )2= ，此 Y因= 2时 X 的件条布律为分X| =2 Y率 1
概p1 2 =1 p⋅2
31
22p
221 = p ⋅ 32
3p3
2 = p1⋅ 2 13
61.对 于 第 题6的中维二随变机 量 ( , Y X)的分 布求当 ， = Xx − 解 , 的边X密度缘数为函由第（7 题求得所
）f Xx ) =
4(( x2 +)1 0,
,1
Gneeatredby Fox t PiFD reCatro Foitx oSfware http:t/ww/w.fxoitostfawr.eom cFor vealuaiot noln.y
由条件度密函的数义定知当 X= x,
f− Y X | y |( x =)f (x y,) =f X ( x)
1
,=
,12x + 10,
0
他习
题六解答1
. X设的分布律 X 为概 -2率
8
10-5
1.4
0
18
2
4
1
1 3 6求：以出随机变量下分的律布 （。1 ）X+ 2 ；（ ） 2−X +1 ； （ ）3X 2 。
解由 X 的 布律分列可出下表 概率
XX+2 − X+ X1
2 8
11
41
8
61
13
-20 34
-
0.5 .1 155 0..25
0 2 1
0
24 -1 4
4 63-1
6由
表此可定出（1 ） + X2 分布律的为
X2+
0
81
率 （2概）− X + 1 的分布 律为−
X +
13
124
2
18
4
1
63 2 1
4
6
1 3
-
31
3
1
-16
1
1
81 144
3
18
概 率（）3X 2 的分布律为
X
2
40
724
1
6
13
1 8
11 7 中其 PX2 = 4 P =( X= 2) + P ( = −2) =X +=。 8 6 42
概率
()
2
. 随机设变量X 服 参数从λ =1 的泊松分，布记随变机量 Y= 布 。律 解由于X 从参服 数λ= 1的泊 松分布因此，
1k−1 e −1 ,k= 0 1,2, L ,,e =k k! e! 1−e − 1 += e2 1− ；0 ! !
1, 0X 若 1;≤ ,1若 >X1,
试
求随机量变 Y的分
P(
X k=) =
而
P(Y = 0) = P (X ≤ 1)= P( X= ) + 0 ( P X 1= =
)PY( 1) == P( X> 1) = 1 − P (X≤ )1 = 1 2− −e 。
1
eGnreaetd b FoxityP DF Crateo r Foxti Sftoawerh tt:/pww/w.foixtsfotwar.ceo mFr evolaation uoln.
y即
Y的分律布为Y 率概 3 设. 的X度密数函 f为( x )
=2 x ,,0 0
他
0
e2
−1
1
1− e2 −1
以下求随变量的机度密数函：（ ）1 2 ；X（2 ）− + X1；
（
3）X 2 。 解求连型随续机量变的函数密度的数可通过函求其分布先函数然，再求后度密函。数如 y = 果 g( ) x单调可为函导，则也数利可用质性求得。（ ）解法1一：设 Y =2 X ， 则Y 的布函数
y分 F ( Yy) =P(Y ≤ y = P(2 X)≤ ) =y P X≤ 2 0
= 02∫ xdx 2 2y 1 1 2 ≥0 2∫x dx
0
2 4 y
y1
=f
Y ( ) y= F′Y( y) =
y2 0
0
2解
二法： y = 2x， x
= f (Yy )= f X ((h ))yh ′( y )
1y = (hy ) ， h ′( 而y) = ，则2
2=
⋅2
1y ⋅ 2, 2
,0 y0
f数 (Yy ) f= X (h ( y) h )′( y)
=y 1 2
21 ( −y) × ( − 1)
2( y −1)
0
他
=0
（ 23） 设Y =X ， 由 于 X 取只 (,0)1中 的 值 ， 所 以y= x2 也 为单 调函 数 ， 其 反 数
函( h ) y= , hy (′ y) = 11， 因此Y 的度函数密为2 y
2y⋅0, 1 1 1 ,,2 y
0
f
Y( y ) = f (X( h )) hy′ ( y) =
0
y
他=
0,
4. 对
片圆径进行直量测测，量值X 服从 ( 56,) 的上均匀布，求圆面分 Y 积的概率密。度 解 面圆积Y =π 2X ，于由 均X取 匀5(6,) 的中，所以 X值 的密函度数
Xf x ()=
1
41
,0,
5
Ge
erntea by dFoxi tDP CFretar o oxFtiS fotwarehttp //www:fo.xitoftwase.rcm oFor ealuvtioanonly.
y且 =πx2 为单 增加函数 调(x∈ 5,(6)) 其反函，
h(数y ) =4
y1 4
π
=
2y
π
h ′,(y )=
π2
⋅
1
1 = 1，2 y πy
Y
的密 函度数
为 fY( y )= fX h(( )y h )′ y )(= 1
π
0,
,
y
5
2y
π
其他, ;1 5 2 ,π
(
)
P
y≤X ≤
− Y ( f )y= F ′ Y y() =
(
y =∫
)
(
)
y
−
yf
( x X)dx= ∫ e
−
2
y
y
21
πe−2
y
−
ye
−2x
2
dx
.,
2π10,
1 2 y
−y
1+ 2
π1
2 y
y > ; 0其,
y > 他;
0
1 2=π
ey ,
2其他
.0 6. 设,机随量变 X服参从数为1 的 数指分布，求随机量变的函 Y =数e X的密度函 数f (Yy )。 x > 0; −x e,解 f X ( x )= 其 .他0 ,1 y = x e反的数函h( y )= l n y, h ( ′y) = 因，此求所 Y 的密度函数为 y 1的e − l n , lny y 0> f Y ; y ( ) f=X (h( y ) h)( ′ y ) y =他,其 ,01 , > y1 ; y2=其 . 他, 07.设 X 服从 Ν (0,)1，证 明 Xσ+ 服从 Νaa, σ 2,其 a中, σ为两个常数且σ > 0 1。− 2x 2e −, 0 时 ， 证明由 于 X~ Ν (0,1 , ) 所 以 Xf ( x)= 2 πy−a y =1σx + a 为 单 增函数 ， 其 反函 数 (hy ) = , 因 此Y 的 密 度函 数 , 为h ( y ) ′
=(
)
σσ
f
Y y( ) f X=( h y () h )′(y ) =
1
π 即2证明了σ X + ~ aΝ(a, 2 σ)
。e
1 ya − − 2 σ
2
⋅
1σ
=
12π
σ
e
−
(
ya−)
2 σ
2
2
−,
，
G
eneratde ybFoxi PDFtCr ater Fooxti Sotwafr hetp:/tw/w.wofxtiofswart.eom cForeval auitn onol.
y.8 随机设变量 X区间在[ − ,12]上 从服匀均布分随，变机量 Y =试 随机变量求函数 Y分布的。 律 解而
1
, 若X 0> 0,；若X = 0 −；, 1X
若X ~R [ −1,2 ，] 则f( x) =P(
Y −1= =) P X( 0
1
3 0,
−1
,
−
1 d1 x =； 33 (Y P=0 ) =P (X = 0 ) 0= ；2 12 P( Y= 1)= P( X >0 ) =∫dx =。 03 3因所求分布此为
律
Y概率 9.设 维二随机变 ( 量X, Y ) 分的布 律\YX
-
11
03
1 20 3
１
２ ３ 11 1１ 4 4 8 1 ０２ ０ 811 ３ ０ 8 8求以 随机变下的分量布： （１律 ） X+Y ； ２（ ） X Y−； （３ 2）X ；（４ ）Y X。 解 11 111 1 ０００ 率概 448 88 8 X(, Y )(,1)1 (1,2 )(1,)3( ,21 )2(,2) (,32)( ,31 ()3,)2( 3,3) ２３４ ４ ５ ３ ４ ６５X +Y ０- １ 2 -1 0 - 121 0 X − Y1 2 23 4 6 369 XY 从 而到得（1 ）２ ３ ４ ５ +X 1Y3 1 1 概 4率8 4 8 （ ２） 1 -２ 1 0 2-X − Y 11 1 1 概1率8 44 48（ ３）从联合布分可求得律Ｘ边缘的布分律为 Ｘ ２ 5１ 1概 率88 由 此得2 X分的律布为Ｘ ２ ４
1３ 4 ６
Geneater dy Foxib tPDFC retor Faxio Softwarteh tpt//:wwwfoxit.ofswtaerc.m Foo revluataon ionl.
y概率
（ ４）XY
85
1
8
1 4
2
36 31 1 概 率 8 84 1 1 １.０设 机随量变、Ｙ相Ｘ独立， X互 B1, ~, Y~ B 1 , , 4 4（１）记随机 变量Z = X Y +求 Z 的，布分律；（ ２）随机记变量 U= 2 X，求U 分布的。律 从证实：即而Ｘ使、服Ｙ同样的分布从， X Y+与 2 X 分布的并不一相同定直，观地解释这一结论。 1 1 1 解（１ 由于 X）~ B1 , , ~ YB1, ， 且Ｘ与独Ｙ，由立布可加分知性X Y +~ B 2, ，即 4 4 k 42 −k 2 1 3 (ZP =k ) =P X( + Y=k ) = k 4 4 ,k = 0 1, 2 ,,计经有 算 ０ ２１Z 6 1 9概 率 61 611 6 ２）（于由 ０ １ X 3 1概率 44 此 ０因２ U= X21 3概 率44 见 X + Y易与 2 X的布并不相同分。直 的解释观是 的X+ Y 与 X 的2值取并相同，不 是这因 为 X Y 并与一定同时取不同一，值而导致它因的分布也不们。同 １. 设１维二机变随 量( X,Y )的联 分合律为布X Y \ ２１３ 1 １００ 9 2 1 ０ ２ 992 2 ３1 99 （9１求） =Umax ( X , Y 的分)律； （２布） 求V= inm ( , Y X 的)布律分。 解（１）机随量 U变 可能到的取为值１，，２３中的个，一且
11 4
Geeratned b Foxyi tPD CFraeotr FoxitSo tfwraeh ttp:/www./foxtsifotwre.camo or Fveluaatonion yl.
1
P U(= 1 )= P m(a ( Xx, Y ) 1= ) =(PX = 1 Y = ,1) =; 9 P(U = )2 = (mPxa ( , XY = 2) )=P( X =1, = 2Y)+ P X(= 2 , Y= ) +1 P(X = ,2Y = 2
)
2 11= 0++ ; =99 3 ()( P U = 3 P= max (X , Y) = )3 综有合= P (X = 1 , Y =) + 3P(X =2, =Y3) + P (X= 3, Y = )1+ P ( = 3,XY 2)= P( X += , Y = 3) 322 1 5 = 0 0+ +++ ;=9 99 9 １２ ３ 1U 1 概5率 93 9（２ 随机变量 V 可）能取到的值１，为，３中的一２个，且
P(V =1 =)P (mni X(, Y )= 1 )== P( X= 1, Y 1= ) + P(X =1, Y= 2 ) P( X+= 1 , Y =3 )+ P X(= ,2Y = ) + P1(X =3, Y =1) 同 可 理求 得 1 22 5 0++0+ + = ; 999
191 (P = V2 )= ,P( =V 3 )=, 综合有 93
１
２ ３ 5 1 1概 9率 93１２. 设二维随变量 ( 机X Y,) 服在从Ｄ上的匀均分布，中Ｄ为其线 x直 =,0 =y0 ， x = , 2y =2 所围 的成域，求 X −区 Y的分函数及密度布函数 。 解( X ,Y ) 的合密度联函为数V
y
z
2
D-
20
2
x图 6 2.
1 f ( x, y ),= 4
设. Z= X− Y 则 Z，的 布分数函
FZ
z )( =(Z P≤ ) =z
Ge
enrated yb oxiF tPF DrCetao rFox i tSotwarfe tht://pwwwfoxi.softwartecom.Fo rveauatlon oinl.
y=
( X −PY ≤ )
z Dz
∫z∫f x, ( )yxdd
y y2
其区域 中D = z{( , xy) : x−y ≤ z}， 当 z
z
当− 2≤ z
′
z
D
.3，6此时
1
× 区域Dz 的面′积4 11 122 = ×(2 − z ) (= + z 2 )42 8 =其
D中z ′ 是 域区Dz 限 在0
Z (Fz ) = ∫∫f ( x, yd)dx =y1 。
D z
- y 2
0
图 623 . 2x
中的那分。
部
Dz
2
-
20
2 x
图6 4.
的
部那分
y 。2
综
有
合0,
D
FZz ( z)
= 12(+ z ) 2, 8 12 1 −2 ( z −) , 81
, 1( 2+z ), 41 2 (−z ,)4 0 ,
z
2 x 6图.5
-2
0
0 ≤ z 2
Z
的度密函数
−
2
2f Z
( z ) =F′ (Zz )=
他. 其13.设 ( X ,Y )的 密度函数 f (为 x , ) y，用数 函f 达随机表量变 X+ Y 的密度数函。 解 设Z X= +Y , Z则的 布分数函
G
neeated by Foxit PrDF reCtaro Foxi t Sotfare wttph/:ww/wf.xiostfowtaerco. Fmorev lauaiot nnly.
oZF ( ) z=P(Z z≤) = P X( + Y≤z =
)积分变量对y 作变 换u= x + y得，到
+ x≤ zy
∫∫f (, x )dxydy ∫=
+
∞
−∞
d
∫x
−zx
−∞
f (
,xy dx)yd
∫。于是
−zx
−
f ∞ x(, y dy = )
∫+ −∞ ∞z ∞−
z
Z F (z =) FZ∫( z = ∫)
{∫ {
∫
z
∞ −∞
f + (x, − xu)d u d x交，积换分量变x, u 的 次得序
−∞
f}( x, −u x) xd d}
u∞
f (−x ,u− x )d
从而， uZ 的度函数为 f 密Z z ) =( ∫
+∞
−∞
f
(x z − x )d,x
，+∞−∞
把
X Y 与地的对换，同位样得可到Z 密的度数函的另种形式一f Z (z) = ∫
f
( − yz y ,dy)
。题七解答习1
.设 X 的分布律为 ， 概X 率- 11
3 1 2 1 6
01
6
11 12
2
41
（求） 1E ，X（ 2） E( − X + 1)， （3 ） E( X 2 )， 4）（DX 解。由随 变量 X 机分布律的， 1得X -1 02 1 - X1+ 21 2 1 X 1 02 141 1 P 36 6 所以 1 1 1 1 1 11E ( X )= (1)−× + 0 × × ++ 1 × 2 + ×= 36 621 2 43 11 1 111 E (2− X +)1 =2 × + ×1+ + ×0 ×+ ( −1 )×= 362 6 2 14 1 3 1 1 1 1 13 5E X( 2 ) =×1 +0 ×+ ×+ 1× +4 × = 3 6 4 6 1 2 44 32 512 9 7 ( D ) =XE ( X 2 − ()E (X ) )2 =− ) = 2( 3472
1 0
1112
2
- 411
4
另外
，可也根据数学望期的性可得质：1 2 E(− X+1 ) −=E ( X + 1)= − 1+= 332. 设随变机量X 服从 参为数λ (λ >0) 泊的分松布且，已知 E([X − )( X − 23)] 2=，求 λ的。值解
(
DX ) + (((E X)) ) 5−(EX ) + 6 = 22
E[(
X 2 −( ) −X3)] =E X 2 − X5 6+= E 2X− 5E( X )+ 6 =2
(
eGenatrd beyF oxtiP D FCraetor Fxot Softiwae rhtt:p/www/fo.xitsfowtaer.cm For evalouaito onlyn.
)()
λ+ λ −2 5 λ+4 = 0 λ 2=3
.设 X 表 示10 独次重立复击命射目标中次的，数每次中命目的概标为率0. 4试求 X，2 的数学 期望 E X 2 。解 ~ B(10X,0.4 ) 所以E ( )X 1=0× 0. 4 4, D=( X )= 1 × 0.4 0 0×6. = 24.
( )
E
X2 = ( DX) + ( ( XE)) = .2 +4 42= 18.4 4. 际市场每国对我年某种国出口商品需的量 X 是求一个随机变量，在它[20004，00]0单位：（ ）吨服上从均匀分布若。售每一出吨，可外得 汇3 美万元，若销售出而不积，压每吨需则保养费 1万美元 问应组。多织货少，才能源使平收均最益大 解？设 机变量随 Y表 平示收益（均位单：万）元， 货量进 为a
吨故
( )
2
Y
=
3 则 −X a( X − 3a
)x
a x
E
Y )( =∫ =
(
4 x − a ) 200
a0
4
0001 1 xd +∫ 3 dxaa 200 2000
0
1 −a 22 1+040a0− 80 00000 0200要 得平使收益均 E( )Y 最，所大 以′− a 22 1+4000a − 0000800= 0得 a = 500 （3）吨 5 一.台备设由大部件构三，在成备运转过设中程各件部要调整需的率相概应为0 1，.0.，203. ，设假各部件状的态互独相立以， 表X示同需时调要整部的件数，试 X 的求学期数望E ( X 和方) 差(D )X。 解 X 可能的取值为 ，1，02，3有 ，(P X= ) 0= 0.9× .08 ×0. = 0.574 P0 (X= 1)= 0 . 1×0.8 ×0.7 + 0. ×90 2 . ×07 .+0.9 × 0. × 083. = .3098
(
)
)(
P(X = ) 2 =01.× 02 × ..0 +7 09 ×. .02 0×3.+ .10 ×0 . 8× .03 = .092 0(P X= 3) = .10× 0.2 0.3 ×= .0060 所 X以的 分律为 布X0 1 2 3rP0 504 .0398. 009.2 0.060E ( X) = 0 0×.05 + 1 4 ×0398. +2 × 0 .920 + 3 ×.006 = 006
E X 2. =0 2 × 0.54 0+1 2 × .309 8+ 2 2×0 092.+ 3 2 × 000.6= .802D (X =)0.8 2 −( .0) = 6.0642
(
)
6
.
设 的X密度函为 f数( x)
1=−x e ，求1） （ E( X) ； （2 ）E X 。 2
2
()
∞+1 −x 解 （1）E ( X ) = ∫x⋅ ed = 0x −∞ 2 ∞ +∞+ 1 1x （−2 ）E X(2 ) = ∫ x ⋅2 edx = 2∫ x 2 e x−dx = −2 0∞2 2
注：求
解1（时）利被积用数是奇函数的函质，性求（解2）时化为 简∫ x 2e− dx x可以成为是
看
0
∞+
服参数为 1从的指数分布随 变机的量阶二点矩原。
G
enearte bd Fyoix tDPF rCatero Foitx oStfwaer htp://tww.fwoxtiosftwar.ceo Fmroeva ultioano lny
.
(12 − x), 0 0 x≤ 02−X 、 D (X )。 求 E ( X) 、E 2 ( X)、 EX e+
解
)
(
(X E)=
∫+
∞
E (
2 X) = 2 E X( )=2
+∞+ ∞ 14 E ( X + e − X2 )= E ( X )+ E(e −2 X )= 1 +∫ e − 2 xe − xdx = 1+ ∫e − x dx 3=1 + = 00 33
0x e− x dx =1
(EX2) ∫
+=∞
0
x
2e −x d x 2=2
9. 设
随机量 ( 变 ,X )Y的 联合分布为 X\律 0 1 Y 003 0..21 04 0.. 1求 E( X )、E Y ) (、E X( − Y2 ) 、E 3(X Y) 、 D(X 、) D (Y) 、 co( Xv, Y )、 ρ X ,Y 。于关X Y与 的边分布缘分别为律 ：X0 1 rP0. 50.5 E ( X ) = 0× 05 .+1 ×0.5 = .5 解 Y0Pr 007 .10 .
D3 ( )X = E( 2X) − (E ( X )) =1
E X2 0=2 × 0 5 .+ 1 ×2 0. 5=0. 5 D( X ) = 0. 5− (0.5) = 02. E5( Y) = 0 × .07 1 × +.0 3 0.3=2
( ( )
E) Y2 = 0 2 × 0.7 12+× 0. 3= 0.3 D Y () 0.=3− 0(3. =)0. 2 E1 X − (Y ) = E 2( ) X− 2E Y() = 0. 5 2−× .03= −0.1 E(3 X Y ) 3=E( X )Y 3(= × 0 ×0 .30 0 × +1 0.×2+ 1 × 0×0.4 +1 1 × ×.0)1= 3 0×1. = .3 0cvo(X Y,) =E ( YX − E ) ( ) ⋅ X E(Y ) =01.− 0.5 × 03. =− 005
.2
ρX , Y
=
ov(cX , Y) =D X ( )D (Y) 2
e − 2 x0
− .050 2 1= 21 −0.5 022.
x10 x≤>0
01.设随机 量 X,变Y相 独立互，它的密们度数分函为别
f X
(x ) =
求 (DX + Y ) 。 解
f Yy()= 1
1 = 2， 42
4e − 4y0
y >0
≤y0
X~ E (2 ) 所， 以 (D X )
=
Gneertad eybFo xi PtF DCeraor t Fxit ooSftarwe htt:/p/wwwf.xitoostwfaer.omc Fo eravuatlon oniy.
l
Y~E 4)(， 以 所(DY )=X
Y, 相独立，互以
所 1 = ， 21 6 1
5 4 1。61 1.设 (X Y ,)服从 在 A 的均上匀布，其中 分 A 为 x轴y、轴 及直 线x y + 1 =+0 所 围成的区，域求（1） E( X ) （2；）E − (3X +Y2) ； 3（） E (Y )X 值的 。 解先出画A 区的域 图D (X + Y) D = X() + D(Y ) =
y A0 --y1 -1 -1yx x
(x, y
) ∈
A
0+ ∞−∞
0f
(x , y =
)其
他
2 X f x() ∫= (fx, y ) yd=
−1≤ x ≤
0∫
−
x−1
2dy =(12 + x)
f Y0( y ) = f∫( x, y ) xd =
∞ +∞−
其
他
∫
−10−
y
2dx
=
2( 1+ y
)0
1−≤ y ≤
0其
1 3 0他1 E ( Y) = ∫y ⋅2( + 1y) dy= − −1 3 E (X )=∫ x 2⋅( + 1x) xd=
−0 −
11 1 E 1( −3X + Y )2= −3E ( X ) + 2E Y )(= − 3× − + 2× − =3 33 0 001 E (2XY ) = ∫∫x y dyd2x =∫− x(1 + ) xd =x − 11−− x−112 1 2. 设机变量 ( X ,随Y ) 的 联密合函度为数
0
≤ y ≤x≤ 1 21y 2 0 他其2 2求 (E X) ,E ( Y ) , E XY() ,EX + Y, ( D X) ,DY ( 。 )解 画出区域 先 ≤0 y≤x ≤ 1图的
f( x, y )
=(
)
y
1
fX( )x= ∫ f( x,y )d =y+∞ −∞
0
≤x ≤
G
1∫
1 2
y0
x
2
dy= 4 x3
0
其
f他 ( Y y ) =∫f ( x, y )d =
x∞ +∞
−
0
1x
∫ 12
y
y
12
d y 1= 2 2 y1 −( y)
0
≤ ≤1y
eGenatrd ebyFo xtiP FD Certao rFo itx Sotwafreh ttp/:/ww.woxftsifowarte.oc Fmor evluationa onyl.
10 4 E( X = )∫ x⋅ 4 x3 xd =05 E Y )( ∫=y 12 y ⋅ (21 − yd)y=
01
他其
351 2
11 0
0E ( XY
) ∫=
1
00
∫
X
xy ⋅
12 y2 ydxd
=E
( 2X +Y )2 = E( X 2 )+ E (Y 2) =∫ x2 ⋅ 4 3xx d + y∫2 12⋅y 2 ( −1 )yd y=D (X ) E= (X2
2
1 156
)
−( E( )X)2
2 4 24 = −= 6 5 5
7
2
2
6
3 1 D(Y ) E=(Y ) − E (Y )() − = = 5 15 7 53. 设随1机量 X变, 相互独Y立且 ， E X() = E Y() =1,D( X ) =, D 2Y ( = 3)，求 D (X Y) 。 解2 D (X Y)= E XY 2 2− (E( XY )
=) ( XD) + ( E (X ) D () )Y+ (E (Y )) −[E (X ) ][E ( )Y] = ( + 12)( 3+ 1) −1 ⋅1= 11 14 设.D ( X) =52,D ( )Y =6,3ρ XY, =0. ，4（1求）D( X+ Y ) ；（2） ( DX− Y ) 。2
2 2
2
( ) =E( X)E ( Y) −E ((X )⋅ E(Y))
2
2
[
2]
[
]解
（：）1D ( X + Y =)D ( X +)D Y( )+ ρ 2 X, DY(X ) D Y( ) （）2D (X −Y ) = D ( X) D +Y ( )− 2 ρX,Y D( X )D(Y =)25 +3 6 −2× 0 4 .× 2 ⋅536 = 3 715.设随 机量变 X Y, 互相独，立X N~(1 ,1 )， Y~N −(21, )求 E ，2 X( Y )+,D ( 2 X+ Y ) 解 。E( X ) = 1, D (X) =1 ; E(Y ) −=2, (D )Y= 1 (E 2 X Y+ = 2 ) E( X + E (Y )) =2 × + (12− )=0 D( 2 X+Y ) =22 (DX ) + D ( ) =Y × 4 1 1 =+5 6. 验1证 ： 当 X(, Y ) 为 二 连维续 型 随 机 变 量 时 ， 按公 式 E X=∫
+ −∞∞ +∞+ −∞∞ ∞
−=
5 + 236 +2× 04 .×2 5 ⋅63= 8 5
∫
xf (
,x )dyyxd 及按 公
式EX ∫= fx x( dx) 得算 的E X值等相。里， f 这 (,x y )、 f(x ) 依表示次 X ( Y ,),X 的 分布度。
证密明
71. 设 X 的方差为 2.，5利用比晓夫契不等式估 P{ 计X − E ≥ X.57}的值 。( XD )2 5. =1= 解 P X{ −X ≥ 7E5} . 2 2≤7.5 7. 52.2 58.1设 随变量 机 和X Y的学期望分别为数2-和 2方差分别为，1 4，而和关相系数-为.50根据 切，比夫雪等式不估计P ( X + Y ≥6 )的 。值解 ( DX+ Y ) =D( X +)D(Y )+2 ρX ,YD ( X ) DY ) = (1+ 4 + 2 × ( −0.5) 1⋅4 = 3 以
所EX =
∫+
∞
∞−
∫
+∞
−∞
xf (x, )ydyd =x∫
∞+
−∞
x
∫
+
∞
−∞
f
(x, y dy)xd= ∫
+ ∞
∞−
xf (
x )d
xE (
X + Y ) E (= X) + E ( Y)= 2 −+ 2= 0
P (
X +Y ≥ ) 6 P =( +XY − ≥0 6
)
Gneeater by dFxio tDFPC eraort oFitx Sftoawe rhtt:p//ww.fowitxsftwoae.com Fror veaulaiontonl .
yD(
X +Y ) =11 6222 1 在.寿保险公司人里 3有000个同龄 人参加的人保险。在 寿 年1每人的死亡内为率 .01，参% 保险加人在的1 年第的天交一付保险 费0 1，元死亡家时属可以从保公险领司 200取 0。元用中心 极试定限求理保公险亏本司概的率。解 死设人亡数 X为 , X ~B(300,00001. ，)险保公亏本当司且当仅20 00X > 1 0 30×0 ，即 0X 15 。>于 是由棣莫，弗拉—普拉定斯，公理亏司本概的率 为X − p 1n 5 n−p > P( > X5) 1=P np(1 − p ) ( 1 −)n p 1p −53 x−3> = p 3 ×0.9991. 3 7 ≈ − 1Φ (693. ) 0 ≤
=
=P X( Y+− ( XE + Y ) 6≥)
习
题九答
解1 设 .X1 ,X 2 , L ,X6 来是自从服参为 数λ 的泊松布 分P(λ) 样本，的写试出样的联本分合律。布解
fx1 , ( x ,2,L x ) = e6−
λ λ1xx
!1n
e ⋅−
λ λx2
2x !
⋅ L⋅ e−
λ λ6xx6
!
= e
6 −
λ
6
λ∑
i
x=i1
∏
x
!i=1 i
1x, x 2,, xL6 0=1,2,,L
2.
X设1 , X 2,L X 6, 是来自(0 , θ)上的均匀分布的 本， θ样 > 未知 （01）出样本写联的密合函数；度 2）（出指下样列本函数哪些中统是计量，哪不些？为是什？
么1T= X 1+X 2 + L+ X6 , T2 X=6 −θ ,T3 =X6 − E( X 1 ) ,T4 = axm (X 1 , X ,L2 ,X 6)
6（
3）样本的一设观组察：0.是,5,0.1,7.6,1,0,1写出样均值本样本、差和标准方。 解差 −θ 60
2i
n 1ni =1
1 6 6i=
1 (0.1 +5 1+ 0 . + 07. 6 +1+ 1 =) 0. 68
2
样
方本差S 2 = ∑(X i − )X = (X∑i − )X
1 n 1
6n =i 16 =1i 122 2 2 2 2 (− 0.=) + (3.20 +) (− .0)1 +(− 0 2. +) 0(. )2 (0.+2)= 0.043 63
(
)
本样准标差 =S S 2=0. 4033 =0.280 。 2 2 32.查 求 表 0χ .99( 2)1， χ0 .0 112()， t 0.9 912) ( ，t0.01 (12) 解 4.。设 T ~ (10 t) 求常，数 ，使 c(T >Pc ) = 0. 5 9
2。2 χ 0 9. 912() = 26217 ， χ.0 .10(1 ) 2=3.5 1 7， t09. (19)2 =2 6810. ， 0.t0 (12) = 12.−6801。
解 由t 分布关纵轴对于，所称以P (T> c ) = 0.5 即9 P为T ( −c )> =00.5。 附由 5表6 可查得 − .c 1.=18 所以 ， =c 1−.1 。8 5.设 X 1 ,X ,L2 ,Xn 来自是正态总 Ν (0体,σ )2 样本的试，证： （） （21
）1
Ge
nraeedt y boxFti PD CFratero Fxoti oftSarwe thpt/:/wwwf.oixtofswtar.eom coFrev laatuoi nnlo.y
σ
2
∑
Xi 2~ χ 2 n()
；n i=1
1
n X
~ 2χ( ) 。 2 1∑ i nσ i =1
X
2i
2证明：
n 1X （1）独 同分布立于 Ν (,0) ，由1χ 布分定的义 ∑ ， i~ χ (n2) ，即 2 ∑ X 2i ~ 2χ(n ) 。σσ i = i =11 σ
n2
（2 ） 易 见，∑ Xi~ Ν 0(, σ n ) ， 2即
n i1
∑=Xi
i=1
n
σn2
n ∑ X i ~ χ 2 (1 ) ，即 ~ Ν (0,1) ， 由 χ2 分 布 定 的义， i= n1σ2
2
2 （1试给）常出数c ，得 c (使X12 X 2 )+ 从服χ 2 布，并分出它指的自度；
由1 n X~ χ (2) 。 21 ∑i nσ i 1 = 6 .设X 1 , X2 , ,LX 5 独是且服从相同立布分的机随量变，且一个每 X ii =( 1,,L,25 )都从 Ν服 (,1)0。
X +1 X
22
（
）试给出2常 d ，数使 d得
2 X
23 2+ X 4 +5X
服从 t
分，并布指出的自它由。度
2解（ 1易见），X 1 2+X 2 即二个为立独服的从 Ν( ,01)的 机变量随方和平服从，χ 2 2( 分布)即 ，c= 1自由； 度 2为 。2（）由 X于1 + X 2 Ν (0~2,)， 则
2 2 2 又X + 3X4+ X5 ~ χ2(3 ) ，
X 1+ X 22
Ν (0,1~)。
X
+1X 2 2
22 2与 3 X互独相立，则 + X4 X5
(+
即即 d
6=
2(X1+ X 2
2 X)
32
+
2X4
2+X 53
)
~ t(3) ~t 3(
)X
1 +X
22 22 X 3+ X4 + X
5 ~XB(1, p )； （ 2 X ） E~( ) ；λ（ 3 ）X ~R( 0,θ 2)， 中其θ > 0 。
，自由度为 3。6 2. 设 (7X 1 ,X 2 , , XL n)是 取自体总 X一的个本样， 下列三在种况下情 ，分别求E ( X,) (DX), E 2S ：（1）
(
)
解（） 1X~ (B, 1p)
E ( X =)p ,E X 2 ) ( p,=D ( X ) = (p1− p ) 1n 1 n (E X) = E X∑i = ∑E Xi () = p n =1i n i = 1 p 1( − )p 1 n 1 nD (X )= D ∑ X i = 2 ∑D ( iX = n ) i =1n ni= 1
Geenarted by oxFit PF DCraeotr F xot Softwire ahtpt://wwwf.xotsoiftwrae.cmo For veluataoi nnoyl
2 . 1 n n 11 n E S 2 ) ( = E∑ ( X i− X) n = E ∑ X i 2− n X 2 ∑ E = ( iX2) − n E (X 2) n i1 =n i= 1 ni =1 2 2 1n = ∑D (Xi ) +( E ( i )X) − n D X )( + (E X) n =1i
(
)
((
)
)p (1 − p ) 1+ 2p n p n −nn 1 = 1 − p (1 − p) n （） X2 ~ Eλ() =
E ( X)= E (X =) D X( ) =
1
λ1
, D
X( )=
1λ
2,
λ
1n 2 λ1n 2E 2S = ∑( D Xi) + (E( iX )) − n2 D( X + () (XE) )n i =1 3）（ X ~ (0,Rθ2 ) ，其中 θ> 0 E X ) = θ(
( )
(
) (
1 ) = −11 n
λ
2D
(X) = D( ) = X ES
θ223
E(X = )
θ
θ2
()
3
n1n 2 = ∑D (Xi ) + E( (X i ))2 −n D (X +)( E(X )) n i 1=
(
)(
θ) = 1 1- n 3
2
8. 某市
有01000 0年满个 18 岁居的民，们中 他0%年1收超入过 1 ，万0%受过高等教2育。从 今中抽取1 060 的人随机本，样求 ：（1）样本中
不少于1 %的1年收入人超 1过 万的率概 （2；样）中本 91% 2和%之1间人的过高等受教的概育。 率解（ 1）入引新量：变Xi = ，第1 i个本样居民收年入超 过1万 0第，i 个 本居民样收年没入超 1 过 其万中i = ,12L, ,,n = n160 0见易：p =(P Xi= 1) 0=1.又因 n= 16 00
µ 。=E X(i ) 0=.1,σ = ( XD i) =0. × 0.91= 0.3
σ 2 样本中年收入过超 1万比例的即为 X，由 于n 1=06 较大，0可以 使渐用近布求分解 即， X ~ Ν µ, n ， 所概率即为求
n (X −µ ) 04(.011− 0.) 1 P (X ≥ 11 % )= −1 P (X≤ 0.11 )= 1 −P ≤ σ 0. 3 4 = −1Φ =1 −09082. =.09180 3
2）同（1（）法
解G
nerated byeFoxit P FD Ceartor Foix Stoftwra hettp:/www./foxtiostfwra.com eoFr valueaiont onl.y
引新变入：
量X =
i
1第 ， i个本居样受过民等教高育 ，第 0i 个本样居民未受高等过育
教其
中i = 12,,, L,nn 1=600
p P( = Xi = )1= .0
4020(.91 − 0.2) n(X − µ) 4 0(.02 1 −0. )2 ≤≤P (19 % ≤ ≤X 21 ) =% P 0.4 0. σ4 = Φ () 1 − Φ− 1() 2Φ(1=)− 1 2 × =084.31 −1= 0. 686
µ2= 02.σ ,= 0.2× 0.8 = 04
.
： 答（1样）本不中于少1 1的人年%入收超 1过 万概率的为 .09018； 2（）样中本19 % 2和1%间之的受人过等教高育的概为率0 6.826
。题习解十答1.
设X 1, X 2 , L X,n 是自取体 X总 的一样个，在本下列情形，下求试体参总数的估计与矩最似 大估然： （计1 ）X~ B(n, p ) ， 中 p 其知，未0
。 ˆ =X 。解（ 1）E X() = ，故p p 的估矩量有计 p另，X 的分布律 P(为X x=) = p x 1(− p 1− ) x x , 0,=1， 故似然 函为
L数( )p =p
i=1
∑Xi
n
(
1 − p)n− ∑
X =1
in
i
对
数似然函为数
n：n l n(Lp ) = ∑X i nlp + n−∑ X i l n( 1− p ) i= 1 i 1 =
令
∑X d
lnL ( ) pi=1
dp i =
pn
−
n
− Xi
i∑ =
1n
1 −p
1n n i 1
==
ˆ0= X∑i= X。 解得 p 的最 大然估计量 似
可p以看 p出的矩估 计量最大与然估似计是相量的同。 （）2E (X)
=1
λ
另，X 的 密度数为
f函X x )(=
令
，
=ˆ1 。 X =， λ故 矩估的计量 λλ X
1
λ
e−λ
0
x
x0 x≤0>
n
故
似函然数
为(λL )=
λe
n
λ ∑ − i
iX =1
X i >, i 0= 1, , L , n2其他
0
对数似
函然为数l
nLλ() = nn l λ− λ∑ X
n
i
dl L(nλ) n =n − Xi∑= 0dλ λ i1=ˆ= n 1= 。解得 λ的 最大然估计量 λ似 Xn∑ X i
=i1
i
1
=G
nereated byF oxitP F DreCtao r oxitF oStfare wtth://wpwwf.oixstofwtrea.oc mFroe vlaatuoinonly.
可 看以出λ 矩的估计与量大似然估最量是计相同的 2. 。 设X 1, X2 , , X Ln是
取自体 总X 一的个本样，其 X中服 参数从 λ 的泊松为分，其布 中 λ知，未λ >0 求 ，λ 矩估计的最大与然估计，似如到得一组本观样测 值 0 1X2 43 数 频7 12 10 021 求 λ矩的计值估与最似然大估值。计 =ˆ X。解 ( EX = ) ，故 λ 的矩估λ量计λ 由样本观 值可算得
测= 0 ×X 17 +1 ×0 2+ 2× 01+ 3 × 2+ 4 ×1 = 510
另，X 的分布律为
P( X =
) x=e −λ
λ
x!xn
x,= 01,,2,L
故
然似数为函L
λ ( )= e −λ
nλ∑
Xi
i=1
X1 L!X !
n,
X i= 0,1 2,, ,Li = 1,2 L , n
,对数似然
函为
n数 n n Llλ ) =( −nλ+ ∑ iX l λn− ∑ln( X i)! =i1 =1 i
dn Ll(λ) = − n+ λ
i d1=n
∑ X
λ
i
n
0=
ˆ = i=1解得 λ的最大 似估然计 量λ
=，X nˆ 1=。 故 λ最的大然估似值 λ 计.3 X 设 , 1X2 L , X ,n是取自 总 体 的一个样X，本其中X 服 从间 区(, 0 θ 的)匀分布均，中 θ其 0>未
∑ X
i知，求 θ
的估计。 矩θ ˆ =θ2 X 。解 E( X ) ，= =令X ，故θ 的矩计估 θ量2
2
4.设 X 1 , 2X , L ,X n是 取自体总X 的一个本样X 的，密函度数为f
(x)
2=x
2θ0
0
x
中 其 θ> 未0知，求θ 矩估的。计
22 ˆ=3 X。 d x=θ 令 ， θ = X故 ， 的θ矩估量为 计θ 332 θ 5.设 X 1, 2X , L, X n是 取总体 自X 一个样的，本X的密 函数为 度0 0 未知求，θ 矩的估和计大似然最计估。 θ +1θ +11 ˆ 1=− X2，另 ，然函似 解 数E ( X) = 0∫x ⋅( +θ 1)xθ dx = ， = 令 ，X故θ 的估计矩量为 θ +θ2 +θ2 X −
1解
E ( X )=∫0 x ⋅ θ
2x
2
L
(θ =
)(θ
+ 1) n ∏X i
nθ =1
i 0
他0
对似数函数为
Ge然neaterdby Foxt iPFD rCatore Fo ixtSo ftwraeh tt:/pww/wfoxi.tsftwaroe.omc Froe aluvtioan noyl
.n Llθ() n= ln(θ + 1)+ θ ∑ n Xli
nn d nlL θ() n =+ ∑ l Xn i= 0 + 1θ i1 =d 1 θ n得解θ 最大的似估然量计为 ˆ =θ 1 − − n =−1 。 X−∑ X ii= 1
i
= 1
6 设. X1, X ,2 ,LX n是 取 自总体 X 的 个一样 ，本总 体 服 从 参 数X 为p 几的何 分 ， 即布 x−1 P( X =x ) = p( − p1 ), (x = 12,3,, L ，其中) p知， 0
数L p ( =)p n (1 − p ∑) =1i
n
iX n−
n
ln L p ) =( lnn +p ∑ X i − lnn( 1 p− ) i =1d nl L ( ) n p =− dpp
∑ Xi − n
i =
1n
1
−p
0
=
=ˆ解 得p的 大最然估似计量为p
7. 已知
路口某辆经过的车间间隔时服指数分从布 (λ E )，中 其λ 0> 未，现知观在测六个到间时 隔数间据（位单s） ：1：.83,2.,48,,4.,5.2，5求试该路车口经过辆的平均间间时隔矩的计值与最估似然 大估值计 解 根。据习题1 的果，结λ 的 估矩计和最大然似估计量为
都1， 即 为X 。ˆ
λ
1 。X
1
，
故平均时间间隔矩的估和计 最
大X似然估都为
计由样本观测可算值 得 X=
(118 +.3 . +2 4+ 8 +4. 5+ 25. =) 4 6
x。
自这个
体总的个一样，本试求σ 的大似最然估计 。 解然似数
L函σ( )
=1
σ 8−.设 体 X 总密的度函为数f x; (σ) = e (−, ∞0 未，设 X知 1 ,X2 , L, Xn是取 σ2
∑n
(
2σ)n
1
−e =i1
X
i
σ
，
对
似数然函数为
nl L(σ ) =n−l n( σ2) −n
σ1
i
=
1∑X i
n
∑X dl L(σ n)n =i 1 =i +−= 0 σ dσ 2 1σn ˆ =∑X i 。得σ 的 最似然估大计量为σ i =1
9. 在n 3 题第中θ 的矩 计是否是 估θ的无 估偏？计
2n θ1 n2 E θˆ =nE ( X ) 2=2 E ( X) =2E ∑ X i ∑ E (=X i =)∑ = θ n =i1 2 ni =1 n i1 故=θ 矩的估计 量 2X是 θ 无偏的估计。
解
)(
0.1试证第 8 题 中 σ最的似大然计是估 的无σ偏估。
ˆ ) = 计E∑ X i = ∑ E (X i 明证 E： ( 1σn i n1 1 n n i== 1
)
Gene
arte bd yoxFi tDFP Certor Faoixt ofStwaer tthp:/www/fo.xitsotfawer.co Fomre aluvatonio nyl
.1n + 1 − ∞1 n+ ∞ 1 =−∑ ∫ ∞ − x⋅e dσx= ∑ 2 ∫ 0 x⋅ eσ dx = σσ 22σ i n1 n =i =1n 1 = ˆ ∑ X i 是σ的 无偏计。 故 σ估 的大似最估然 σ 计ni = 11 1.设 X 1 , X ,2X 3总体 X为~ Νµ , σ 的样2本证， 1 明1 ˆ1 = 1X1 + X2 +X 3 µ 63 2 21 ˆ22 = 1X+ X 2 + 3 µX 5 55
x
x
(
)都是总均值 µ体 的偏无估计，并一进步断哪判个估一有计。效 证
1明1 1 ˆ 1) = E X + X 2 + 1 3 XE µ (32 6 1 1 1 E= X( 1) +( E X )2+ E( X3 )6 3 211 1 = + +E( X) = (X )E= µ63 2
1 2 ˆ22 ) =E X 1 + X +2 X 3 (Eµ 55 5 2 12 = (EX ) 1 + E(X 2 )+ E( X3) 55 52 12 = + +( EX )=E ( ) X= µ 555 ˆ 1 µ,ˆ 2都 是总体值 µ 均的偏估计无。 以 所
µˆ 1 )= D 又D µ
(
X1 X2 X 3 + + 3 2 6 1 1 1=D ( X 1)+ D( X 2 )+ D(X )3 6 9 4 73 7 1 1 1 = + +D (X ) D(=X ) = 2 σ81 81 36 94
1
2 2 ˆ )2 = DX 1 + X2 +X 3 D (µ5 5 54 1 4=D ( X 1 )+ (DX 2 ) +( X 3D )2 25 25 59 =9D ( )X =σ 22 25 ˆ5 )2
(ˆ2 ∑= X2 i试证，1 . 2设X 1 , 2 , L X,X n 是取 自总体X ~ Ν0( σ 2,) 的个一样本其中，σ 2>0 知未，令 σ1 n n i=
1ˆ2 )= E ∑ X i2 = ∑ E (X 2i) = σ2 易见E ( σ1 n n i =1 1 nn i =1n
ˆ 2 σ 是 2相合的计。 估σ
证
明又
1σ2
∑
Xi ~2 2χ n() ，
i= 1
1n 2 Xi = 2 n ， 2∑ σ i =1 4 n 21σ4 2 ˆ σ2= DDσ X 故 。 ⋅ =2 i ∑2 n σi = 1n 由切比雪夫 不式等当， n→ ∞ ， 任对 ε给> 0
由第九，公章式（9 ）， D
(
)
ˆ
2
−σ2 >ε ≤σ
(
P
σ )Dεσˆ () 2 =εn
2
2Generatd ey boxFt iDFPC ertor a Foit xSfotwreahtt :/p/ww.wfxiotostfwaerco.mFo r evaultaiononl .y4
2
0→
ˆ2 σ是2 相合估计的。 σ
习题十一解即答1
.某车间生滚产，从长珠期践中知道实滚珠直径， X 服从正分布态Ν (µ 0,2 . ) 2从，某天产的产生品中随 机抽 6取个 量，得径如下直单（：mm位 ：14）.7,1.5,014.9,14.,8152.,511，求. µ 0.的9 双置侧 区间和信 .099 侧双信区间置 σ。 σ, X + u1− α解 于由 σ2 = 0 .22 已，所以知选 用 µ 的1 α 置−区间信 X− u−1α 。
2
n2
n
当
1− α 0=9 .，表得查 1u−α = u 0.59 1=.4 6， 当1− = α.909 ，表得 查1−uα = u .095 =92 5.6 。7 x 1=.459 ,n 6,
= 2
代2数据入 µ 的双侧 得0. 9信区置间测值为 14观95 − 1..6 ⋅4
0.2
6
14,.59+ 1 .6 ⋅
04. 2 ，为 即[1.42,18508] 。 .6
µ的侧双 0.9 9置信间观区值测 1为.459− 2 .57 6
⋅
0.
6
2
14.,9 5+2 .56 ⋅
72 .定某假店商一种中品的月销售商量从正服分布 Ν态 µ(, σ 2 )， σ未知 为。了理的合定对该确商品的进 量，货需 对 µ σ 作和计，估此为机抽取七随个，其销月售分别量为：4，567，49，8，71， 670，5，试求 9µ 双的侧 .059 置信间区和差方σ 2 的双侧0. 9置 区间信 解。由于 和 σµ 都未知故， µ 1 −的α 双 侧信置区间
为*S S*( ) ( ) , 11 −− + − tX X tnn ，1− α 1−α 2 n 2
n0
. 2 即，为 14.[7,14.156 ]。 6
σ
2的1 − α双侧置信间区为
nS 2 2 nS， , 2 χ2 α n(− 1)χ α ( n −1)1 − 22
代入据得
2 2 数x= 65.4, s1 2= 1 0.41,8 * s =1.21,5t 0 .975(6 ) = 2 45,.n = 7 χ,0 9. (6 )5 χ005 (. 6 )=1 6.3 5，
3.
机地随取某种弹子9 发 作验，测得试弹子速的度s * = 11 设子弹，度服从速态正分布Ν ( ,µσ 2) ， 这求子弹种速的标度准 差 σ和方 σ 2差 的双侧0 95. 置区间。 信
解n = , S
92
*7
7 10×.41 87 × 180.1 4，即为 6[.0,346.144 。]σ 2 的 0 .9 侧双置信间观测值区 为 , .635 1125.29
µ
的.095 侧双置信区间观值测 为6.15 4 2.−54 ×
1
1.2
,655.41 2.+5 ×
411
.2 5 ，即为[5 .447,57.4] 。 57
( n −1) S* ,2(n −1 )S * 2， 代 入 数据 得由 于 µ 知未 ， σ故 的 2双侧 置 信区 为间 2 2 χ αn( −) χ1 (αn − 1) −1
1=1, χ22
0.957
2
2
(8
=)1 7.53, 5χ
02.05
28() = 21.8，
σ 2的 .90 双5置信侧间区观值为测
区
间测值观为4 .已知某炼铁 厂铁水的含量（1碳）%正情常况服从下正态分布 Ν(µ ,σ2 ) 且标准差，σ = 01.08。 现量测炉五水，铁含碳其量别是分4.：2,4.48,44.2,.43,543.（7%） ，试求1未知数 参µ的 侧单置水信
平 为0 95 .置信下的限和信置限上。
[
× 181 2 ×812 1 , ，为 即[5520.44,440.37 。故 ] σ 的.095双侧 信 置1.75532. 8 1 5.2045 ,44.0437， 即 为7[.3,21.04 7。
]
G]enertea by Foxdti DPF Certora oxFt Siotfwraeh tt://pww.fowxtioftswaer.co mor Fvaeulatonion l.
y
解X + u1−α⋅
由于
σ 0.=018已 ，故知µ 的 1 −α单 侧置信下为限 X u1−− ⋅
ασn
σ
n， µ 的1 −α 单置侧上限为信
，代 入 数 据 得 x= 4 .643(%), u0 .9 = 1.5645 , n = 5，故 µ 0的.5 9 单侧置 信 下限 观 测值 为 0.1
8 0 5= 4.82 5， µ的 0 .5 9单侧置上限信观测值 为43.4 6 1+.465⋅ 0.018 5 4.44= 。3
4.346− 1.64 ⋅5
5 .单某职工位每的天医疗服从费正态布分 Ν (µ ,σ 2) 现，抽了 查2 天5得，x = 170 元 ，s * =30 ， 元求工每天职疗医均费 值µ的 双侧 0.95 信区置间 解。 由 σ于 2 未知 ， 故 的 µ1− α双 侧 置 信 间区为 X− t 1 −α
S *
n2
,
X+ t1 −
α2
x
=701, * s =03 , =n2 , 5t0 .75 92( )4 =.2069 ，3 故µ
S * 代，数据得 入n
的
095
.双
侧 置 信 区间 观 值 测为
30 0 3 ,701+ 2.0369 701 2.0−396 ，为 [157即4.,8216]. 。 2 44 2
6. 某食品加 工厂甲有乙两条工猪肉罐头的生产线。 加罐头质量设从服正态布并假设分甲生产线与乙 生线产互影响不。从甲生线产并假抽设 取1 只0头管测得其均平量质 x 5=01 g已知，其总标体准差 1σ= 5 g； 从乙生线产抽 20 取只罐测得头其平质均量 y= 498 g 已，知其总体标准差σ 2 = g4， 甲 乙两条求肉猪罐头产生生产罐头质量线的均差 µ1 − 值 2 的双µ侧0 .9 置信9间区。 解 于 由σ =15 g , 2 = 4σ 已g知故， µ −1µ 的 12 −α 的 双侧置区间为信
2 2 σ1 2 σ2 σ1 2 2 σ X− Y − u1 − α X ,− Y+ u 1 α +− + 22m mn n 2 2 入数代据 x = 得510, y 4=89,m = 0, n = 120, σ1 = 2, 5 σ2= 61 u, 099.5 = .276 5，故µ −1µ 2 的0.99 侧双置
信
区间测观值为 501− 498 2−5.6
7
5216 2 156 ,50 1− 4 8 + 29.765+ + ，即 为 − [168.7.68,] 。0120 10 20
7 .为比了甲较、乙种显两像管使用的寿 命 和X Y随，机抽取甲的乙两、显像种各管10 只， 得数据 1 , xL ,x10 和 y1 ,L ,y10 （ 单 位：10 4 h ） ，且 由此 算 得 = x233., y = 075 .
2， 2∑ (x i− x ) = 2 7.5, ∑( i − y ) = y192 .，定假两显种像的使用管命均服寿正从态布，分且由产过程知生道i =1 i = 11 0 10
它
的们差相方等试。两个求总均体之值 µ差 −1 µ2 的侧 双0.95置信区间 。 2= 2 σ未，故知µ −1µ 2 的 −1 α 双置侧区间为 信 解于由 σ 1 =2σ 2
(m +n − 2 ) wS1 + 1, X − + Yt− α1(m + n − 2) w 1S+ 1 X − Y − t1−α 2 2 m mnn
m n1 22 2 其中 S w =∑ X i (−X − ∑ )Yi (−Y ) ， + n −m2 i =1i = 1 代数入得 据x= 2 33. y, =.75, 0 m =0 = n,1s w =.1611 , t.9705 1() 8 =.1209 0，故µ 1− 2µ的 .95 双0侧置信间
区测值观
为11 1 1 + ,2.3 3 −0.5 7 2.+1009× 1.61 +1 , 2 .3 3 0.75 − −.12009 1.×61 10 10 10 11 0 即为 [.066,0.093]4。
8 .在309 1个 生，男351 8女生组个的成总中体随，机放不地回取抽1 0 人0，察其观男生的成 数，中求要计算本样男生成中的 SE数。 解于由样大本 n =小10 0对于总相体容 量 N= 672 6来说很小，此因使可有放回抽样用的公。 样本式数 成 x =01 0×3
01 9 ˆ= 5 0 =5。 ˆ= 46 ×4 ≈ 50 ，5标准差 ES的 估计 为SE ≈46 估计，σ 667 200
19. 抽
取1 00 0的随人机本估计样一个大人口总的中拥有私体人车汽的的人分数百， 样中本有 53 4人有拥私汽人，车（ ）1样本求拥中私人有汽的车人百分的数 的SE； （）求2总中体有私拥汽人的人车
Genratede ybF xoit DFP rCeatro F xio tSfotawr ehtpt:/w/wwfoxi.softtwra.coem Fore alvautio onny.
的百分l的 9数%的置5信区。间 解ˆ
故 SE=
x=
49
854
3 ˆ= 5 43. 4×5. ≈ 74.89 ， 100 =×54.3(% ), 1σ000
ˆu = 1.≈75, u51 −α SE ⋅0.957× 1.755 =3 0.78
2，
以总所中拥体有私汽车人的人的分百数的 59%的置区信观间值为 (测5.2131,75.87)3。
1
00
0