单摆实验判断单摆习题
江西省南丰一中 聂应才
实践是检验真理的唯一标准，对于物理来说，实验是判断习题正误的依据。当物理习题出现不同答案时，不应该仅是思维上的讨论，而是去实验室做实验，看看实验结果是什么，答案就是什么了。笔者在教学中遇到单摆习题在不同参考资料中答案不同，笔者就带学生们走进实验室，在实验面前结果迎刃而解
【习题一】在利用单摆测定重力速度的实验中，某同学测出了多组摆长和运动周期，根据实验数据，作出T2－l的关系图象如图1所示。
(1)该同学实验中出现的错误可能是_________________________。
(2)虽然实验中出现了错误，但根据图象中的数据，仍可算出准确的重力加速度，其值为_____________m/s2。
在不同的参考资料中，第1问出现了截然不同的两种答案：一个说“测摆长时多加摆球的半径”，一个说“测摆长时漏了摆球的半径”。到底哪个资料讲得是正确的呢？
理论分析：当l=0时，其周期不为零，说明图1是漏了摆球的半径，其周期不为零的值正好是摆球半径作为此时的摆长；从另一角度看：周期T是实验测出来的，与漏不漏半径或多加摆球半径无关，所以图1中的纵坐标是确定的，对应横坐标，如果漏了半径，横坐标的值小了，自然向右平移得到图1的图象。但有资料给出如下详细参考答案：当漏测r时，相当于以线长
为摆长l，这时
，从数学知识可知，这时的图象斜率不变(如图2可将原图线a向右平移r，得图中线b，但斜率不变)。同理，当多加r时，图线为c，因此该同学实验中出现的错误是测摆长时多加了摆球的半径。这个分析过程中，回答了第2问是正确的，但在讲解第1问时是不对，写得“雾里看花”。学生看了这个不同的答案很高兴，尽管他们看得很拗口，但是却能等着看教师怎么办。笔者没有在理论上给予更的说明，而是把他们带进了实验室，重做了实验。
数据表一（摆球直径为2．00cm）
摆线长/cm
47．10
58．40
68．80
74．18
88．40
95．45
周期T/s
1．39
1．55
1．68
1．74
1．90
1．97
T2/s2
1．93
2．40
2．82
3．03
3．61
3．88
把摆长作为横坐标（以m作为单位），周期的平方作为纵坐标（以s2为单位），每一次摆长对应一个周期即周期的平方，在T2－l中即为一对点。列出表格如下
数据表二
漏了半径
(0．4710，1．93)
(0．5840，2．40)
(0．6880，2．82)
(0．7418，3．03)
(0．8840，3．61)
(0．9545，3．88)
加了半径
(0．4810，1．93)
(0．5940，2．40)
(0．6980，2．82)
(0．7518，3．03)
(0．8940，3．61)
(0．9645，3．88)
加了直径
(0．4910，1．93)
(0．6040，2．40)
(0．7080，2．82)
(0．7618，3．03)
(0．9040，3．61)
(0．9745，3．88)
在坐标纸上标出上述数据，然后用一条直线把相应的点连接起来，得到的结果如图3。
图3 漏半径、加半径、加直径的T2-l图
从图3中直观地发现，这三根直线是靠的很紧得，不象图1或图2那样横坐标的截距有那样的明显，并且这三根直线是相互平行，因此其斜率是一样的，所以习题一的第（1）问应该是漏了半径，尽管漏了半径，但其斜率是准确的，第（2）的重力加速度是准确值，为9．86m/s2。通过这般实验过程，学生对其结果不再有异议了。实验还能给出更多的信息：第一，从图3中观察出纵坐标的截距约为T02=0．04 s2，由公式
，得l=0．01m=1．0cm正好是摆球的半径！与理论分析得一致。第二，为什么作T2－l图象斜率与摆球半径无关？因为由
，l漏加摆球半径r或多加摆球半径r，由数学知识可知，其直线仅是左右平移而已，斜率
不变。如果是直接由公式
计算，其结果会如何？由数据表一计算得出数据表三。
数据表三
g
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均值
漏了半径
9．61m/s2
9．59 m/s2
9．61 m/s2
9．67 m/s2
9．65 m/s2
9．70 m/s2
9．64 m/s2
加了半径
9．82 m/s2
9．75 m/s2
9．75 m/s2
9．80 m/s2
9．76 m/s2
9．80 m/s2
9．78 m/s2
加了直径
10．02 m/s2
9．92 m/s2
9．89 m/s2
9．93 m/s2
9．87 m/s2
9．90 m/s2
9．92 m/s2
漏了半径和多加了半径相对标准处理（即加半径）的绝对误差都为0．14 m/s2、相对误差也都是1．43%，误差不大，可毕竟还是存在的。因此，用单摆测重力加速度建议用T2－l图象处理。
【习题二】为估算某山顶高度，某同学爬到该座山顶，他用单摆测出其周期为T，然后他把此单摆拿到海平面处测得周期为T0，他查表得知地球的半径为R，由此他估算出山顶到海平面的高度。试分析他是如何估算的。
理论分析：这是一道经典的简谐振动与万有引力相结合的习题。设摆长为l，山顶重力加速度为g，则
；单摆移到海平面时重力加速度为g0，则
。设地球质量为M，摆球质量为m，山顶距离海平面高度为h，忽略地球自转影响，则有：在山顶上
；在海平面处
。由上述各式解得
。这种方法能测出山顶的高度吗？笔者带领学生在我校六层楼高的科技楼进行了实测。
数据表四（摆线长60．62cm，摆球半径1．00cm）
第一层
第五层
全振动次数n
50
50
50
平均值
50
50
50
平均值
时间t/s
78．79
78．79
78．83
78．84
78．78
78．80
周期T/s
1．5758
1．5758
1．5766
1．5768
1．5756
1．5760
g/m·s-2
9．78676
9．78676
9．77683
9．78345
9．77435
9．78924
9．78427
9．78262
由上面的理论分析知：
，查得海平面处重力加速度标准参考值9．80665 m/s2，地球的半径平均值6370km，计算出第一层离海平面的高度h1=7．54828km，第五层离海平面的高度h2=7．81883km，高度差Δh=h2－h1=270．55m，与实际楼层高相差太大！通过找有关资料得知我县城的海拔高度约为300m，与计算得出的7km多米海拔高度也相差很大。原因有二：一是偶然误差造成的，主要是测定单摆的周期不够准确；二是系统误差造成的，单摆结合万有引力计算海拔高度的方法不完善，主要原因是没有考虑地球的自转。那种误差是主要因素？以世界最高峰──珠穆朗玛峰为例，海拔高度为8848m，通过计算得出其顶峰的重力加速度为9．77946m/s2，与海平面处重力加速度标准参考值相差不大，更何况在一般的山顶，因此主要误差来源应该是系统误差，用这种方法测山顶的海拔高度的可行性值得怀疑。
所以物理实验比物理习题具有更深远的物理意义。
2008