第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固

①正分数指数幂： ＝ (a＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1) ；

②负分数指数幂： ＝ ＝ (a＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1) ． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．

1 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

6. 对数函数的定义、图象与性质

(1)

70

3-1×(－＋86() 32

b 35a 1

4×2＋(2×3) 6

(2)；

3 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

43

13

(3)

23

a -8a b a ++4b

23

3b 3

÷(1－2 ) ×a.

a

[

-

3111

2－1－－

解：(1)原式＝() 1－1＋(－2) 4＋23＋5105111143

＝1＋＝21681080

9

6

3-6136

(2)原式＝

a a

-76

＝

a

97313+--

6666＝a 0＝1.

a a

4

戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

-

(3)(3)原式＝(－1)

23

3×(38

-

23

1＋() 500

-

12

－

10

1

5－2

-

21(1)作出函数的图象(简图) ； (2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 1x ＋1⎧⎪()，x ≥－11＋

y ＝(|x1|＝⎨3，

3

⎪⎩3x ＋1，x ＜－1.

5 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

其图象由两部分组成：

向左平移1x 1x ＋1

一部分是：y ＝() (x≥0) 1―――→y ＝() (x≥－1) ； 个单位33

向左平移x x ＋1

另一部分是：y ＝3(x＜0) 1―――→y ＝3(x＜－1) ．

个单位(3)若f(x)的值域是(0，＋∞) ，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝令g(x)＝－x 2－4x ＋3，

由于g(x)在(－∞，－2) 上单调递增，在(－2，＋∞) 上单调递减， 1

而y ＝(t 在R 上单调递减，

3

所以f(x)在(－∞，－2) 上单调递减，在(－2，＋∞) 上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞) ，

6 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1-x 2-4x +3，

() 3

递减区间是(－∞，－2) ．

1

(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝() h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有

3a>0⎧∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞) 上递减， 由0

2

1

可得x ≥－1，由t ＝(x ≥2，可得x ≤－1.

2

∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．

7 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞) ．

(2)(3)[＝3lg 5·＝＝3(lg 2(2)＝4

(3)∴即∴∴

1(2)(lg32＋log 416＋6lg ) ＋lg . 5255

111

解：(1)原式＝(log32＋log 32)(log 23log 23)

223

＝(log32＋log 2)(log23＋log 23

＝log 322·log 2(3) ＝log 32·log 23 355＝log 3·log 23＝. 264

8 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

3

2

56

111

(2)原式＝[lg32＋2＋lg() 6＋lg 52511111

＝＋lg(32×)]＝(2＋lg )

5645510

法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7

(3)∵y ＝

log 1x 为减函数，

2

9 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

且

b

2

2

2

∴b>a>c.

而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .

已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1) ，如果对于任意的x ∈[3，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．

[自主解答] ∵f(x)＝log a x ，

10 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

111

则y ＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x ∈[2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤log a ≤1，

3331－

即log a a 1≤log a log a a ，

3

1－

亦当a>1时，得a 1≤≤a ，即a ≥3；

3

1

(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>() x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．

2

[自主解答] (1)∵f(－x) ＝－f(x)， ∴

1＋ax

1－1－x

1－ax

x －1

x －1

1－ax 1

log

log 1

2

log

2

∴

2

1＋ax x －1

，即(1＋ax)(1－ax) ＝－(x＋1)(x－1) ， －x －11－ax

∴a ＝－1或a ＝1(舍去) ．

(2)由(1)可知f(x)＝

log 1

2

x ＋1

x －1

log 1

2

(1＋

2

， x －1

1

∵f(x)>() x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，

2∴

令∵函数∴g(x)min

f(x)∴即x

解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a，＋∞) 上是增函数，

要使y ＝log a2(x2－2ax －3) 在(－∞，－2) 上是增函数， 首先必有0

⎧μ(－2)≥0，⎪1

即0

1

综上，得－≤a4

五、巩固练习：

一、选择题

⎧⎪a (a ≤b )

1．(2011·济南模拟) 定义运算a ⊗b ＝⎨，则函数f (x ) ＝1⊗2x 的图象大致为(

)

⎪b (a >b )⎩

2

34

解析：由图可知，函数f (x ) ＝log a (x ＋b ) 是单调递减函数，所以0

答案：B

5．(2011·石家庄模拟) 已知函数f (x ) ＝log 2(a －2x ) ＋x －2，若f (x ) ＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) C ．[2，＋∞)

B ．[1，＋∞) D ．[4，＋∞)

4－

解析：法一：f (x ) ＝log 2(a －2x ) ＋x －2＝0，得a －2x ＝22x ，即a －2x ＝，令t ＝2x

2

(t

得a ≥4.

6．78则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．

答案：[－1,1]

三、解答题

9．已知函数f (x ) ＝3x ，f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；

(2)若函数g (x ) 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a 2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.

＋

(2)此时g (x ) ＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1

因为g (x ) 在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g (x 1) －g (x 2) ＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ20＋20＝2，

1A ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b

B ．a ＞b ＞c D ．b ＞c ＞a

22

[规范解答] 构造指数函数y ＝() x (x∈R) ，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝() x (x∈R) 与y

55332

＝x (x∈R) 之间有如下结论：当x ＞0时，有(x ＞(x ，故35＞555()

2

5

2

25

() ，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 5

2、(2010·天津高考) 设函数f(x)＝

⎧log

⎪

⎨log 1(-x ), ⎪2⎩

2

x ,

则实数a 的取值范围是( )

x >0, 若f(a)>f(－a) ，

x

A ．(－1,0) ∪(0,1) B ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)

1．答案：(2．若

3A ．

1

解析：由指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1) 的单调性及函数y ＝a x 与y ＝() x 间的关系可知b

a 4．函数f (x ) ＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x ) ＝f (1－x ) 且f (0)＝3，则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系是( )

A ．f (b x ) ≤f (c x ) B ．f (b x ) ≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x ) ＝f (1－x ) ，

∴f (x ) 的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.

∴f (x ) 在(－∞，1) 上递减，在(1，＋∞) 上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f

若x ∴f ∴f 5解⎧⎪m >0，⎨⎪Δ＝(－4⎩

61＝8