考研数学高数资料-方向导数与梯度
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五、方向导数与梯度（*数学一）
1、方向导数
1）定义
设某一方向的单位向量为n =(cosα,cos β) ，则函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点处沿着该方向的增量为f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0), t >0，该方向的方向导数定义为
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0) ∂f =lim . t ∂n (x 0, y 0) t →0+
2）方向导数与偏导数的关系
定理：函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点关于x 的偏导数存在当且仅当f (x , y ) 在该点处沿{1,0}和{-1,0}两个方向的方向导数都存在且互为相反数.
定理：如果函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点可微，则f (x , y ) 在该点的所有方向导数均存在，且有
∂f =f x (x 0, y 0)cos α+f y (x 0, y 0)cos β， ∂n (x 0, y 0)
其中n =(cosα,cos β) ，上述定理还可以推广到三维的情形：
∂f =f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ, ∂n (x 0, y 0, z 0)
其中n =(cosα,cos β,cos γ).
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2、梯度
函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点的梯度定义为：
⎧∂f ∂f ⎫grad f (x 0, y 0) =⎨, ⎬⎩∂x ∂y ⎭
类似地，可以定义三元函数的梯度.
(x 0, y 0) .
3、方向导数与梯度的关系
设f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，n 为非零向量，且n ={cos α,cos β}是单位向量，则有
⎧∂f ∂f ⎫=⎨, ⎬(x 0, y 0) ⋅{cos α,cos β}(x 0, y 0) ⎩∂x ∂y ⎭
=grad f (x 0, y 0) ⋅n =grad f (x 0, y 0) cos θ∂f ∂n ,
其中θ为grad f (x 0, y 0) 与n 的夹角.
【例10】：函数u =ln(x +
答案：.
【例11】：计算函数u =xyz +x 2-2y 3+3
z 2在点(2,3,4) 沿从点A (3,4,1)到点B (2,2,2)的方向的方向导数和梯度.
答案：y 2+z 2) 在A (1,0,1)处沿A 点指向B (3,-2,2) 点方向导数为. 12和梯度(16, -46,30). 在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
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