复数运算教案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

王永生

2013-3.28

【学习目标】

1. 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的 逆运算；

2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i 2换成-1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.

【知识链接】

1. 复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i ；

2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i ；

3. 复数的加法运算满足交换律:z 1+z 2=z 2+z 1；

4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)；

5. 复数z =a +bi (a , b ∈R )的共轭复数为z =a -bi .

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设z 1=a +bi 、z 2=c +di (a , b , c , d ∈R )是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：z 1⋅z 2=

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且

把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）z 1⋅z 2=z 2⋅z 1

（2）(z 1⋅z 2)⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3)（3）z 1⋅(z 2+z 3)=z 1⋅z 2+z 1⋅z 3

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足(c +di )(x +yi )=(a +bi )的复数x +yi (x , y ∈R )叫复数a +bi 除以复数c +di 的商，记为：(a +bi )÷(c +di )或者a +bi (c +di ≠0). c +di

引导2：除法运算规则：

利用(c +di )(c -di )=c 2+d 2. 于是将a +bi 的分母有理化得： c +di

原式=

=a +bi (a +bi )(c -di ) [ac +bi ⋅(-di )]+(bc -ad ) i == 22c +di (c +di )(c -di ) c +d (ac +bd ) +(bc -ad ) i ac +bd bc -ad =2+2i . 2222c +d c +d c +d

∴(a +bi ) ÷(c +di )=ac +bd bc -ad +2i . 222c +d c +d

点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c -di ，相当于我们初中学习的+2的对偶式3-2，它们之积为1是有理数，而(c +di )(c -di )=c 2+d 2是正实数. 所以可以分母实数化. 【典例分析】

例1计算(1-2i )(3+4i )(-2+i )

引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.

点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i 2换成－1.

例2计算：（1）(3+4i )(3-4i ) ； （2）(1+i ). 2

引导:按照复数乘法运算展开即可.

点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.

例3计算(1+2i ) ÷(3-4i 引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.

点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.

例4引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.

【目标检测】

⎛2i ⎫1. 复数 ⎪等于（ ） ⎝1+i⎭

A．4i

2. 设复数z 满足B ．-4i C ．2i D ．-2i 1+2i =i ，则z =（ ） z 2

A ．-2+i

3B ．-2-i C ．2-i D ．2+i ⎛13⎫ i ⎪3. 复数 +⎪的值是（ ） 22⎝⎭

A. -i B.i C.-1 D.1

4. 已知复数z 与(z +2)-8i 都是纯虚数，求z . 2

提示：复数z 为纯虚数，故可设z =bi (b ≠0)，再代入求解即可.

【总结提升】

复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把i 2换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.

【总结反思】

知识 .

重点 .

能力与思想方法 .