§3.1 多维随机变量及其联合分布

第三章 多维随机变量及其分布

一、教材说明

本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望．本章仿照一维随机变量的研究思路和方法．

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；

（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握

1

多维随机变量的特征数；

（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望． 本章的教学要求是：

（1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；

（3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；

（4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系；

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（5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目．

2、本章的重点与难点

本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法．

二、教学内容

本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容．

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3.1 多维随机变量及其联合分布

一、 多维随机变量

定义3.1.1 如果X 1(ω), X 2(ω), ⋅⋅⋅, X n (ω) 是定义在同一个样本空间Ω={ω}上的n 个随机变量，则称

X (ω) =(X 1(ω),..., X n (ω)) 为n 维随机变量或随机向量．

二、 联合分布函数

1、定义3.1.2 对任意n 个实数x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ，则n 个事件

{X 1≤x 1},{X 2≤x 2},⋅⋅⋅,{X n ≤x n }同时发生的概率

F (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) =P {X 1≤x 1, X 2≤x 2, ⋅⋅⋅, X n ≤x n }

称为n 维随机变量(X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X n ) 的联合分布函数．

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2、性质

定理 3.1.1 任一二维联合分布函数F (x , y ) 必具有如下四条基本性质：

（1） 单调性：F (x , y ) 分别对x 或y 是单调不减的，即 当x 1

F (x , y 1) ≤F (x , y 2) ．

（2） 有界性：对任意的x 和y ，有0≤F (x , y ) ≤1，且

F (-∞, y ) =x lim →-∞

F (x , y ) =0, F (x , -∞) =y lim →-∞

F (x , y ) =0,

F (+∞, +∞) =x , lim y →+∞

F (x , y ) =1,

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（3） 右连续性 对每个变量都是右连续的，即

F (x +0, y ) =F (x , y ), F (x , y +0) =F (x , y ) ．

（4） 非负性 对任意的a

P (a

=F (b , d ) -F (a , d ) -F (b , c ) +F (a , c ) ≥0证明 仿一维分布函数的性质的证明，此处略． 注 任一二维联合分布函数F (x , y ) 必具有以上四条基本性质；还可证明具有以上性质的二元函数F (x , y ) 一定是某个二维随机变量的分布函数．

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⎧0, x +y

例3.1.1 证明二元函数 G (x , y ) 满足二维=⎨

⎩1, x +y ≥0.

分布函数的性质（1）（2）（3），但它不满足性质（4），故不是分布函数．

分析：证明某二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的性质（1）（2）（3）（4），若证不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可． 证明：略．

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三、 联合分布列

1、定义3.1.3 如果二维随机变量(X , Y ) 只取有限个或可列个数对(x i , y j ) ，则称(X , Y ) 为二维离散随机变量，称

p ij =P (X =x i , Y =y j ), i , j =1,2, ⋅⋅⋅

为(X , Y ) 的联合分布列．还可以用书135页的表格形式记联合分布列．

2、联合分布列的基本性质： （1）非负性 p ij ≥0; （2）正则性

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∑∑p

i =1j =1

+∞+∞

ij

=1.

例3.1.2 从1，2，3，4中任取一数记为X ，再从1，…，

X 中任取一数记为Y ，求(X , Y ) 的联合分布列及P (X Y ) ． 分析：求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率． 解：略．

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四、 联合密度函数

1、定义3.1.4 如果存在二元非负函数p (x , y ) ，使得二维随机变量(X , Y ) 的分布函数F (x , y ) 可表示为

F (x , y ) =⎰

x -∞-∞

⎰

y

p (u , v ) dvdu ,

则称(X , Y ) 为二维连续随机变量，称p (u , v ) 为(X , Y ) 的联合密度函数．

∂

F (x , y ) ． 注: 在偏导数存在的点上，有p (x , y ) =

∂x ∂y

2

10

2、联合密度函数的基本性质 （1）非负性p (u , v ) ≥0; （2）正则性

⎰⎰

-∞

+∞+∞

-∞

p (u , v ) =1.

注 可求概率P ((X , Y ) ∈G ) =⎰⎰p (x , y ) dxdy , 具体使用左式

G

时，积分范围是p (x , y ) 的非零区域与G 的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果．

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例3.1.3 设（X ，Y ）的联合密度函数为

-2x -3y ⎧6e , x >0, y >0;

p (x , y ) =⎨

1）P (X

⎩Y >1) ；（2）0, 其他. P (X >Y ) ． 12 求（

五、 常用多维分布 1、多项分布

进行n 次独立重复试验，如果每次试验有r 个可能结果：

A 1, A 2, ⋅⋅⋅, A r , 且每次试验中A i 发生的概率为

p i =P (A i ), i =1, 2, ⋅⋅⋅, r ; p 1+p 2+⋅⋅⋅+p r =1; 记X i 为n 次独立重

复试验中A i 出现的次数，i =1,2, ⋅⋅⋅, r ．则(X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X r ) 取值

(n 1, n 2, ⋅⋅⋅, n r ) 的概率，即A 出现n 1次，A 2出现n 2次，……，A r 出

现n r 次的概率为

n ! n 1n 2n r

P (X 1=n 1, X 2=n 2, ⋅⋅⋅, X r =n r ) =p 1p 2⋅⋅⋅p r ,

n 1! n 2! ⋅⋅⋅n r !

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其中n =n 1+n 2+⋅⋅⋅+n r .

这个联合分布列称为r 项分布，又称为多项分布，记为M (n , p 1, p 2, ⋅⋅⋅, p r ).

例3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件．从这批产品中有放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列． 分析 略． 解 略．

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2、多维超几何分布

多维超几何分布的描述：袋中有N 只球，其中有N i 只i 号球，

i =1,2, ⋅⋅⋅, r ．记N =N 1+N 2+⋅⋅⋅+N r ，从中任意取出n 只，若记X i 为取出的n 只球中i 号球的个数，i =1,2, ⋅⋅⋅, r ，则

⎛ N 1⎫⎛N 2⎫⎛N r ⎫P (X =n , ⋅⋅⋅X n ⎪n ⎪⋅⋅⋅ n ⎪12r 11, X 2=n 2r =n r ) =⎛.

N ⎫⎝n ⎪⎭

其中n 1+n 2+⋅⋅⋅+n r =n ．

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例3.1.5 将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列． 解 略．

3、多维均匀分布

n

设D 为R 中的一个有界区域，其度量为S D ，如果多维随机变量(X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X n ) 的联合密度函数为

⎧1

⎪,(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) ∈D ,

p (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) =⎨S D

⎪0, 其他⎩则称(X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X n ) 服从D 上的多维均匀分布，记为

(X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X n ) ~U （D ).

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例3.1.6 设D 为平面上以原点为圆心以r 为半径的圆，

(X , Y ) 服从D 上的二维均匀分布，其密度函数为

⎧p (x , y ) =⎪12⎨πr +y 2≤r 22, x ,

⎪⎩0, x 2+y 2>r 2.

试求概率P (X ≤r

2

).

解 略．

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4、二元正态分布

如果二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为

p (x , y ) =

112(1-ρ)

2

e

-[

(x -μ1) 2

2σ1

(x -μ1)(y -μ2) (y -μ2) 2-2ρ+2

σ1σ2

σ2

,

-∞

(X , Y ) ~N (μ1, μ2, σ, σ, ρ). 其中五个参数的取值范围分别2

122

是：-∞0; -1

以后将指出：μ1, μ2分别是X 与Y 的均值，σ, σ2分别是X 与Y 的方差，ρ是X 与Y 的相关系数．

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21

2

例3.1.7 设二维随机变量(X , Y ) ~N (μ1, μ2, σ, σ, ρ). 求(X , Y ) 落在区域

D ={(x , y ) :

(x -μ)

2

2122

σ

21

-2ρ

(x -μ)(y -μ)

σ1σ2

+

(y -μ)

2

σ

22

≤λ}

2

内的概率． 解：略． 注：凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算．

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