复杂应力状态强度问题
复杂应力状态强度问题
8-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力⎛
为已知。
(a) 棱柱体轴向受压;
r3
,弹性常数 E 和 ∝ 均
(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。
题 8-4 图
(a)解:对于棱柱体轴向受压的情况(见题图 a ),三个主应力依次为
ζ1 = ζ2 = 0,ζ3 = ζ
由此可得第三强度理论的相当应力为
1
ζr3 = ζ1 ζ3 = ζ
(a)
(b)解:对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况(见题图 b ),可先取受力微体及坐标如
图 8-4 所示,然后计算其应力。
由图 8-4 可得
ζ
y = ζ
根据刚性方模的约束条件,有
ε1
x =E [ζ x
µ(ζ y + ζ z )] = 0
即
ζ
x = µ(ζ y + ζ z )
注意到
ζ z = ζ x
故有
ζ ζ µ x =z = 1 µ
ζ
三个主应力依次为
ζµ
1 = ζ2 = ζ,ζ1 µ
3
= ζ
由此可得其相当应力为
ζζ1 2 µ r3 = 1 ζ3 =1 µ
ζ
比较:按照第三强度理论,(a)、(b)两种情况相当应力的比值为
r = ζ r3( a ) 1 µ ζ =
r3( b ) 1
2 µ r > 1 ,这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
2
(b)
8-5 图示外伸梁,承受载荷 F = 130kN 作用,许用应力[ ⎛ ]=170MPa。试校核梁的强
度。如危险点处于复杂应力状态,采用第三强度理论校核强度。
解:1. 内力分析
题 8-5 图
由题图可知, B + 截面为危险截面,剪力与弯矩均为最大,其值分别为
F s = F = 130kN,M = Fl 2 = 130 ⋅103 N ⋅ 0. 600m = 7. 80 ⋅10 4 N ⊕ m
2.几何量计算
3
0.0085) ⋅ (0.280 2 ⋅ 0.0137)0.122 ⋅ 0.2803 (0.122 5 4
4 = 7.07 ⋅ 10 m I z =12 12
5
7.07 ⋅ 10 4 3
m 3 = 5.05 ⋅ 10 m W z =0.140
0.0137 3 4 3
S z ( b ) = 0.122 ⋅ 0.0137 ⋅ (0.140 = 2.23 ⋅ 10 m = 2S z ( a )
2
1 4 4 3
S z , max = [2.23 ⋅ 10 +⋅ 0.0085 ⋅ (0.140 0.0137)2 ]m3 = 2.90 ⋅ 10 m
2
式中的足标 b ,系指翼缘与腹板的交界点,足标 a 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点 ( a 、 b 和 c )示如图 8-5。
3.应力计算及强度校核 点 a 的正应力和切应力分别为
M 7.80 ⋅104 N 8
ζ = == 1.545 ⋅10Pa = 154. 5 MPa 4 2
W 5.05 ⋅10m z
3 4 F S130 ⋅10⋅1.115 ⋅10 N s z ( a ) 7 = = 1.496 ⋅10Pa = 14. 96MPa η = 5 2
I z t 7.07 ⋅10⋅ 0.0137m
该点处于单向与纯剪切组合应力状态,根据第三强度理论,其相当应力为
3
⎛ r 3 = 2 + 4⎜ 2 2 + 4 ⋅14.96 2 MPa = 157.4MPa
点 b 的正应力和切应力分别为
y b 7.80 ⋅10 ⋅ (0.140 0.0137)N
= = 1.393 ⋅108 Pa = 139. 3 MPa ζ = 5 2
I z 7.07 ⋅10m
3 F S2.23 N 130 ⋅10⋅ s z ( b ) 7
= η = = 4.82 ⋅10Pa = 48. 2 MPa 5
I z δ 7.07 ⋅10 ⋅ 0.0085m 2
该点也处于单向与纯剪切组合应力状态,其相当应力为
4
48.2 2 MPa = 169.4MPa
点 c 处于纯剪切应力状态,其切应力为
4 F S130 ⋅ 10 3 ⋅ 2.90 ⋅ 10 N 7 s z , m ax = Pa = 62.7MPa = 6.27 ⋅ 10η = 5 I z δ 7.07 ⋅ 10 ⋅ 0.0085m 2
其相当应力为
62.7MPa = 125.4MPa ⎛ r 3 = 2⎜ = 2 ⋅
结论:该梁满足强度要求。
4.强度校核
依据第三强度理论,上述三点的相当应力依次为
ζ r3( a ) = ζ1 ζ3 = [155.9 ( 1.44)] MPa = 157.3 MPa ζ r3( b ) = [154.4 ( 15.05)] MPa = 169.5 MPa ζ r3( c ) = 2η = 2 ⋅ 62.7 MPa = 125.4 MPa
它们均小于许用应力,故知该梁满足强度要求。
8-8 图示曲柄轴,承受载荷 F = 10kN 作用。试问当载荷方位角⎝ 为何值时,对截面
A-A 的强度最为不利,并求相应的相当应力⎛ r3 。
解:1. 分析内力
题 8-8 图
由于 A - A 为圆形截面,其任一直径均为主形心轴,故载荷 F 无需分解,可直接用以分
析内力。根据平衡关系,截面 A - A 上的剪力、弯矩和扭矩值(绝对值)分别为
4
103 ⋅ 0. 070 N ⊕ m = F s = F = 10 kN ,M = Fl = 10 ⋅
700
T = Fa cos θ
N ⊕ m
由此可见, F 的方位角θ 对剪力和弯矩值并无影响,它只改变扭矩的大小,当θ = 0 时扭矩 取最大值,对截面 A - A 的强度最为不利,其值为
3
10⋅ 0. 240 N ⊕ m = 2. 40 ⋅ 103 N ⊕ m T max = Fa = 10 ⋅
2.计算相当应力
截面 A - A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点,按照第三强度理论,其相当应力为
2 2
M + T max 103 ) 2 N 32 ⋅7002 + (2.40 ⋅
ζr3 ==
π ⋅ 0. 0603 m 2 W
= 1. 179 ⋅108 Pa = 117. 9MPa
(a)
由于是短粗轴,弯曲剪力产生的切应力应予考虑,这时截面 A - A 上水平直径的左端点,
为又一个可能的危险点,该点处的正应力为零,而切应力则为
16T max 4 ⋅ 4F s = +η = η 1 + η2
3πd 2 πd 3 33
16 ⋅ 2.40 ⋅1016 ⋅10 ⋅10 N 6 = (+2= (56.6 + 4.72) ⋅10Pa = 61.3 MPa 32
π ⋅ 0. 060 3π ⋅ 0. 060m
ζr3 = 2η = 2 ⋅ 61.3 MPa = 122.6 MPa
(b)
其相当应力为
比较式(a)和(b)可知,该轴真正的危险点是截面 A - A 上水平直径的左端点,其相当应力
如式(b)所示。
ζ r3 (∏ ) 。这里的∏ 顺便指出,本题计算相当应力的另一种方法是先求ζ (∏ ) 、η (∏ ) ,再求
从截面 A - A 上左边水平半径量起,以顺钟向为正。将 ζ r3 (∏ ) 对∏ 求导,寻找其极值位置,找 到的极值位置是∏ = 0 ,由此确定的危险点同上述真正的危险点,相当应力当然也同式(b)。
8-9 图示某段杆的弯矩 M 与 M 图,它们均为直线,且其延长线分别与 x 轴相交于 c
y
z
和 d 点。试证明:如果 c,d 点不重合,则该段杆的总弯矩图必为凹曲线。
5
题 8-9 图
证明:本题用几何法证明比较简便而直观。 证明要点如下:
1.将题设 M y 图线和 M z 图线画在图 8-9(a)所示的三维坐标系中(图 a 中的直线 e 1 f 1 和
e 2 f 2 )。
2.画总弯矩(合成弯矩)矢量 的矢端图 e 3 f 3(它为两个坐标平面的两个垂面 e 1e 3 f 3 f 1
与 e 2 e 3 f 3 f 2 的交线。)
3.将矢端图 e 3 f 3 向坐标平面 M y OM z 投影,得其投影图线 ef 。ef 直线上任一点与原点
O 的连线,即代表某一截面总弯矩的大小(为清楚起见,参看图 b )。
4.将由大(a )到小(min )、又由小到大( b )连续变化的函数关系画在平 面坐标系 中,即成图(c)所示之凹曲线。
8-10 图示齿轮传动轴,用钢制成。在齿轮 1 上,作用有径向力 F = 3.64kN 、切向
y
力 F z = 10kN ;在齿轮 2 上,作用有切向力 F' y = 5kN 、径向力 F ' z = 1.82kN。若许用应力
[ ]=100MPa,试根据第四强度理论确定轴径。
题 8-10 图
6
解:将各力向该轴轴线简化,得其受力图如图 8-10(a)所示。内力图( M z 、 M y 和T ) 分别示如图(b)、(c)和(d)。
由内力图和 8-9 题所证明的结论可知,截面 B 和 C 都可能为危险面。 对于截面 B ,总弯矩为
B =2 + 364 2 N ⊕ m =
1064
N ⊕ m
(a)
对于截面 C ,总弯矩为
C - =227 2 + 5682 N ⊕ m =
612
N ⊕ m
(b)
比较式(a)和(b)可知,截面 B 最危险。由第四强度理论的强度条件
2 2 2 2
B 32B + 0.75T + 0.75T δ [ζ ] ζr4 = =πd 3 W
得该轴的直径为
2 222 B + 0.75T + 0.75 32⋅1000 = d εm 6
π[ ζ ] π ⋅100 ⋅10 2
= 5. 19 ⋅10 m = 51. 9 mm
8-14 图示圆截面钢轴,由电机带动。在斜齿轮的齿面上,作用有切向力 F = 1.9kN、
t
7
径向力 F r = 740N 以及平行于轴线的外力 F = 660N。若许用应力[ ⎛ ]=160MPa,试根据第四强 度理论校核轴的强度。
解:1. 外力分析
题 8-14 图
将力 F 、 F r 、 F t 向轴 AD 的轴线简化,得该轴的计算简图如图 8-14(a)所示。图中,
M zC = FR = 660 ⋅ 0.100 N ⊕ m = 66.0N ⊕ m
3
M A = M C = F R = 1. 9 ⋅ 10⋅ 0. 100 N ⊕ m = 190. 0 N ⊕ m t
8
2.内力分析
根据图(a),可画轴力、扭矩及弯矩图如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。 由内力图可知,截面 C 为危险截面,该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为
F = F = 660 N (压), = 190. 0 N ⊕ m = M 2 + M 2 = 57. 0 2 + 55. 2 2 N ⊕ m = 79. 3y z
3.强度校核
危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态,其正应力和切应力分别为
N ⊕ m
F N 32 ⋅ 79.3 4 ⋅ 660 N =+2+32
W A π ⋅ 0.025π ⋅ 0.025m
= 5.30 ⋅107 Pa = 53.0 MPa (压)
T 16 ⋅190.0 N 7
η = == 6.19 ⋅10Pa = 61.9 MPa 3 2
π ⋅ 0.025m W p ζ =
9
将其代入第四强度理论的强度条件,有
ζ r4 =ζ 2 + 3η 2 = 2 + 3 ⋅ 61.92 MPa = 119. 6 MPa
可见,该轴满足强度要求。
8-16 图示等截面刚架,承受载荷 F 与 F' 作用,且 F' = 2F 。试根据第三强度理论
确定 F 的许用值[F ]。已知许用应力为[ ⎛ ],截面为正方形,边长为 a ,且 a = l/10。
题 8-16 图
解:1.寻找危险面
为了寻找危险面,首先需画出内力图。在图 8-16(a)所示坐标下,由 F 产生的内力示如 图(b)和(c);由 F 2 产生的内力示如图(d)、(e)和(f)。
从内力图上不难找到可能的危险面有两个:截面 A 和截面 C + 。 2.确定 F 的许用值 截面 A 为弯、拉组合(危险点处于单向应力状态),由强度条件
ζ max =
得
6 ⋅ 4Fl F 241F
+2= 2δ [ζ ] 3
a a a
10
[ζ ]a 2 5 F δ = 4.15 ⋅10 3 [ζ ]a 2 = 4.15 ⋅ 10 [ζ ]l 2
241
(a)
截面 C + 为弯(有 M y 、 M z )、拉、扭组合,可能的危险点为 d 和 e (见图 g ),点 f 的 扭转切应力虽然与点 d 的一样大,但其弯曲正应力只是点 d 的一半,故可将它排除在外。 对于点 d ,正应力和切应力依次为
6 ⋅ 2Fl F F
ζd = +2 = 1212
3 a a a T F 2Fl η d ==
αhb 2 0.208a 3 a 2
2 d
由第三强度理论的强度条件
2 d
得
F F 2 2
ζ r3 =ζ + 4η = 2+ 4 ⋅ 96.2 =2δ [ζ ]
a a
35
F δ 4.41 ⋅10 [ζ ]a 2 = 4.41 ⋅ 10 [ζ ]l 2
(b)
对于点 e ,切应力为零,由弯、拉组合(点 e 处于单向应力状态)的强度条件
ζmax
6 ⋅ 2Fl 6 ⋅ Fl F F = ++ δ [ζ ] =33 2 2
a a a a
(c)
得
35
F δ 5.52 ⋅ 10 [ζ ]a 2 = 5.52 ⋅10 [ζ ]l 2
比较式(a)、(b)和(c),最后确定 F 的许用值为
5
[F ] = 4.15 ⋅ 10 [ζ ]l 2
8-17 图示圆截面圆环,缺口处承受一对相距极近的载荷 F 作用。已知圆环轴线的
半径为 R ,截面的直径为 d ,材料的许用应力为 [ ⎛ ],试根据第三强度理论确定载荷 F 的许 用值。
解:1. 分析内力
题 8-17 图
11
本题为反对称问题,可取半个圆环来分析。例如取右半圆环,示如图 8-17。
由图可得
M (∏ = FR sin ∏ T ( ) = FR (1 cos∏ )
2.求相当应力
根据第三强度理论,截面∏ 危险点处的相当应力为
M 2 (∏ ) + T 2 (∏ ) FR sin 2∏ + (1 - cos∏ ) 2
ζr3 = W W
2cos∏=
W
3.求 ζr3 的最大值 由
(a)
d ζr3
= 0d ∏
得极值位置为
o
∏ = 180
(b)
进一步分析可知,该极值位置使 ζ r3 取得极大值,即截面 A 为危险截面,其危险点的相当应力 为
4.确定 F 的许用值
将式(c)代入强度条件
2FR 64FR
ζ r3, max = =
W πd 3
(c)
ζr3, max δ [ζ ]
得载荷 F 的许用值为
12
3 πd [ζ ] d 3 [⎛ ] d 3[⎛ ] [F ] == 64R 20.4R 20R
8-18 图示结构,由轴 AB 与梁 CD 组成,并在截面 D 承受集中载荷 F 作用。已知
载荷 F = 1kN,弹性模量 E =210GPa ,切变模量 G = 0.4E 。试: (1)根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力; (2)计算截面 D 的转角与挠度。
题 8-18 图
解:(1)计算相当应力
此为六度静不定问题,但有对称性可以利用。
将载荷 F 向轴 AB 的轴线简化,得力 F 和矩为 M e 的力偶,示如图 8-18(a)。
13
根据叠加原理,可将 F 和 M e 分开考虑。仅考虑 F 时,利用对称性,可在截面 C 处解除 多余内约束,得相当系统如图(b)所示。(图中只画了左边一半)。由变形协调条件
F
) a 2
M C a θ = 0 0C
2EI EI
得
M C =
Fa 4
据此,并利用对称性,可画出 M 图(见图 c )。
仅考虑 M e 时,由对称性可知,两端的支反力偶矩相等,并等于 M e 的一半,即
1 1
M Ax = M Bx =M e = Fa
2 2
据此,并考虑到扭矩的符号规定,可画T 图如图(d)所示。
由图(c)、(d)容易判断,B 、A 、C C + 四个截面同等危险,它们的弯矩值和扭矩值(均 和 指绝对值)分别相等。按照第三强度理论,这些面上危险点处的相当应力为
M 2 + T 2 32Fa 2 + 22 8 ⋅1 ⋅ 103 ⋅ 0.300 ⋅
ζr3 = = =3π ⋅ 0. 0403 m 2 W 4πd
= 2.67 ⋅ 107 Pa = 26.7 MPa
(2)计算转角和挠度
截面 D 的转角由轴 AB 的扭转变形和梁 CD 的弯曲变形两部分提供,由叠加法可得
14
1 Fa ) a
Fa 2 5Fa 2 Fa 2 θD = ∏C + θD ( F ) =+= +2EI 1 4EI p 2EI 1 GI p
12 1⋅10⋅ 32 0.3005 ⋅ - 3 = +rad = 2. 73 ⋅10rad 943
210 ⋅10 4 ⋅ π ⋅ 0. 040 2 ⋅ 0.020 ⋅ 0.060
3
2
截面 D 的挠度由轴 AB 的弯曲变形、扭转变形和梁 CD 的弯曲变形三部分提供,由叠加
法可得 33 3
Fa 5Fa Fa
w D = w C + ∏C a + w D ( F ) + +
24EI 4EI p 3EI 1
3
0.30064 12 1 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 32 + +210 ⋅109 24 ⋅ π ⋅ 0. 0404 4 ⋅ π ⋅ 0. 0404 3 ⋅ 0.020 ⋅ 0.0603
4
= 8. 0 ⋅10 m = 0.80 mm =
3
8-19 图示结构,由两根相同的圆截面杆及刚体 A 和 B 组成。设在该刚体上作用一
对方向相反、其矩均为 M 的力偶,试画杆的内力图,并根据第三强度理论建立杆的强度条件。
杆的长度 l 、直径 d 、材料的弹性模量 E 、切变模量 G 以及许用应力[ ⎛ ]均为已知,且 l =20d , G
= 0.4E 。
题 8-19 图
解:1. 求内力
此为六度静不定问题。利用反对称性,可取相当系统如图 8-19(a)所示。
15
静力学方面(见图 a )
l
M = 0 M x = 0, 2T + F s z ( 5 )
(a)
几何方面(见图 a 和 b )
由于刚体 B 只能绕结构水平中轴线相对于刚体 A 作刚性转动,故有变形协调条件
θy = 0 l
∆z = ∏ )
10
物理方面
(b)
(c)
Tl Tl 1.25Tl ∏ ===GI p (0.4E ) (2I ) EI
2F s z l M y l ∆z =3EI 2EI M l F s z l y
θ y =EI 2
2EI
3
(d)
(e) (f)
将式(d)~(f)代入式(b)和(c),得补充方程
2M y = F s z l
及
(g)
8F s z l 12M y = 3T
联解方程(g)、(h)和(a),得
(h)
15M 10 15
F s z =T =M ,M y =M
23l 23 46
16
2.画内力图
上杆的内力图示如图 8-19(c)~(e)。
下杆的T 图与上杆一样,而 F s z 图及 M y 图与上杆仅差符号,最大内力值(绝对值)与上 杆相同,故可省画其内力图。
3.建立强度条件 由于 l = 20d ,属于细长杆,可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端,按照第三 强度理论,杆的强度条件为
M + T M =δ [ζ ] ζ r3 =3 W d 3
d 32
2 y
2
8-22 图示油管,内径 D =11mm ,壁厚 = 0.5mm,内压 p = 7.5MPa,许用应力
[ ⎛ ]=100MPa。试校核油管的强度。
题 8-22 图
解:油管工作时,管壁内任一点的三个主应力依次为
pD = 0,ζ3 = ζ H 0 ζ1 = ζ t ,ζ 2= ζ x r 2δ
按照第三强度理论,有
6
pD 7.5 ⋅10 ⋅ 0.011 N 7 ζ r3 = ζ ζ3 = = = 8.25 ⋅10Pa = 82.5MPa
计算结果表明,该油管满足强度要求。
8-23 图示圆柱形容器,受外压 p = 15MPa 作用。试按第四强度理论确定其壁厚。
材料的许用应力[ ⎛ ]= 160MPa。
题 8-23 图
解:根据第四强度理论,圆柱形薄壁容器的强度应满足
17
ζr4 =
由此可得
3 pD
δ [ζ ] 4δ
pD 3 ⋅15 ⋅106 ⋅ 0.080 3 δ ε =m = 3.25 ⋅10m = 3.25 mm 4[ζ ] 4 ⋅160 ⋅106
所得 δ
8-24 图示圆球形薄壁容器,其内径为 D ,壁厚为 ,承受压强为 p 之内压。试证明
壁内任一点处的主应力为⎛ 1 = ⎛ 2 = pD /(4 ), 3 H 0 。
题 8-24 图
证明:用截面法取该容器的一半(连同内压)示如图 8-24(a)。
由图(a)所示半球的平衡方程
2
πD
p = 0 F x = 0,πD δ⎛ t 4
得
pD ζ t =4δ
球壁内任一点的应力状态如图(b)所示,由此可得三个主应力依次为
ζ1 = ζ 2 = ζ t =
pD ,ζ 3 H 04δ
8-25 图示铸铁构件,中段为一内径 D =200mm、壁厚 = 10mm 的圆筒,圆筒内的
18
压力 p =1MPa,两端的轴向压力 F = 300kN,材料的泊松比 ∝ = 0.25,许用拉应力[ ⎛ t ]=30MPa。 试校核圆筒部分的强度。
解:1. 应力计算
题 8-25 图
圆筒的 δ = D / 20 ,属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为
0.200 pD 1 ⋅10 ⋅ 6 ζx p = = Pa = 5 ⋅10Pa = 5MPa
4δ 4 ⋅ 0.010
pD 1 ⋅ 10 6⋅ 0.200 6 ζtp = = Pa = 10 ⋅10Pa = 10MPa 2δ 2 ⋅ 0.010
6
由轴向压力引起的轴向应力为
300 ⋅103 N F 7
= 4. 77 ⋅ 10Pa = 47.7 MPa (压) ζ x F = =2
πD δ π ⋅ 0. 200 ⋅ 0.010 m
筒壁内任一点的主应力依次为
ζ1 = 10 MPa ,ζ 2 H 0,ζ3 = (5 47.7) MPa = 42.7 MPa
2.强度校核
由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力,且超过较多,故宜采用最大拉应变理论
对其进行强度校核,即要求
ζ r2 = ζ1 µ(ζ 2 + ζ3 ) δ [ζ ]
将上述各主应力值代入上式,得
ζ r2 = [10 0.25 ⋅ ( 42.7)] MPa = 20.7 MPa
可见,该铸铁构件满足强度要求。
8-26 图示组合圆环,内、外环分别用铜与钢制成,试问当温度升高 T 时,环的周
向正应力为何值。已知铜环与钢环的壁厚分别为1与 D ,铜与钢的弹2 ,交接面的直径为 性
模量分别为 E 1 与 E 2,线胀系数分别为〈1与〈 2,且〈1 > 〈 2
19
题 8-26 图
提示:由于〈 1 > 〈 2 ,故当温度升高时,环间出现径向压力 p ,外环周向受拉,内环周向 受压,但二环仍应紧贴在一起。
解:内、外环的受力情况示如图 8-26(a)和(b)。
设铜环的轴力(绝对值)为 F N1 ,钢环的轴力为 F N2 ,由图(c)、(d) 所示各半个薄圆环的
平衡条件可得
变形协调条件为
pD
F N1 = F N2 =
2 ∆D 1 = ∆D 2
(a)
(b)
物理关系为
F D ⎫ ∆D 1 = α1 D∆T E 1 A 1 ⎜ ⎬ F D ∆T +∆D 2 = α D2
E 2 A 2
(c)
将式(c)代入式(b),得
α2 ( α1
由式(a)可知,
) ∆T =ζ1t ζ2t F N1 F N2
+= +E A E A E E 2 1 1 2 2 1
(d)
即
ζ1t A δ A ,= = ζ = ζ1 2t 2
ζ2t A 1 δ1
20
δ2
1t =ζ2t
δ1
(e)
将方程(e)与方程(d)联立求解,得铜环和钢环内的周向正应力依次为
α) E E δζ=(α ∆T
E 1δ1 + E 2 δ2 (α1 α2 ) E 1E 2 δ1 ζ = ∆T 2t
E 1δ1 + E 2 δ2
(f)
(g)
式(f)亦可写成
α) E E δζ1t =(α ∆T
E 1δ1 + E 2 δ2
(f)2
8-27 图示薄壁圆筒,同时承受内压 p 与扭力矩 M 作用,由实验测得筒壁沿轴向及
。试求内压 p 与扭力矩 M 之值。筒的内径 与轴线成 450 方位的正应变分别为 ∑0 和∑D 、壁 45
厚 、材料的弹性模量 E 与泊松比 ∝ 均为已知。
题 8-27 图
解:圆筒壁内任意一点的应力状态如图 8-27 所示。
图中所示各应力分量分别为
由此可得
ζ x
T pD pD
,ζ t ==2;η =2Ωδ πD δ 2δ 4δ
ζ 0o = ζ x ,ζ 90 o = ζ t ;ζ 45o
3 p D 3 p D
= η +;ζ ηo = + 45
8δ 8δ
根据广义胡克定律,贴片方向的正应变为
21
由式(a)可得圆筒所承受的内压为
(1 2 µ) pD 1
µζ ] =ε = ζt 0 o
E x 4Eδ 1 2(1 + µ) M (1 µ)3 p D 1
µζ+ 45o ] =+]ε 45o = ζ45o 2 E E πD δ 8δ
4Eδ
p ε o
(1 2 µ) D 0
(a) (b)
(c)
将式(c)代入式(b),可得扭力矩为
2
M = πED δ4(1 + µ)(1 2 µ)
[2(1 2 µ) ε
45o 3(1 µ) ε 0 o
]22