混沌效应 非线性混沌电路
混沌效应
一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌
二、实验原理
⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。逻辑斯蒂映射是
x →kx (1-x )
其中k 是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统 x n +1=kx n (1-x n ) ，n =0，1，2„
我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代, 总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32„周期倍化级联；③很快k 在3. 58左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌, 从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条y =kx (1-x ) 的抛物线，再画一条y =x 的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
0A B 图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应
图1 ⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
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图2逻辑斯蒂映射的分岔图。k 从2.8增大到4。 ⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学
实验电路如图3所示。它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图4
图3非线性电路原理图 图4非线性负阻器件R 的伏安曲线
图3电路的非线性动力学方程为：
C 1
dVc 1
=G *(Vc 2-Vc 1) -g *Vc 1 dt
dVc 2
=G *(Vc 1-Vc 2) +i L dt
C 2
L
di L
=-Vc 2 dt
式中，导纳G=1/(Rv1+Rv2)，Vc 1和Vc 2分别表示加在C1和C2上的电压，i L 表示流过电感器L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。 ⑵有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图5所示，它的伏安特性曲线如图6所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响，只要知道它主要是一个负电阻电路（元件）能输出电流，维持LC2振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
OUT
2
图5 图6
三、实验步骤
1，打开机箱，实验仪面板上的CH2接线柱连接示波器的Y 输入，CH1接线柱连接示波器的X 输入，连接实验仪与示波器的接地
2，选择YT 工作方式，按CH1和CH2按钮，使显示屏上只有一种波形，调节扫描速率和电平，使波形稳定，可观察CH1和CH2的波形图。
3，调节W1粗调电位器和W2细调电位器，改变（RV1+RV2）C 移向器中电阻的阻值，观
测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，三倍周期，吸引子（混沌）和双吸引子（混沌）现象，及相应的扫描波形。
四、实验数据及数据分析
16mH L
图7实际非线性混沌电路图
(a)一倍周期 (b)二倍周期
3
(c)三倍周期 (d)四倍周期
(e)五倍周期 (f)六倍周期
(g)奇异吸引子
4
五、思考题
1、 非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？
因为混沌效应是线性与非线性叠代形成的一种不稳定效应，非线性负阻的作用就是产生非线性电压电流，与线性电压 电流迭代才会产生混沌图像。
2，为什么要采用RC 移向器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果不用移相器，可用哪些仪器或方法？
采用移相器，是为了使两个通道输入信号可以叠加作图，从而在相图中观察到倍周期分叉现象
用示波器可以观测出图像，用电流表可以看出不重复不可预测现象。 3，通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义 倍周期分叉：当某个参数在某个临界值下时，系统的极限值分别取不同的确定值，比如说2个，然后随着参数增加时，系统的极限值变成去加倍个数的不同确定值，比如4个，为上面的2倍
混沌：指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性即不可重复和不可预测。
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