三角形外角的性质及应用

三角形外角的性质及应用

蔡志武 阮正法

角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征

如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。

图1

外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质

1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数

例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ A. 115°

B. 120°

C. 125°

D. 130°

解析：如图2，∠A的外角为：180°55=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。

图2

）

例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23°

B. 42°

C. 65°

D. 19°

图3

解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角

则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。

例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（ A.

1

2

 B.

13

 C.

14

 D.

2

3



图4

解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+ （1）

因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED 而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）

将（2）代入（1）得： xCxABC

所以x

12

 所以选A。

）

2. 判定三角形的形状

例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

D. 以上三种情况都有可能

解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD90° 故选

C

图5

3. 证明两角相等

例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。

图6

分析：因为∠ADC是△ADB的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD

而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE 所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD 因此∠BAD=∠CDE 又AB=AC，可得∠B=∠C 而AD=DE

所以△ADB≌△DEC

例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CDABC的边长为（ ） A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2

，则△3

图7

分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60° 又因为∠APC是△ABP的外角 所以∠APC=∠B+∠BAP 而∠B=∠APD=60° 所以∠BAP=∠CPD

又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD 所以

ABBP

。 

PCCD

x1 x12

3

设△ABC边长为x，则

解得x=3 故选A

4. 证明角度不等关系

例7. 已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。

图8

证明：延长BD交AC于E 在△ABE中，∠BEC>∠A 在△CDE中，∠BDC>∠BEC 所以∠BDC>∠A

例8. 已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。

图9

证明：因为∠BAC=90° 所以∠BAD+∠DAC=90° 又因为AD⊥BC 所以∠ADB=90° 所以∠ABC+∠BAD=90° 所以∠ABC=∠DAC 又因为∠DEC是△AEC外角 所以∠DEC>∠DAC 所以∠DEC>∠ABC

5. 证明角度的和差关系

例9. 如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：G

1

(ACBB)。

2

图10

证明：因为∠AEF=∠B+∠G

又因为∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC 所以∠AEF=∠GFC 所以∠GFC=∠B+∠G

① ②

又因为∠ACB=∠GFC+∠G ①+②得：∠ACB=∠B+2∠G 所以G

1

(ACBB) 2

例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

图11

证明：如图11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E 而∠1+∠2+∠B=180°

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 练习：

1. （1996年昆明市中考）如图12，、、分别是△ABC的外角，且::2:3:4，则∠ACB等于（ ） A. 20°

B. 30°

C. 40°

D. 80°

图12

2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ） A. 150°

B. 130°

C. 120°

D. 100°

图13

3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b，则∠A=_________度。

图14

4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 （提示：利用如图∠1、∠2即可）。

图15