数学成才之路必修三答案3-3-1
3．3．1
一、选择题
1．在500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为(
)
A ．0 C ．0.004 [答案] C
[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出的2mL 水样中有草履虫”，属于几何概型．
水样的体积2
∴P (A ) ＝＝0.004.
总体积500
1
2．设x 是一个锐角，则sin x >的概率为( )
21A. 21C. 3
2B. 31D. 6B ．0.002 D ．1
[答案] B
1
[解析] ∵使sin x >x ∈(30°，90°) ，
290－302
∴所求概率为P ＝903
3．已知直线y ＝x ＋b 的横截距在区间[－2,3]内，则直线在y 轴上截距b 大于1的概率是( )
1
A. 53C. 5
2B. 54D. 5
[答案] A
[解析] 直线y ＝x ＋b 的横截距－b ∈[－2,3]，∴纵截距b ∈[－3,2]，故b >1的概率P ＝2－11
.
2－(－3) 5
4．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是( ) 1A. πC.
2B. π3D. π
π
[答案] B
[解析] 点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为2
∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P π
5．(2010·陕西宝鸡) 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |
1A. 4πC. 4
1B. 2D ．π
[答案] C
[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |
据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |
S 正方形ABCD 4
6．已知f (x ) ＝x ＋x －2 x ∈D ，其中D ＝[－3,3]，在D 内任取x 0，使f (x 0) ≥0的概率为( )
A ．0.1 C ．0.3 [答案] D
[解析] 由x 20＋x 0－2≥0得，(x 0＋2)(x 0－1) ≥0， ∴x 0≤－2或x 0≥1，
∵x 0∈D ，∴－3≤x 0≤－2或1≤x 0≤3， [－2－(－3)]＋(3－1) 1∴所求概率P ＝.
3－(－3) 2
7．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P 与A 连结，则弦长超过半径的概率为( )
B ．0.2 D ．0.5
2
1A. 62C. 3
1B. 31D. 2
[答案] C
[解析] 如图，AB ＝AC ＝R ，当点P 落在优弧＝60°，
上时，弦长AP >R ，∵∠AOB ＝∠AOC
∴
1
的长为圆周长的
3
12
∴所求概率P ＝1－＝.
33
8．已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得1
V P －ABC V S －ABC 的概率是( )
2
3A. 41C. 2
7B. 81D. 4
[答案] B
1
[解析] 由V P －ABC
2VS －A 0B 0C 017－1－＝B.
V S －ABC 88
二、填空题
9．(08·江苏文) 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．
[答案]
π
16
[解析] 如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界) ，区域E 表示单位π×1π
圆及其内部，因此P ＝.
4×416
2
10．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m 、宽20m 的长方形．则此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为________．
[答案]
2375
[解析] 如图所示，区域Q 是长30m 、宽20m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是S Q ＝30×20m ＝600m ，S A ＝(30×20－26×16)m ＝184m .
2
2
2
2
S 18423
∴P (A ) A ＝.
S Q 60075
11．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P ，则点P 落在剩余几何体上的概率为________． [答案]
53125
[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R ＝5，圆柱底面半径r 43500π2
＝4，高h ＝6，故球体积V ＝πR ＝，圆柱体积V 1＝πr ·h ＝96π，
33
500π
－96π353
∴所求概率P ＝.
500π1253
12．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm ，现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．
5
[答案]
9
[解析] 设事件A ＝“硬币落下后与格线有公共点”．事件B ＝“硬币落下后与格线没有公共点”，则事件A 与事件B 互为对立事件．为了确定硬币的位置，由硬币中心向正方形四边引垂线OM 、ON 、OP 、OQ ，垂足为M 、N 、P 、Q ，事件B 发生的充要条件是O 到四边的距离都大于1cm ，即O 在正方形中与它同中心的以4cm 为边长的小正方形内．
μB ＝4＝16(cm) ，μΩ＝6＝36(cm) ． 164
由几何概率公式得P (B ) ＝
36945
∴P (A ) ＝1＝99
[点评] 把硬币与格线关系转化为硬币中心到格线的距离，从而转化为中心所在位置的面积型几何概率问题．
三、解答题
13．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮) ，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． 亮红灯的时间302(1)P ＝＝
全部时间30＋40＋55亮黄灯的时间51
(2)P ＝＝；
全部时间7515
不是红灯亮的时间黄灯或绿灯亮的时间
(3)P ＝全部时间全部时间＝453＝755
2
2
2
2
2
14．(2010·苏北四市模考) 已知函数f (x ) ＝ax －bx －1，其中a ∈(0,2]，b ∈(0,2]，求此函数在区间[1，＋∞) 上为增函数的概率．
b ⎧⎪1b 2
[解析] 函数f (x ) ＝ax －bx －1在[，＋∞) 上为增函数，据已知条件可知，⎨2a ，
2a
⎪a >0⎩∴b ≤2a ，如图可知，所求概率
1
＋2) ×223P ＝2×24
15．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
[解析] (1)设事件A ＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
1
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于21
知P (A ) ＝.
2
1
(2)设事件B ＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为21
心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B ) .
4
(3)设事件C ＝“弦长超过”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在1P (C ) .
3
上时，才有|AD |>|AB |＝，由几何概率公式知
16．(2010·湖南湘潭市) 下表为某体育训练队跳高成绩(x ) 与跳远成绩(y ) 的分布，成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.
(1)(2)现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分．求y ＝4的概率及x ＋y ≥8的概率．
－5×6＋4×9＋3×10＋2×10＋1×5
[解析] (1)x ＝＝3.025
40即该训练队跳高的平均成绩为3.025. 7
(2)当y ＝4时的概率为p 1，
40
⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪x ＝5⎪x ＝5⎪x ＝5⎪x ＝4⎪x ＝4⎪x ＝3⎨⎨⎨⎨⎨因为x ＋y ≥8，即，，，，，⎨ ⎪y ＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩y ＝4⎩y ＝3⎩y ＝5⎩y ＝4⎩y ＝5
81
所以当x ＋y ≥8时的概率为p 2＝405