高等数学试题集
《 高等数学 》（A ）答卷
命题教师_
一、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共16分）
x →0
x →0
x →0
1、 若极限lim [f (x ) +g (x )]和lim f (x ) 都存在，则lim g (x ) 也存在。（ ∨ ）
1
x
2、 lim e =∞。（ ⨯ ）
x →0
3、 如果函数f (x ) 在x =x 0点连续，则函数f (x ) 在x =x 0点可微。（ ⨯ ） 4、 点x =-1是函数f (x ) =(x 2-1) 3+1的极值点。（ ⨯ ）
5、 设函数F (x ) =
1
（ ∨ ） ⎰f (t ) dt ，则F '(x ) =-f (x ) 。
x
6、 定积分arctan xdx =
⎰
π
1
（ ∨ ） -ln 2。
42
7、 函数y =-
⎛12⎫
x +x ⎪e x +C 1e x +C 2e 2x 是微分方程y ''-3y '+2y =xe x 的通解。⎝2⎭
（ ∨ ）。
二、填空题（每空2分，共20分）
x
1、lim 0
x →0
⎰sin 2tdt
x
2
=1
2、双曲线y =
112⎛1⎫
在点 3, ⎪处的切线方程是y =-x +
93x ⎝3⎭
2x 2x
3、不定积分x e dx =(x -2x +2) e +C
⎰
4、
1+x π1
=+ln 2 2⎰12211+x
3
2
3
5、函数y =f (x ) =x -3x -9x +5的极大值y max =10 6、隐函数y =f (x ) 由方程y =sin(x +y ) 所确定，则导数
2
dy cos(x +y )
= dx 1-cos(x +y )
7、曲线y =f (x ) =2-x 与x 轴所围成图形的面积=8、微分方程
82 3
dy
+y =e -x 的通解是y =(x +C ) e -x dx
三、选择题（每题5分，共30分）
1、下列各式中正确的是（ A ）
⎛1⎫
（A ）lim 1+⎪=1 (B)
x ⎭x →0+⎝
x
x
⎛1⎫
lim 1+⎪=e
x ⎭x →0+⎝
-x
x
⎛1⎫⎛1⎫
(C) lim 1-⎪=-e (D) lim 1+⎪
x →∞⎝x →∞⎝x ⎭x ⎭
=e
2、下列各式中正确的是（ D ）
（A ）
⎰
f '(x ) dx =f (x ) (B)
b
d
f (x ) dx =f (x ) +C ⎰dx
b
d d
f (x ) dx =f (x ) f (x ) dx =0 (C) (D) ⎰⎰dx a dx a
3、若函数y =f (x ) 有f '(x 0) =2，则当∆x →0时，该函数在x =x 0处的微分dy 是（ B ）
（A ）与∆x 等价无穷小 (B) 与∆x 同阶无穷小 (C) 比∆x 低阶无穷小 (D) 比∆x 高阶无穷小
4、函数y =f (x ) =e x +e -x 在区间(-1, 1) 内（ D ）
（A ）单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D) 有增有减
5、微分方程y ' ' =
y '
的通解是（ B ） x ln x
（A ）C 1x ln x +C 2 (B) C 1x (lnx -1) +C 2 (C) x ln x (D) C 1x (lnx -1) +2
四、计算题（每题4分，共16分）
1、 求极限lim x x 。
x →+0
x
解：设y =x ，则ln y =x ln x 。（1分）
1
ln x x =-lim x =0， 因为，lim （2分） ln y =lim x ln x =lim =lim
x →0+x →0+x →0+1x →0+x →0+1
-2
x x
所以，lim x =e =1。（1分）
x →+0
x
22
2、求由曲线x +y =1与y =
2
3
x 所围成的两个图形中较小的一块绕x 轴旋转所产 2
生的旋转体的体积。
解：作图如下：
所以，较小的一块绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积是：
12
12
12
V =π⎰(1-x 2) dx -π⎰
1
313xdx =π(x -x 3) -πx 22340
1
20
=
13
（3分） 48
3、 求定积分arctan x dx 的值。
⎰
解：用分步积分法，可得：
1
⎰arctan x dx =x arctan x
10
1
-⎰xd arctan x
1
=
π
4
1
-⎰
x π1π12
dx =-ln(1+x ) =-ln 22
42421+x 00
（4分）
五、证明题（每题9分，共18分）
1、证明方程
e -x +3x -7x -5=0在开区间(-1, 0)内至少有一个根。
x
3
2
2、k 是常数，证明：kf (x ) dx =k f (x ) dx 。
⎰⎰
《 高等数学 》（B ）答卷
命题教师_
三、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共16分）
x →0
x →0
x →0
1、 若极限lim [f (x ) g (x )]和lim f (x ) 都存在，则lim g (x ) 也存在。（ ⨯ ）
1
x
2、 lim e =∞。（ ∨ ）
x →0+
3、 如果函数f (x ) 在x =x 0点可导，则函数f (x ) 在x =x 0连续。（ ⨯ ） 4、 点x =0是函数f (x ) =(x 2-1) 3+1的极值点。（ ∨ ）
5、 设函数F (x ) =
1
（ ∨ ） ⎰f (t ) dt ，则F '(x ) =-f (x ) 。
x
6、 定积分arctan xdx =
⎰
π
1
（ ⨯ ） +ln 2。
42
7、 函数y =C 1e x +C 2e 2x 是微分方程y ''-3y '+2y =0的通解。（ ∨ ）
四、填空题（每空2分，共20分）
x t
e ⎰dt
2
1、lim 0
x →0
x
2
=+∞
p ⎛p ⎫
2px 在点 , p ⎪处的切线方程是y =x +
2⎝2⎭
2、抛物线y =
3、不定积分x sin x dx =sin x -x cos x +C
⎰
1
4、xe dx =1=5、函数y =f (x ) =x 3-3x 2-9x +5的极大值y min =-22
⎰
x
5、参数方程⎨
⎧x =a (1-cos t ) dy
=tan t ，则导数dx ⎩y =a sin t
1
6
6、曲线y =f (x ) =x 2-3x +2与x 轴所围成图形的面积=7、微分方程
dy 1
+y =e x 的通解是y =e x +Ce -x dx 2
三、选择题（每题5分，共30分）
1、下列各式中正确的是（ C ）
x
x
1⎛1⎫⎛1⎫（A ）lim (B) 1+=e lim 1+= ⎪ ⎪
x →0+⎝x →0+⎝x ⎭x ⎭e 1⎛1⎫⎛1⎫
(C) lim 1-⎪= (D) lim 1+⎪
x →∞x →∞⎝e x ⎭⎝x ⎭
x
-x
=e
2、下列各式中正确的是（ D ）
（A ）
⎰
f '(x ) dx =f (x ) (B)
b
d
f (x ) dx =f (x ) +C dx ⎰
b
d d
f (x ) dx =f (x ) f (x ) dx =0 (C) (D) ⎰⎰dx a dx a
3、若函数y =f (x ) 有f '(x 0) =0，则当∆x →0时，该函数在x =x 0处的微分dy 是（ D ）
（A ）与∆x 等价无穷小 (B) 与∆x 同阶无穷小 (C) 比∆x 低阶无穷小 (D) 比∆x 高阶无穷小
4、函数y =f (x ) =e -e 在区间(-1, 1) 内（ A ）
x
-x
（A ）单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D) 有增有减
5、微分方程y '=2xy 2的通解是（ D ）
（A ）-(C) -
C C (B) 22x x C 1
- (D)
x 2+C x 2+C
四、计算题（每题4分，共16分）
e x -e -x
3、 求极限lim 。
x →0sin x
e x -e -x e x +e -x
=lim =2 （4分） 解：lim
x →0x →0sin x cos x
2
4、求曲线y =x 2上相应与x 从0到3的一段弧的长度。
3
解：因为：y '=x ，从而弧长的微分等于ds =+x dx （1分） 因此，所求的弧长等于：
3
3
12
s =
⎰
0a
⎡2⎤14
+x dx =⎢(1+x ) ⎥= （3分）
⎣3⎦03
3
2
3
4、 求定积分
⎰
a 2-x 2dx (a >0) 的值。
解：设x =a sin t ，则有dx =a cos tdt 。（1分）
π
π
a
π
2
⎰
a 2-x 2dx =⎰a sin t ⋅a cos t dt =
2
a
2
22
⎰(1+cos 2t ) dt =
a 2
2
⎡sin 2t ⎤t +⎢2⎥⎣⎦
=
π
4
a 2
（3分）
五、证明题（每题9分，共18分）
1、证明方程e -x +3x +7x -5=0在开区间(0, 1)内至少有一个根。
x
3
2
证明：设函数f (x ) =e x -x 3+3x 2+7x -5, x ∈[0, 1]。 （1分）
因为函数f (x ) 在闭区间[0, 1]上连续，而且f (0) =-40。
（3分）
所以，由连续函数的零点定理得，方程e x -x 3+3x 2+7x -5=0在开区间(0, 1)内
至少有一个根。（5分）
2、证明：[f (x ) +g (x )]dx =
⎰⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx 。
证明：等式右边的导数是：
[⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx ]'=[⎰f (x ) dx ]'+[⎰g (x ) dx ]'=f (x ) +g (x ) （2分）
所以，
⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx 是f (x ) +g (x ) 的原函数。 （5分） ⎰
⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx （2分）
即： [f (x ) +g (x )]dx =
命题教师_田正平
一、选择题（每小题2分，共20分。）
1．下列函数组中，有可能复合为f [g (x )]的是（ ）
（A ）f (x ) =ln x , g (x ) =
sin 2x -1 (B)
f (x ) =
1
(1-x )
2
, g (x ) =1 (C) f (x ) =g (x ) =2π+arcsin x (D) 以上答案都不对
2. 设f (x ) =lim
1-x
，则函数（ ）
n →∞1+x 2n
（A ）存在间断点-1 (B) 存在间断点0 (C) 存在间断点1 (D) 不存在间断点
1
3. lim x 2-1x -1
1x -1
e =（ ）
x → （A ）2 (B)0
（C ）∞ (D) 不存在
4. 下列各式中正确的是（ ）
x
x
（A ）lim ⎛ 1+1⎫
⎪=1 lim ⎛ 1+1⎫
⎪=e
x →0+⎝
x ⎭(B)
x →0+⎝
x ⎭(C) lim ⎛x →∞ ⎝1-1⎫x
-x
x ⎪⎭=-e (D) lim ⎛x →∞ ⎝1+1⎫
x ⎪
⎭
=e
5. 若函数y =f (x ) 有
f '(x 0) =
1
2
，则当∆x →0时，该函数在x =x 0处的微分dy 是（ ）
（A ）与∆x 等价无穷小 (B) 与∆x 同阶无穷小 (C) 比∆x 低阶无穷小 (D) 比∆x 高阶无穷小
6. 函数y =f (x ) 在x =x 0处可微是函数y =f (x ) 在x =x 0处可导的（ ）
（A ）充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件
1⎧
⎪x sin ,
7. 函数y =⎨x
⎪0, ⎩ (A) 连续
x ≠0x =0
，在x =0处 ( )
(B) 不连续
(C) 可导 (D) 连续但不可导
8. 若连续函数f (x ) 满足关系式df (x ) =cos 2x ，则f (x ) =（ ）
1
（A ）sin 2x +C (B)sin 2x +C (C)2sin x +C (D)2sin 2x +C
29. lim n n =（ ）
n →∞
（A ）+∞ (B) 0 (C) 1 (D)3 10. lim
sin x
=（ ）
x →∞x
（A ）1 (B)∞ (C) 不存在 (D) 0
二、填空题（每空2分，共20分。）
1. lim
sin x
=
x →ππ-x
⎛x ⎫
2. lim ⎪
x →∞⎝x -1⎭
=
3. lim (n +3n -n -n ) =
n →∞
4. 设y =e x cos x , 则y (10)= 5. 设函数y =f (x ) 是由方程arctan
y dy =ln x 2+y 2所确定，则= x dx
6. 求参数方程⎨
⎧x =a (t -sin t )
，所确定的函数的导数y '=
⎩y =a (1-cos t )
7. 函数y =e x 在x =1处的切线方程是y =
1⎧2
⎪x sin ,
8. 函数y =⎨x
⎪0, ⎩
x ≠0x =0
，在x =0处
9. 设函数y =f (x ) 满足：dy =sec 22x dx ，则f (x ) =
10．当x 很小时，+x ≈
三、计算题（每小题15分，共30分。）
1. 求函数(x -4) (x +1) 2的极值。
2．计算cos 29 的近似值，精确到小数点后第四位。
四、证明题（每小题15分，共30分。） 1．设x >0，证明不等式：ln (1+x )
2．设f (x ), g (x ) 都是可导函数，且f ' (x )
高等数学试卷（第11页，共13页） 当x >a 时，
11
高等数学试卷（第12页，共13页） 12
13