质心的概念与物理规律的简化

质心的概念与物理规律的简化

[摘要]：本文以两个质点构成的系统为例，讨论了质心概念的由来以及质心的性质。并说明了质心在物理规律简化过程中所起到的作用，以及用质心处理问题时应该注意的问题。

[关键词]：质心，物理规律，简化，科尼希定理，牛顿定律 [正文]：

1．牛顿运动定律

牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态。 牛顿第二定律：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

或F =m r 公式表示为：F =m a 或F =m

d v

dt

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。

公式表示为：F 12=-F 21

2．牛顿运动定律应用于质点系

如图1所示，质点1、2构成系统。用F 1表示系统外对质点1作用的综合效果，F 2表示系统外对质点2作用的综合效果。F 12表示质点1对质点2的作用力，F 21表示质点2对质点1的作用力。

图1

对质点1应用牛顿第二定律有：

F 1+

F 21=m 1a 1

对质点2应用牛顿第二定律有：

F 2+F 12=m 2a 2

上面的两个方程式相加有：

F 1+F 2+(F 12+F 21)=m 1a 1+m 2a 2

由于F 12+F 21=0，所以上面的方程可以化简为：

F 1+F 2=m 1a 1+m 2a 2

这是应用于系统的牛顿第二定律。它说明用整体法分析系统时可不考虑系统内物体间的相互作用，外力的矢量和等于系统内各物体的质量与相应的加速度的乘积的和。

3．质心的概念

由上面得到的应用于系统的牛顿第二定律可知：

F 1+F 2=m 1a 1+m 2a 2⎛m 1a 1+m 2a 2⎫=(m 1+m 2) m +m ⎪⎪

12⎝⎭ +m 2 2m r r

=(m 1+m 2)⋅11

m 1+m 2⎛m 1r 1+m 2r 2⎫d 2 m +m ⎪⎪

12⎝⎭=(m 1+m 2)⋅2dt

上面的表达式中，出现的量具有长度的量纲，若定义它为质点系的质心，并用r c 表示。即：

r c =

m 1r 1+m 2r 2

m 1+m 2

则应用于系统的牛顿第二定律可简化为：

c F 1+F 2=(m 1+m 2) r

若用F 表示系统受到的合外力，m 表示质点系的总质量，则可写为：

c F =m r

它与单个质点的牛顿第二定律有着同样简洁的形式。这要归功于质心概念的引入。

4．质心的性质

性质1：二质点的质心在二者连线上，且质心到二质点的距离与两者的质量成反比。

图2

要证明质心在二质点的连线上，只需要证r 2-r 1=λ(r c -r 1)且λ>1。证明如下：

r c -r 1===

m 1r 1+m 2r 2

-r 1

m 1+m 2

1

(m 1r 1+m 2r 2-m 1r 1-m 2r 2)

m 1+m 2

m 2

(r 2-r 1)m 1+m 2

m 1+m 2m

=1+1>1。 m 2m 2

这说明r c -r 1平行于r 2-r 1，且λ=

这就证明了上面论断的第一点，即质心在二者的连线上。下面证明论断的第二点：

r 2-r c =r 2-==

m 1r 1+m 2r 2

m 1+m 2

1

(m 1r 2+m 2r 2-m 1r 1-m 2r 2)

m 1+m 2

m 1

(r 2-r 1)m 1+m 2

质心到质点2与质点1的距离比为：

r 2-r c r c -r 1

=

r 2-r c m 1

(r 2-r 1)⋅=

r c -r 1m 1+m 2

12

(r 2-r 1)m 1+m 2

=

m 1

m 2

至此，我们证明了性质1。

性质2：将二质点以轻杆相连，在质心处建立支点，则此杠杆平衡。

如图2所示，设重力沿着y 轴的负方向。二质点连线与水平方向所成的角为θ，要证明杠杆平衡，只需要证明：

m 1g r c -

r 1cos θ=m 2g r 2-r c cos θ

将r c -r 1=

m 2

(r 2-r 1)、r 2-r c =m 1(r 2-r 1)代入上式可得：

m 1+m 2m 1+m 2

m 1g

m 2m 2r 2-r 1cos θ=m 2g r 2-r 1cos θ

m 1+m 2m 1+m 2

显然等上式的两边是相等的，命题得证。

5．质心与重心

与质心类似的，可以定义重心为

r G =

m 1g 1r 1+m 2g 2r 2

m 1g 1+m 2g 2

当g 1=g 2=g 时，重心的表达式可化为：

r G =

m 1r 1+m 2r 2

m 1+m 2

它与质心的表达式完全相同，其实我们正是明确了上面质心的性质2才这样定义重心的。这说明在均匀的重力场中，重心位置和质心位置是重合的。因此必然的有类似于质心性质的关于重心的性质1和性质2。

在不均匀的重力场中，物体的质心和重心往往是不重合的。

6．动量定理

知：F dt =md v r 由F =m

可称其为质点的动量定理，将此规律应用于质点系有：

(F 1+F 21)dt =m 1d v 1 (F 2+F 12)dt =m 2d v 2

两式相加有：

d (m 1r 1+m 2r 2)⎫

(F 1+F 2)dt =d (m 1v 1+m 2v 2)=d ⎛ ⎪

⎝

dt

⎭

⎛⎛m 1r 1+m 2r 2⎫⎫ ⎪⎪d ⎪m +m 2⎭⎪

=d (m 1+m 2)⎝1

⎪dt

⎪ ⎪⎝⎭

d r ⎫⎛

=d (m 1+m 2)c ⎪

dt ⎭⎝

即：

d r ⎫

(F 1+F 2)dt =d ⎛ (m 1+m 2)c ⎪

⎝

dt ⎭

上式表明质点系动量的微分等于外力的矢量合的冲量，与系统内物体间的相互作用力的冲量无关。若用F 表示外力的矢量合，用m 表示质点系的总质量，v c 表示质心的速度，则质点系的动量定理可简单表示为：

F dt =d (m v c )

它与质点的动量定理有着相同的简单形式。

7．动能与功的定义

知： r 由牛顿第二定律F =m =m ⋅r F ⋅r r

⎛1 2⎫

d m r ⎪d r 2⎝⎭ F ⋅=dt dt

两边消去dt 有：

⎛1 2⎫F ⋅d r =d m r ⎪

⎝2⎭

定义F ⋅d r 为元功，定义

12

mv 为质点的动能，则：元功等于质点动以的微分，在物理2

学中这个规律叫做动能定理。

若将动能定理应用于质点系，由于系统内力的功，即相互作用力的功的代数和有各种可能性，它不一定为零，因此与质点系的动量定理不同，它必须考虑内力的功。

8．柯尼希定理

质点系的动能定义为各质点的动能的和。那么，质心的动能和物体的动能间存在怎样的关系呢？

112m 1v 12+m 2v 22211

12+m 2r 22=m 1r 22E k =

1⎡d (r +R 1)⎤1⎡d (r c +R 2)⎤=m 1⎢c +m 2⎢⎥⎥2⎣dt dt ⎦2⎣⎦ 1 )2+1m (r )2 c +R =m 1(r +R 12c 22211 211 212 +m r c 2+m 1R c R =m 1r +m r +m 2R 2+(m 1r 12c 12c R 2)2222211 21 2

c 2+m 1R =(m 1+m 2)r m 2R 21+

222

2

2

可见，质点系的动能毛病地质心的动能再加上各质点相对于质心的动以。只有R 1，R 2为常矢，即质点系中各质点相对质心的位置不动（质点系平动）时，质点系的动以才等于质心的动能。

9．质点系的重力势能

质点系的重力势能定义为各质点重力势能的和。

E p =m 1gh 1+m 2gh 2=(m 1+m 2)g

m 1y 1+m 2y 2

m 1+m 2

=(m 1+m 2)gy c

这说明质点系的重力势能等于重心的重力势能。这是和质点系动能不一样的，应该引起重视。

二○一一年六月中旬