1.3集合间的基本运算

3集合的基本运算

一、学习目标

1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2. 能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3. 能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4. 了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5. 会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．

二、知识梳理

1．并集和交集的概念及其表示

2. 3．全集

(1)为全集．

(2)记法：全集通常记作. 4．补集

5. ∁U U ＝，∁U ∅＝U ，∁U (∁U A ) ＝.

三、典型例题

知识点一 集合并集的简单运算

例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{5,8} C ．{3,5,7,8} D ．{4,5,6,8}

(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于

( ) A ．{x |－1≤x ＜3} B ．{x |－1≤x ≤4} C ．{x |x ≤4} D ．{x |x ≥－1} 答案 (1)A (2)C

解析 (1)由定义知M ∪N ＝{3,4,5,6,7,8}． (2)在数轴上表示两个集合，如图．

规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 跟踪演练1 (1)已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2) ＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3) ＝0}，则集合A ∪B 是( )

A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3} D ．{1，－2，－3}

(2)若集合M ＝{x |－3＜x ≤5}，N ＝{x |x ＜－5，或x ＞5}，则

M ∪N ＝________. 答案 (1)C (2){x |x ＜－5，或x ＞－3} 解析 (1)∵A ＝{1，－2}，B ＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2,3}．

(2)将－3＜x ≤5，x ＜－5或x ＞5在数轴上表示出来．

则M ∪N ＝{x |x ＜－5，或x ＞－3}． 知识点二 集合交集的简单运算

例2 (1)已知集合A ＝{0,2,4,6}，B ＝{2,4,8,16}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{4}

C ．{0,2,4,6,8,16} D ．{2,4}

(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤4} D ．{x |1≤x ≤4} 答案 (1)D (2)A

解析 (1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}． (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图．

则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．

规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似． 5

跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥}，求A ∩B ，A ∪B .

25

解 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥，

2把集合A 与B 表示在数轴上，如图．

5

∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥25

＝{x |－1＜x ≤0，或x ≤3}；

2

5

A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥＝R .

2知识点三 已知集合交集、并集求参数

例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．

解 由A ∩B ＝∅，

(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：

2a ≥－1，⎧⎪1∴⎨a ＋3≤5，解得－≤a ≤2.

2

⎪⎩2a ≤a ＋3，

1

综上所述，a 的取值范围是{a |－a ≤2，或a ＞3}．

2

规律方法 1. 与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．

2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．

跟踪演练3 设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求a 的取值范围． 解 如下图所示，

由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3. 知识点四 简单的补集运算

例4 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A ．{1,2} B ．{3,4,5} C ．{1,2,3,4,5} D ．∅

(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________. 答案 (1)B (2){x |x ＜1}

解析 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}， ∴∁U A ＝{3,4,5}．

(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A ＝{x |x ＜1}．

规律方法 1. 根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn 图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A ) ＝U .

跟踪演练1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则∁U A ＝________. 答案 {x |x ＝－3，或x ＞4}

解析 借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3，或x ＞4}． 知识点五 交集、并集、补集的综合运算

例5 (1)已知集合A 、B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B ) ＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B 等于( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．∅

(2)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S ) ∪T 等于( ) A ．{x |－2＜x ≤1} B ．{x |x ≤－4} C ．{x |x ≤1} D ．{x |x ≥1}

答案 (1)A (2)C

解析 (1)∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B ) ＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}， ∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}． 又∁U B ＝{3,4}， ∴A ∩∁U B ＝{3}．

(2)因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}． 而T ＝{x |－4≤x ≤1}，

所以(∁R S ) ∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1} ＝{x |x ≤1}．

规律方法 1. 集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．

2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．

跟踪演练2 设全集为R ，A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，求∁R (A ∪B ) 及(∁R A ) ∩B . 解 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：

由图知，A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∴∁R (A ∪B ) ＝{x |x ≤2，或x ≥10}． ∵∁R A ＝{x |x ＜3，或x ≥7}，

∴(∁R A ) ∩B ＝{x |2＜x ＜3，或7≤x ＜10}． 要点六 补集的综合应用

例6 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．

解 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．

(1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a ＜a ＋3， 1

a ＜3.

21

综上可得a ≥－2

规律方法 1. 与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；

2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

跟踪演练3 已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x ＜－1，或x ＞0}，若A ∩(∁R B ) ＝∅，求实数a 的取值范围．

解 ∵B ＝{x |x ＜－1，或x ＞0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，

因而要使A ∩(∁R B ) ＝∅，结合数轴分析(如图) ， 可得a ≤－

1.

四、课堂练习

1．若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B 等于( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2} D ．{0} 答案 A

解析 集合A 有4个元素，集合B 有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A ∪B 共含有5个元素．故选A.

2．设A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(

)

A ．{2} B ．{3} C ．{－3,2} D ．{－2,3} 答案 A

解析 注意到集合A 中的元素为自然数，因此易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B 中的方程可知B ＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A ∩B ＝{2}． 3．集合P ＝{x ∈Z |0≤x ＜3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2}

C ．{x |0≤x ＜3} D ．{x |0≤x ≤3} 答案 B

解析 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． 4．已知集合A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B 答案 B

解析 ∵A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x 5}，

∴A ∩B ＝{x |－5＜x ＜0，或2＜x 5}，A ∪B ＝R . 故选B.

5．设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________． 答案 k ≤6

k 解析 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－，

2k

且M ∩N ≠∅，所以－≥－3⇒k ≤6.

2

6．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则∁M N 等于( ) A ．∅ B ．{1,3,5} C ．{2,4} D ．{1,2,3,4,5} 答案 B

解析 ∁M N ＝{1,3,5}，所以选B.

7．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A 等于( ) A ．{2} B ．{3,4} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4,5} 答案 B

解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}， ∴∁U A ＝{3,4,5}，

∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．

8．已知M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 答案 B

解析 ∵P ＝{1,3}，∴子集有22＝4个．

9. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为(

)

A ．{－1,2} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{1,2} 答案 A

解析 图中阴影部分表示的集合为(∁U A ) ∩B ，因为A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A ) ∩B ＝{－1,2}．

10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________. 答案 {x |0＜x ＜1}

解析 ∵A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，

∴∁U A ＝{x |0＜x ＜1}．

五、巩固训练

1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2} 答案 A

解析 结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}．

2．已知集合M ＝{x |(x －1) 2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 A

解析 集合M ＝{x |－1＜x ＜3，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A. 3．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N 等于( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{－2.0} D ．{－2,0,2} 答案 D

解析 集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，选D. 4．设集合M ＝{x |－3＜x ＜2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2＜x ≤3} D ．{x |2≤x ≤3} 答案 A

解析 ∵M ＝{x |－3＜x ＜2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．

5．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 答案 A

解析 B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t ＜－

3.

6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 答案 2

解析 ∵A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}＝{2}， ∴a ＝2.

7．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；

(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． a

(2)∵C ＝{x |x ＞－，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，

2a

，∴a ＞－4.

2

8．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D

解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}， 又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.

9已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ．2＜m ≤4 答案 D

解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又B ≠∅， m ＋1≥－2，⎧⎪

∴⎨2m －1≤7，即2＜m ≤4. ⎪⎩m ＋1＜2m －1，

10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤4}，C ＝{x |－3＜x ＜2}且集合A ∩(B ∪C ) ＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________. 答案 －1 2

解析 ∵B ∪C ＝{x |－3＜x ≤4}，∴A (B ∪C ) ． ∴A ∩(B ∪C ) ＝A ，

由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}． ∴a ＝－1，b ＝2.

11．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞a }． (1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；

(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．

解 (1)如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2；

(2)由于A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a ＜4.

12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 若B ＝∅时，2a ＞a ＋3，即a ＞3； 2a ≥－2，⎧⎪

若B ≠∅时，⎨a ＋3≤5，

⎪⎩2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2，

综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2，或a ＞3}．

13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．

(1)A ∩B ＝∅；(2)A ⊆(A ∩B ) ． 解 (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6.

2a ＋1≤3a －5，⎧⎪

若A ≠∅，如图所示，则⎨2a ＋1≥－1，

⎪⎩3a －5≤16，

解得6≤a ≤7.

综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B ) ，且(A ∩B ) ⊆A ， 所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B . 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6.

⎧⎪2a ＋1≤3a －5，

若A ≠∅，如图所示，则⎨

⎪3a －5＜－1⎩⎧⎪2a ＋1≤3a －5，

或⎨ ⎪2a ＋1＞16. ⎩

⎧⎪2a ＋1≤3a －5，由⎨解得a ∈∅； ⎪3a －5＜－1⎩

⎧⎪2a ＋1≤3a －5，15由⎨解得a 2⎪⎩2a ＋1＞16

15综上，满足条件A ⊆(A ∩B ) 的实数a 的取值范围是{a |a ＜6，或a ． 2

13．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B ) 等于( )

A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4}

答案 D

解析 ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，

∴∁U (A ∪B ) ＝{4}．

14．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A ) ∩B 等于( )

A ．{－2，－1} B ．{－2}

C ．{－1,0,1} D ．{0,1}

答案 A

解析 因为集合A ＝{x |x ＞－1}，

所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，

则(∁R A ) ∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}

＝{－2，－1}．

15．设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(∁U B ) 等于( )

A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1}

C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞1}

答案 B

解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B ) ＝{x |0＜x ≤1}．

16．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为(

)

A ．{x |－2≤x ＜1} B ．{x |－2≤x ≤3}

C ．{x |x ≤2，或x ＞3} D ．{x |－2≤x ≤2}

答案 A

解析 阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N ) ＝(∁U M ) ∩(∁U N ) ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}．故选A.

5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |2≤x ＜5}，则∁A B ＝________.

答案 {x |0≤x ＜2，或x ＝5}

解析 如图：

由数轴可知：∁A B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＝5}．

17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则∁U A 与∁U B 的包含关系是________． 答案 ∁U A ∁U B

解析 ∵∁U A ＝{x |x ＜0}，∁U B ＝{y |y ＜1}＝{x |x ＜1}．

∴∁U A ∁U B .

5⎫⎧18．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎨x |x ≤0，或x 2， ⎩⎭

(1)求A ∩B ；

(2)求(∁U B ) ∪P ；

(3)求(A ∩B ) ∩(∁U P ) ．

解 (1)A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}．

(2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，

5⎫⎧∴(∁U B ) ∪P ＝⎨x |x ≤0，或x ≥2⎬. ⎩⎭

5⎫⎧(3)∵∁U P ＝⎨x |0＜x ＜2⎬， ⎩⎭

5⎫⎧∴(A ∩B ) ∩(∁U P ) ＝{x |－1＜x ≤2}∩⎨x |0＜x ＜2＝{x |0＜x ≤2}． ⎩⎭

19．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(∁R B ) ＝R ，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≤1 B ．a ＜1

C ．a ≥2 D ．a ＞2

答案 C

解析 如图所示，若能保证并集为R ，则只需实数a 在数2的右边(含端点2) ，所以a ≥

2.

20．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(

)

A ．(M ∩P ) ∩S B ．(M ∩P ) ∪S

C ．(M ∩P ) ∩(∁I S ) D ．(M ∩P ) ∪(∁I S )

答案 C

解析 依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈∁I S, 所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P ) ∩(∁I S ) ，故选C.

21．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

答案 12

解析 设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程

15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30

⇒x ＝3，

所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人) ．

22．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }．

(1)当m ＝1时，求A ∪B ；

(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．

解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}，

A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}．

(2)∁R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}．

1当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤，满足B ⊆∁R A ， 2

当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，

⎧⎧⎪m ＜1＋3m ，⎪m ＜1＋3m ，则⎨或⎨解得m ＞3. ⎪⎪1＋3m ≤－1m ＞3，⎩⎩

综上可知，实数m 的取值范围是

1⎫⎧⎨m |m ＞3，或m ≤. 2⎭⎩

23．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．

(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；

(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B ) ，求a 的取值范围．

解 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，

(1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示

)

可知a 的范围为a ≤－4.

(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ，

须a ＞－

2.

24．若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．

解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎧⎪a ≠0，99⎨解得a ＜且a ≠0，则a 的取值范围是{a |a ＜a ≠0}． 88⎪⎩Δ＝9－8a ＞0，

99在全集U ＝R 中，集合{a |a ＜，且a ≠0}的补集是{a |a ≥a ＝0}， 88

9所以满足题意的a 的取值范围是{a |a ≥，或a ＝0}． 8