向量的坐标表示
向量的坐标表示(二)
【三维目标】:
一、知识与技能
1.理解向量共线的坐标表示
2.理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算,会根据向量的坐标,判断向量是否共线
3.能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。 二、过程与方法
教材利用平面向量线性运算的坐标表示得到向量平行的坐标表示;让学生经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示;最后通过讲解例题,巩固知识结论,培养学生应用能力.
三、情感、态度与价值观
通过用坐标表示平面向量共线的条件,体会数形结合的思想。 【教学重点与难点】:
重点:向量平行的充要条件的坐标表示;
难点:向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。 【学法与教学用具】:
1. 学法:
(1)自主性学习+探究式学习法:
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
1.已知a(3,2),b(0,1),求2a4b,4a3b的坐标;
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2.已知点A(1,1),B(1,5)及ACAB,AD2AB,AEAB,求点
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C、D、E的坐标。
归纳:(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1);
(2)a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),
ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1);
3.向量a与非零向量b平行的充要条件是:ab(R,b0). 4.向量共线定理:________ 二、研探新知
1.共线向量的充要条件: [展示投影]思考与交流:
使得b=a,那么【思考】:共线向量的条件是有且只有一个实数...........
这个条件如何用坐标来表示呢?
设a
(x1,y1),
b
(x2,y2)
其中b
0,由a
b得
x1x2
(x1,y1)(x2,y2)
yy21
消去:x1y2x2y10,∵b0,∴x2,y2中至少有一个不为0
【归纳】:向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式:a∥b
ab(b0)【注意】:①消去时不能两式相除,∵y1,y2有
x1y2x2y10
可能为0.∵b0,∴x2,y2中至少有一个不为0
②这个条件不能写成
y1y2
,∵x1,x2有可能为0.
x1x2
ab x1y2x2y10
③向量共线的两种判定方法:a∥b (b0)
即:若存在两个不全为0的实数,使得a+b=0,那么a与b
为共线向量,零向量与任意向量共线 2.轴上基向量
(1)与向量a同方向的a的单位向量为e(2)数轴上的基向量e的概念
(3)轴上向量的坐标:轴上向量a,一定存在一个实数x,使得
axe,那么x称为向量a的坐标。设点A、B是数轴上的两点其坐标
a
|a|
分别为x1和x2,那么向量AB的坐标为ABx2x1,由此得两点A、B之间的距离为|AB||x1x2|
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例1 已知a(4,2),b(6,y),且a//b,求y. 解:∵a//b,∴4y260.∴y3.
例2 已知A(0,2),B(2,2),C(3,4),求证:A、B、C三点共线 例3(教材P74例5)已知a(1,0),b
(2,1),当实数k
为何值时,向
量ka-b与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向。
例4 已知a(2,4),b(1,3),c(6,5),pa2bc,则以a,b为
基底,求p.
解:令cab,则(6,5)(2,4)(1,3)
.(6,5)(2,43),
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262321 ∴,∴∴pa2ba17ba15b. 2,
2243517
例5(教材P74例6)已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0),(3,4),(1,2),(1,1),是否存在常数t,使得OAt
OB
=OC成立?你所得到结论的几何意义.
四、巩固深化,反馈矫正
1.设a(,sin),b(cos,),(0,2),且a//b,求锐角 2.当x____时,向量a(1,2)与b3.已知向量a(1,2),b
3
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(x,4)平行;
(x,1),ua+2b,v2a-b,且u//v,求x
4.设a、b是不共线的非零向量,求证a+2b与a-2b不平行; 5.已知a(1,2),b
(3,2),当k
为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时
它们是同向还是反向?
6.已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0),(4,5),(2,4),(3,3),是否存在常数
t,使得OAtOB
=OC成立
7.已知点A(1,1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行与直线CD吗?
五、归纳整理,整体认识
1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式;
2.平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
六、课下作业 课本练习