浅谈初中数学中的折叠问题

浅谈初中数学中的折叠问题

王 华

榆林实验中学 陕西榆林 719000

在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。在变化过程中使学生初步体会了数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。归纳起来，折叠问题有如下几类题型：

一、折叠问题中涉及的探索规律问题。

例：（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n 次有几条折痕？

图1

分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表

n 所以对折6次能得到63条折痕，对折n 次可得到( 2-1 )条折痕。

二、折叠中发现图形的基本性质。

1、（如图2）等腰三角形△ABC 中,AB=BC,折叠使AB 与AC 重合, 折痕为AD 。则折痕AD 集“三线合一”于一身，即：底边BC 上的中线、高线和顶角∠BAC 的平分线。

（图2）

2、（如图3）正方形ABCD 经过两次沿对角线折叠，可确定正方形的中心，同时将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

D C

（图3）

3、（如图4）圆形纸片通过两次对折，可确定圆形纸片的圆心，折痕就是圆的直径。

C D B

（图4）

三. 利用图形全等的性质解决折叠问题.

例1、（如图5）三角形纸片△ABC 中，∠A=65o , ∠B=75o ，把纸片的一角折叠, 使点C 落在△ABC 内, 若∠C ′DB=20o , 求∠C ′EA 的度数？

B

A E C

（图5）

分析：由三角形内角和为180o ，∠A+∠B+∠C=180o

∠C=180o -（∠A+∠B ）=40o

因为折叠前后 △C ′ED ≌△C ED ，所以∠C ′=40o

由四边形AEDB 内角和得：

∠A+∠B+∠C ′EA+∠C ′ED+∠C ′DE+∠C ′DB=360o

得：∠C ′EA=60o

例2. 一张长方形的纸片按（如图6）方式折叠，EM ，FM 为折痕，折痕后的点C 落在M B ′或M B′的延长线上，那么∠EMF 的度数是多少？

B M C

（图6）

分析：∠EMF=∠EM B′+∠FMC ′

因为在折叠过程中 △EBM ≌△E B ′M ，

四边形CDFM 与C ′D ′FM 全等。

所以 ∠EM B′=∠EMB ，∠FMC ′=∠FMC

∠EM B′+∠FMC ′=90o

即：∠EMF=90o

四、折叠问题中巧妙利用中点的性质及特殊三角形的性质

中点的性质： 线段的中点把线段分成相等的两条线段。

直角三角形的性质：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30o 。

例1、将矩形纸片ABCD （如图7-1）对折，折痕为MN ，将AB 一边折起，使点A 落在MN 上点A ′处（如图7-2），求∠ABE 的度数？

E

（ 图7-1） （ 图7-2）

分析：矩形ABCD 沿MN 对折，点A 落在MN 上点A ′处，

则 AB =A′B

因为 点N 为的AB 的中点，即NB =1∕2AB

NB =1∕2A ′B

在Rt △A ′NB 中，∠NA ′B =30o ∠NBA ′=60o

在折叠过程中 △EAB ≌△E A ′B

所以 ∠ABE=30o

五、综合应用

例：取一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下：

第一步：先把矩形纸片ABCD 对折，折痕为MN （如图8-1所示）。

第二步：再把点B 折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 的对应点为B ′，得

Rt △AB ′E （如图8-2所示）。

第三步：沿E B ′线折叠得折痕为EF ，（如图8-3所示）。

利用展开图（8-4）探究：

（1） △AEF 是什么三角形。

（2） 对于任一矩形按照上述方法是否都能折出这种三角形，长与宽满足什

么关系，请说明理由。

B CE C A D （图8-1） （图8-2）

F D A F D

（图8-3） （图8-4）

分析：（1）（如图8-4）利用点M 是AB 的中点，AM=1∕2AB

∵ AB ′= AB

∴在Rt △AM B ′中，AM=1∕2 AB′

则 ∠MB ′A =30o

∵MN ‖AD

∴∠FAB ′=30o ，∠BAB ′=60o ∠B ′FA =60o

在折叠前后 △ABE ≌△AB ′E

∠EAB ′=30o ，∠AEF=60o

∠AFE=60o

即：△AEF 是等边三角形.

(2)能否都折出这种三角形，我们可拿一张矩形纸片按1-3的步骤折叠一下，在折叠过程中体会图形的变化，即可得出结论：矩形纸片ABCD 的长与宽在折叠过程中要折出题设中的等边三角形是有条件限制的。如图8-4，点D 与点F 重合时，恰能折出△AEF 是等边三角形，即当AD ≥AF 时，能折出等边三角形。

从上面几个题型中，我们发现折叠问题是初中阶段动手能力与观察能力结合为一体的数学问题。此类问题可以以折痕为对称，利用其对称性找出图形中的等量关系。应用平面图形的基本性质解决问题。若在题设中看不到变化情况，根据折叠要求动手折一折，仔细观察折叠前后图形的变化，也是解决问题的方法之一，

同时相关知识点要熟悉，并能灵活应用。