抽象函数的定义域的求法 解析式的求法 很全面

题型3：复合函数及其定义域的求法

一．基本知识

(1) 函数的概念：设是A , B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f :A →B 为集合A 到集合B 的函数，记作：y =f (x ), x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.

(2) 复合函数的定义：一般地：若y =f (u ) ，又u =g (x ) ，且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空，则函数y =f [g (x )]叫x 的复合函数，其中y =f (u ) 叫外层函数，u =g (x ) 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: f (x ) =3x +5, g (x ) =x 2+1； 复合函数f (g (x )) 即把f (x ) 里面的x 换成g (x ) ，f (g (x )) =3g (x ) +5=3(x 2+1) +5=3x 2+8

(3)复合函数的定义域

函数f (g (x )) 的定义域还是指x 的取值范围，而不是g (x ) 的取值范围.

① 已知f (x ) 的定义域，求复合函数f [g (x )]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b )，求出f [g (x )]中a

② 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x ) 的定义域

方法是：若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b )，则由a

③ 已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。

④ 已知f (x ) 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

二．例题精讲

例1： 已知f (x ) 的定义域为-3,5]，求函数f (3x -2) 的定义域.

解：由题意得

∵f (x ) 的定义域为-3,5]

∴-3

-1

∴-17

所以函数f (3x -2) 的定义域为 -, ⎥. 33⎛17⎤⎝⎦

3]，求f (x 2+2x ) 定义域。 巩固练习： 已知f (x ) 的定义域为(0，

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2⎧⎧x 0⎪x +2x >0⇔⎨ 0

即-3≤x

故f (x 2+2x ) 的定义域为[-3, -2)⋃(0, 1]

例2：若函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]，求函数f (x )的定义域

解:由题意得

∵ 函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]

∴-1≤3-2x ≤5

所以函数f (x ) 的定义域为：[-1, 5]

2巩固练习：已知f (x -1) 的定义域为[-3, 3]，求f (x ) 的定义域.

例3：已知f (x +1) 的定义域为[-2，3) ，求f (x -2)的定义域.

3) 得-2≤x

即得f (x )定义域为[-1，4) ，从而得到-1≤x -2

故得函数f (x -2)的定义域为[1, 6)

巩固练习：已知f (x +2) 的定义域为[1, 2]，求f (2x +1) 的定义域.

例4：已知函数f (x )定义域为是[a , b ]，且a +b >0, 求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域.

解: ⎨⎧a ≤x +m ≤b ⎧a -m ≤x ≤b -m m >0, ∴a -m

b -a ，2b -m

这时函数h (x )的定义域为[a +m , b -m ]

巩固练习： 若函数y =f (x ) 的定义域是[0,1],求函数F (x ) =f (x +a ) +f (2x +a ) (0

题型4：有关函数图像的变换问题

例1：作出y =|x -2x -3|及y =x -2|x |-3的图像，并说明这两个图像可由22

y =x 2-2x -3的图像经过怎样的变换得到.

例2：设函数g (x ) =x 2-2(x ∈R ), f (x ) =⎨

( )

A. [-

巩固练习： ⎧g (x ) +x +4, x

1. 当m 为怎样的实数时，方程x 2-4|x |+3=m 有四个互不相等的实数根？

2. 设abc >0, 则二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像可能是( )

A. B. C. D.

3. 对实数a 与⎧a , a -b ≤1, b ，定义新运算“⊕”：a ⊕b=⎨设函数b , a -b >1. ⎩

则实f (x ) =(x 2-2) ⊕(x -x 2), x ∈R . 若函数y =f (x ) -c 的图像与x 轴恰有两个公共点，

数c 的取值范围是( )

A. (-∞, -2]⋃(-1, ) B. (-∞, -2]⋃(-1, -)

C. (-∞, ) ⋃(, +∞) D. (-1, -) ⋃(, +∞)

[1**********]4

题型5：求函数的解析式

求函数的解析式的常用方法有：

(1) 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法.

例1： 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )

解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则

f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b

⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2 ∴⎨ ∴⎨　或　　⎨⎩b =3⎩ab +b =3⎩b =1

∴f (x ) =2x +1　　或　　f (x ) =-2x +3

巩固练习：已知f (x ) 是二次函数，且满足f (0) =1, f (x +1) -f (x ) =2x ，求f (x ) .

(2) 配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域.

11) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式 x x

1121解：∵f (x +) =(x +) -2， x +≥2 x x x 例2: 已知f (x +

∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2)

巩固练习：

1. 已知f (x +) =x +

1x 31-1，求f (x ) 的解析式. 3x

2. 已知f () =

1x x ，求f (x ) 的解析式. 1-x 2

(3) 换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 ∵f (x +1) =x +2x

∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,

∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1)

巩固练习：已知f (x +1) =2x 2+5x +2，求f (x ) 的解析式.

(4) 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x )

解: ∵f (x ) -2f () =x ①

显然x ≠0, 将x 换成

f () -2f (x ) =1x 1x 1，得： x 1

x 1 ② x

解① ②联立的方程组，得：

f (x ) =-

巩固练习：已知3f (x ) +2f (-x ) =x +3，求f (x ) . x 2- 33x

(5) 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：f (0) =1，对于任意实数x,y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，

求f (x ) .

解 ∵对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，

不妨令x =0，则有f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y 2-y +1

再令 -y =x 得函数解析式为：f (x ) =x 2+x +1