高二椭圆知识点总结

椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数

2aF1F2

的点的轨

迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （

2aF1F2

时为线段F1F2，

2aF1F2

无轨迹）。

222

cab2．标准方程：

x2y2

212

b①焦点在x轴上：a（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

y2x2

212

b②焦点在y轴上：a（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

x2y2

1

②两种标准方程可用一般形式表示：mn 或者 mx2+ny2=1

二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

x2y2

212ab （1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

y2x2

212

b （2）椭圆a（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

2cc

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2a，即a称为椭圆的离心率，

c2b2

e21()

aa 记作e（0e1），

2

e0是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。

2

axyx122

c b①焦点在x轴上：a（a＞b＞0）准线方程：

2

2

ay2x2

y12

c b2②焦点在y轴上：a（a＞b＞0）准线方程：

2

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

xy2

b2（1）点P(x0,y0)在椭圆axy2

b2（2）点P(x0,y0)在椭圆a

6.几何性质

22

2

22x0y0

2211(ab0)

ab的内部.

22x0y0

2211(ab0)

ab的外部.

2

（1） 最大角

F1PF2maxF1B2F2,

（2）最大距离，最小距离

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是

以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

21. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，0(x0,y0)在椭圆221外 ，

ab

xxyy

则切点弦P1P2的直线方程是02021.

ab

x2y2

7. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一

ab



点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2

kOMkAB2，

ab2x0

即KAB2。

ay0x2y2

21内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab

x0xy0yx02y02

222. a2babx2y2

21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab

x2y2x0xy0y

222. 2abab

一、选择题：

1. 设定点F10,3，F20,3，动点Px,y满足条件PF1PF210，则动点P 的轨迹是（ ）

A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在

x2y2

2. 已知椭圆21的一个焦点为2,0，则椭圆的方程是（ ）

2a

x2y2x2y2

A. 1 B. 1

4232

y2x2y22

C. x1 D. 1

262x2y2

3. 椭圆1上一点M到一个焦点F1的距离是2，则点M到另一

2516

个焦点F2的距离是（ ）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 1

4. 椭圆4x29y21的焦点坐标是（ ）

5 A. 5,0 B. 0, C. ,0 D. ,0

636



x2y2x2y2

5曲线1和1没有（ ）

9449

A. 相同的焦点 B. 相同的离心率 C. 相同的短轴 D. 相同的长轴

6椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2

1或1 B. 1 A.

[**************]2y2x2y2x2y2x2y2

C. 1或1 D. 1或1

[1**********]4

7椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的取

13

值是（ ）

A. B. 2 C. D. 4 二、填空题

x2y2

8. 已知椭圆方程1，离心率为 ，此椭圆的长轴

84

1

2

14

长为 。

9. 椭圆x28y232的焦点坐标为为 。 10.a22，b,则焦点在y轴上的椭圆的离心率为 。． 11 焦点在x轴上，焦距为42的椭圆方程是 。 三、解答题

12. （15分）平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

13（15分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率e，短轴长为85，求椭圆的方程.

2

3