高二数学直线与圆专题复习

高二数学直线与圆专题复习小卷（理科）1

本卷主要涉及了直线与圆的位置关系及判别方法、圆与圆的位置关系及判别方法、圆中弦的有关问题、求圆的切线的方法以及与圆有关的最值问题. 通过本卷的学习，同学们应该将前面所学的直线方程、圆的方程等知识相结合，来应对综合问题.

1. 直线与圆的位置关系

直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:

设圆心到直线的距离为d ，即d

或=Aa +Bb +C A +B 22；（x ∆表示由直线方程与圆的方程消去一个变量y ）后所得的一元二次方程的判别式．

则d ⎧Ax +By +C =0, 无解⇔∆r ⇔直线和圆相离⇔方程组⎨222⎩(x -a ) +(y -b ) =r

⎧Ax +By +C =0, 有唯一解⇔∆=0； d =r ⇔直线和圆相切⇔方程组⎨222(x -a ) +(y -b ) =r ⎩

⎧Ax +By +C =0, 有两个不同实数解⇔∆>0． d

2. 圆与圆的位置关系

设两圆圆心分别为O 1(x 1, y 1), O 2(x 2, y 2)，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d ，则

d >r 1+r 2⇔两圆外离 ⇔两圆有四条公切线；

d =r 1+r 2⇔两圆外切⇔两圆有三条公切线；

r 1-r 2

d =r 1-r 2⇔两圆内切⇔两圆有一条公切线；

0

3关于圆的切线方程有以下结论：

（1）经过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2；

2（2）经过圆(x -a ) +(y -b ) 2=r 2上一点P (x 0, y 0)的切线方程为

(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2；

（3）重点提示：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得k 值是一个时，则

另一条的切线斜率一定不存在，可由数形结合求出.

4弦长问题的处理方法：

直线与圆相交被截得的弦长有两种计算方法：

（1）几何法：利用弦心距、弦长一半及半径构成的直角三角形求解；

（2）代数法：将直线与圆的方程联立，运用韦达定理，弦长公式是

AB =1-x 2

.

1. 已知直线l :x -y +6=0与圆C :(x -1) +(y -1) =2，则C 上各点到l 距离的最小值为__________.

2． 直线y =k x +3与圆(x -3) 2+(y -2) 2=4相交于M 、

N 两点，若MN ≥

则k 的取值范围是（ ）. 22

⎡3⎤⎡3⎤⎛⎡2⎤A. ⎢-,0⎥ B. -∞, -⎥⋃[0, +∞)

C. ⎢ D. -,0⎥ ⎢44⎣⎦⎣3⎦⎝⎦⎣⎦

3． 已知圆的方程为x +y -6x -8y =0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别 22

AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 已知圆C 1:(x +1) 2+(y -1) 2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，

则圆C 2的方程为（ ）.

A. (x +2) +(y -2) =1

B. (x -2) +(y +2) =1

C. (x +2) +(y +2) =1

D. (x -2) +(y -2) =1

5. 已知圆O :x +y =1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a , b ) 向圆O 引切线PQ ，切

点为Q ，且满足PQ =PA .

（1） 求实数a , b 间满足的等量关系；

（2） 求线段PQ 长的最小值；

（3） 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取值最小时，圆P 的

方程.

2222222222

6 已知圆过点A （1，4），B （3，-2），且圆心到直线AB

.

7 已知圆M 与圆x +y -2x =

0相外切，并且与直线x =

0相切于点Q (3,，求圆M 的方程.

8 自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆22x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.

229 设直线ax -y +3=0与圆(x -1) +(y -2) =4相交于A ，B 两点，且弦AB

的长为则a = .

10. 已知圆C :x +y -2y -1=0上任一点P (x , y ) ，其坐标均使不等式x +y +m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A. [1,+∞) B. (-∞,1] C. [-3, +∞) D. (-∞,-3]

11 如果圆(x -a ) +(y -a )=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围2222

是 .

12 已知M （-1，0），N （1，0），在直线3x -4y +m =0上存在点P ，满足PM ⋅PN =0，

则m 的取值范围是（ ）.

A. (-∞, -5]⋃[5,+∞) B. (-∞, -25]⋃[25,+∞)

C. [-5,5] D. [-25,25]

高考试题举例题

1（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）

A.95 B.91 C.88 D.75

2. （2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）

A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形

C. 是钝角三角形 D. 不存在

3、（天津）设m ，n ∈R ，若直线(m +1) x +(n +1) y -2=0与圆(x -1) 2+(y-1) 2=1相切，则m +n 的取值范围是

4、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是

5、（湖北）过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )

A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

6、（江西）若曲线C 1：x 2+y 2-2x =0与曲线C 2：y (y -mx -m ) =0有四个不同

的交点，则实数m 的取值范围是

7, （全国）设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C 1C 2