一次函数解答题

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一次函数解答题参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题） 1．（2014•天河区一模）在平面直角坐标系中，A 点的坐标为（0，4），C 点的坐标为（10，0）

．

（1）如图①，若直线AB ∥OC ，AB 上有一动点P ，当P 点的坐标为 （5，4） 时，有PO=PC； （2）如图②，若直线AB 与OC 不平行，则在过点A 的直线y=﹣x+4上是否存在点P ， 使∠OPC=90°，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P 使得∠OPC=90°，试求出此时y=kx+4中k 的值是多少．

2．（2014•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x=1，点A （2，0），点E ，点F ，点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P ． （Ⅰ）若点M 的坐标为（1，﹣1）， ①当点F 的坐标为（1，1）时，如图，求点P 的坐标； ②当点F 为直线l 上的动点时，记点P （x ，y ），求y 关于x 的函数解析式． （Ⅱ）若点M （1，m ），点F （1，t ），其中t ≠0，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，当OQ=PQ时，试用含t 的式子表示m ．

考点： 一次函数综合题． 代数综合题；压轴题．

分析：（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF 与EA 的直线方程，然后联立方程组，

求得该方程组的解即为点P 的坐标； ②由已知可设点F 的坐标是（1，t ）．求得直线OF 、EA 的解析式分别是y=tx、直线EA 的解析式为：y=（2+t）x ﹣2（2+t）．则tx=（2+t）x ﹣2（2+t），整理后即可得到y 关于x 的函数关系式y=x2﹣2x ；

（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P （2﹣，2t ﹣）．则由PQ ⊥l 于点Q ，得点Q （1，2t ﹣），则OQ2=1+t2

（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，所以1+t2（2﹣）2=（1﹣

该方程可以求得m 与t 的关系式． 解答：解：（Ⅰ）①∵点O （0，0），F （1，1）， ∴直线OF 的解析式为y=x．

设直线EA 的解析式为：y=kx+b（k ≠0）、 ∵点E 和点F 关于点M （1，﹣1）对称， ∴E （1，﹣3）． 又A （2，0），点E 在直线EA 上， ∴解得

，

，

）2，化简得到：t （t ﹣2m ）（t2﹣2mt ﹣1）=0，通过解

解得 ，

∴直线EA 的解析式为：y=3x﹣6． ∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，则

，

∴直线EA 的解析式为：y=（2+t）x ﹣2（2+t）．

∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点， ∴tx=（2+t）x ﹣2（2+t），即t=x﹣2．

2

则有 y=tx=（x ﹣2）x=x﹣2x ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF 的解析式为y=tx． 直线EA 的解析式为y=（t ﹣2m ）x ﹣2（t ﹣2m ）． ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点， ∴tx=（t ﹣2m ）x ﹣2（t ﹣2m ）， 化简，得 x=2﹣． 有 y=tx=2t﹣

．

）． ），

2

解得 ，

∴点P 的坐标为（2﹣，2t ﹣

∴点P 的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F 的坐标是（1，t ）． ∴直线OF 的解析式为y=tx．

设直线EA 的解析式为y=cx+d（c 、d 是常数，且c ≠0）． 由点E 和点F 关于点M （1，﹣1）对称，得点E （1，﹣2﹣t ）．

又点A 、E 在直线EA 上， ∴

，

∵PQ ⊥l 于点Q ，得点Q （1，2t ﹣

2

2

2

2

∴OQ =1+t（2﹣），PQ =（1﹣）， ∵OQ=PQ，

∴1+t（2﹣）=（1﹣），

化简，得 t （t ﹣2m ）（t ﹣2mt ﹣1）=0． 又∵t ≠0，

2

2

2

2

∴t ﹣2m=0或t ﹣2mt ﹣1=0， 解得 m=

或m=

．

点评：本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定

系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题

则m=或m =即为所求

3．（2014•聊城）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点的坐标分别是A （4，3），O （0，0），B （6，0）．点M 是OB 边上异于O ，B 的一动点，过点M 作MN ∥AB ，点P 是AB 边上的任意点，连接AM ，PM ，PN ，BN ．设点M （x ，0），△PMN 的面积为S ．

（1）求出OA 所在直线的解析式，并求出点M 的坐标为（1，0）时，点N 的坐标； （2）求出S 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出S 的最大值；

（3）若S ：S △ANB =2：3时，求出此时N 点的坐标．

考点：一次函数综合题；平行线的性质；相似三角形的应用．专题：代数几何综合题；压轴题． 分析：（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）作AG ⊥OB 于G ，NH ⊥OB 于H ，利用勾股定理先求得AG 的长，然后根据三角形相似求得NH ：AG=OM：OB ，得出NH 的长，因为△MBN 的面积=△PMN 的面积=S，即可求得S 与x 的关系式． （3）因为△AMB 的面积=△ANB 的面积=S△ANB ，△NMB 的面积=△NMP 的面积=S，所以NH ：AG=2：3，因为ON ：OA=NH：AG ，OM ：OB=ON：OA ，所以OM ：OB=ON：OA=2：3，进而求得M 点的坐标，求得MN 的解析式，然后求得直线MN 与直线OA 的交点即可．

解答：

解：（1）设直线OA 的解析式为y=k1x ， ∵A （4，3）， ∴3=4k1， 解得k 1=，

得，

∴N （，）．

∴OA 所在的直线的解析式为：y=x ， 同理可求得直线AB 的解析式为；y=﹣x+9， ∵MN ∥AB ，

∴设直线MN 的解析式为y=﹣x+b，把M （1，0）代入，得：b=，

∴直线MN 的解析式为y=﹣x+，

（2）如图2，作NH ⊥OB 于H ，AG ⊥OB 于G ，则AG=3． ∵MN ∥AB ， ∴△MBN 的面积=△PMN 的面积=S， ∴△OMN ∽△OBA ， ∴NH ：AG=OM：OB ， ∴NH ：3=x：6，即NH=x ，

∴S=MB •NH=×（6﹣x ）×x=﹣（x ﹣3）+（0＜x ＜6），

解

，

∴当x=3时，S 有最大值，最大值为．

（3）如图2，∵MN ∥AB ，

2

∴△AMB 的面积=△ANB 的面积=S△ANB ，△NMB 的面积=△NMP 的面积=S ∵S ：S △ANB =2：3，

∴MB •NH ：MB •AG=2：3，即NH ：AG=2：3， ∴ON ：OA=NH：AG=2：3， ∵MN ∥AB ， ∴OM ：OB=ON：OA=2：3， ∵OA=6，

∴=， ∴OM=4， ∴M （4，0）

∵直线AB 的解析式为；y=﹣x+9， ∴设直线MN 的解析式y=﹣x+b 把点M 代入得：0=﹣×4+b，

解得b=6，

∴直线MN 的解析式为y=﹣x+6，

解，

得，

∴N （，2）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键．

4．（2012•大连）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象． （1）在跑步的全过程中，甲共跑了 900 米，甲的速度为 1.5 米/秒； （2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多长时间？ （3）甲出发多长时间第一

次与乙相遇？此时乙跑了多少米？

考点：一次函数的应用．

专题：压轴题． 分析：（1）终点E 的纵坐标就是路程，横坐标就是时间；

（2）首先求得C 点对用的横坐标，即a 的值，则CD 段的路程可以求得，时间是560﹣500=60秒，则乙跑步的速度即可求得；

B 点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是150米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求；

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5．（2013•绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

考点：一次函数的应用．

专题：压轴题；阅读型；图表型． 分析：（1）由于线段AB 与x 轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；

（2）观察图象可知点B 的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B 的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF 和直线BD 的解析式，而EF 过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C 的纵坐标，又因点D （7，480），这样就可求出CD 即BD 的解析式，从而求出B 点的坐标； （3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B 和D 相距最远，在点B 处时，x=4.9，求出此时的y 乙﹣y 甲，在点D 有x=7，也求出此时的y 甲﹣y 乙，分别同25比较即可． 解答：解：（1）1.9；（2分） （2）设直线EF 的解析式为y 乙=kx+b ∵点E （1.25，0）、点F （7.25，480）均在直线EF 上 ∴解得

（3分）

∴直线EF 的解析式是y 乙=80x﹣100；（4分）

∵点C 在直线EF 上，且点C 的横坐标为6， ∴点C 的纵坐标为80×6﹣100=380； ∴点C 的坐标是（6，380）；（5分） 设直线BD 的解析式为y 甲=mx+n； ∵点C （6，380）、点D （7，480）在直线BD 上， ∴解得

；（6分）

；∴BD 的解析式是y 甲=100x﹣220；（7分）

∵B 点在直线BD 上且点B 的横坐标为4.9，代入y 甲得B （4.9，270）， ∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．（8分） （3）符合约定；

由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B 和D 相距最远．

在点B 处有y 乙﹣y 甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米（10分） 在点D 有y 甲﹣y 乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米（11分） ∴按图象所表示的走法符合约定．（12分）

点评：本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．