从一道高考题谈有棱二面角的平面角求法_任志强

中学生数学·２０１４年２月上·第４８３期（

高中）吉林省磐石市职教中心（１３２３００）　任志强

　　对于二面角的平面角的求法，

是立体几何的角即为二面角的平面角．

教学的一个难点，

也是高考经常出现的题型，解析　过Ｃ点作垂下面结合２０１３年辽宁卷理科第１７题谈一谈有直ＰＢ的平面交ＰＢ于

棱二面角的平面角的求法

．

Ｎ，交ＡＢ于Ｍ，

如图２，试题　（２０１３年辽宁∠Ｃ

ＮＭ为二面角Ｃ－卷理）如图１，ＡＢ是圆的ＰＢ－Ａ的平面角．

直径，图ＰＡ垂直圆所在的２

ｃｏｓ∠Ｃ

ＮＭ＝平面，Ｃ是圆上的点．４

．（１）求证：平面ＰＡＣ

∴　二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值为４

．⊥平面Ｐ

ＢＣ；证明：略二、三垂线（逆）定理法

（２）若ＡＢ＝２，ＡＣ＝

图１

三垂线（逆）定理法是由一个半平面内异１，ＰＡ＝１，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值．

于棱上的点Ａ向另一个半平面作角垂线，垂足一、垂面法

为Ｂ，由点Ｂ向二面角的棱作垂线，垂足为Ｏ，垂面法是寻找与棱垂直的平面，该平面与连接ＡＯ，则∠ＡＯＢ就是二面角的平面角．此二面角的两个半平面产生交线，

这两条射线所成法是最常用的一个方法．

（下转第３８页）

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪

（上接第３６页）

总结提升　在平时的学习中，会遇到各种当ｘ∈（０，ｌｎ２ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０．各样的习题，得到许多小结论或者说小性质，由于ｆ（０）＝０，所以ｆ（ｘ）≤ｆ（０）＝０，要善于学以致用，利用证明过的小结论去证明所以当ａ＞时不成立，故ａ

≤新问题显得尤为重要，而且还要善于总结，从２２．

不同的问题中去发现共同点，

从千变万化的试解法说明　该题的题中去寻找那根主线，只有这样才能百尺竿头第一问是对结论１的证更进一步，立于不败之地．

明，第二问是利用结论１现将导数部分常见结论归纳如下：进行证明，并且对结论１１．ｓｉｎｘ≤ｘ，（ｘ≥０）．进行适当变式，应该说整２．ｅ－ｘ≥１－ｘ．

道题都是围绕结论１展开的．也可以从图像的角３图ｘ

≤ｘ－１，

（ｘ＞０）．３

度出发，

当ａ＝４．ｘｌｎｘ≥ｘ－１，（ｘ＞０）．

２

时，两个５．ｌｎ（ｘ＋ｍ）≤ｘ－１＋ｍ，

（ｘ＞－ｍ）．曲线刚好是相切的，当ｘ≥０时，ｙ＝

ｅｘ

一直在６．ｅｘ＋ｍ

≥ｘ＋１＋ｍ．

二次函数的上方，而且两个函数在ｘ＝０有一７．ｅｋｘ

≥

ｋｘ＋１，（ｋ＞０）．条公切线ｙ＝ｘ＋１，当０≤ａ≤８．ｋｘｋｓｉｎｘ，ｋ２

时，二次函数

≥（＞０）．

的开口变大，指数函数一直在二次函数的上练习：已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ

－

（）ｘ＋ｍ

，证方，当ａ≤０时，指数函数在ｙ＝ｘ＋１的上方，明：当ｍ≤２时，ｆ（

ｘ）＞０．二次函数在ｙ＝ｘ＋１的下方．

（责审　张思明）

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ｎ高

考园

地

中学生数学·２高中）０１４年２月上·第４８３期（

（上接第３７页

）

解析　∵　过Ｃ作

面ＰＡＢ与平面ＰＣＢ的夹角就是异面直线ＡＥ、设夹角为θＣＦ的夹角，．

高

考园

地

ＣＭ⊥ＡＢ于Ｍ，

∵　ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＣＭ平面ＡＢＣ，

∴　ＰＡ⊥ＣＭ，

又　ＰＡ∩ＡＢ＝Ａ，故ＣＭ⊥平面ＰＡＢ．

图３

→→→∵　ＡＣ＝ＡＥ＋ＥＦ

→＋ＦＣ，ＡＥ⊥ＥＦ，ＣＦ⊥

图５→→→∴　ＡＣ·ＡＣ＝ＡＥ→→→→→→→·ＡＥ＋ＥＦ·ＥＦ＋ＦＣ·ＦＣ＋２ＡＥ·ＦＣ，

ＥＦ，

，过Ｍ作ＭＮ⊥Ｐ连接Ｎ如图３Ｂ于Ｎ，Ｃ，

由三垂线逆定理得ＣＮ⊥ＰＢ，

∴　∠ＣＮＭ为二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的平面角．

→·ＦＣｃｏｓ．｜｜θ

２２２２→→→→→ＡＣＡＥＥＦＦＣ２ＥＡ｜｜＝｜｜＋｜｜＋｜｜－｜｜

ｃｏｓＮＭ＝＝．∠Ｃ

ＣＮ４

∴　二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值为三、射影法

射影法是由公式Ｓ射影＝Ｓ斜面ｃｏｓθ直接求出二面角的平面角．运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的

射影，而且它们的面积容易求得．

解析　∵　ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，

∴　平面ＰＡＢ⊥平面ＡＢＣ．

由Ｃ作ＡＢ的垂线

交Ａ连Ｐ如图Ｂ于Ｅ，Ｅ，，４

∴　ＣＥ⊥平面ＰＡＢ，

平面Ｐ设平面ＥＢ是平面ＰＣＢ的射影，ＰＥＢ与平面ＰＣＢ的夹角为θ，

Ｅ·ＰＡ

△ＰＥＢ由射影公式　ｃｏｓ＝＝θ

Ｓ△ＰＣＢＣ·ＰＣ２，由已知得ＰＡ＝１ＢＣ＝ＰＣ＝，

２

图４

２，由已知可求得ＡＣ＝１Ａ＝，　Ｅ

５ＦＣ＝，Ｆ＝，　Ｅ

５５∴　ｃｏｓ＝θ

．４

．４

．４

∴　二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值为五、向量坐标法

向量坐标法就是建立适当空间直角坐标系，通过坐标运算求出二面角的平面

角，是近几年解答高考立体几何题常用方法．解析　过Ｃ作ＣＭ

Ｐ，则ＣＭ⊥平面∥Ａ

，如图６以点Ｃ为ＡＢＣ．

坐标原点，分别以直线

ＣＢ、ＣＡ、ＣＭ为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系．

，，∵　ＡＢ＝２ＡＣ＝１∴　ＢＣ＝．

，∵　ＰＡ＝１

图６

，，），，），，，）∴　Ａ（０１０Ｂ００Ｐ（０１１．→→，），，，）故　ＣＢ＝００ＣＰ＝（０１１．），设平面ＢＣＰ的法向量为ｎｘ，ｚ珗１＝（ｙ，，，）可得ｎ０１－１．珗１＝（

ＢＥ＝ＢＣ·ｃｏｓ３０°＝∴　ｃｏｓ＝θ

．４

→→，，），，），因为ＡＰ＝（００１ＡＢ＝－１０），设平面ＡＢＰ的法向量为ｎｘ，ｚ珗２＝（ｙ，

．４

）可得ｎ１０．珗２＝（〈于是ｃｏｓｎｎ＝．珗珗１，２〉

２４∴　二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值为

．４

∴　二面角Ｃ－ＰＢ－Ａ的余弦值为四、转化法

转化法就是把平面与平面的夹角转化为两条异面直线的夹角，用向量或其它方法求出．

解析　在平面ＰＡＢ和平面ＰＣＢ内分别作Ａ分别交Ｐ平Ｅ⊥ＰＢ，ＣＦ⊥ＰＢ，Ｂ于

Ｅ、Ｆ．

（责审　高雪松）

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