[圆]综合测试题

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．图1是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） （A ）内含

图1

图2

B

图3

O

C

（B ）相交

（C ）相切

（D ）外离

2．如图2，点A 、B 、C 都在⊙O上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB =72︒，则∠A C B 的度数是（ ） （A ）18°

（B ）30°

（C ）36°

（D ）72°

3．已知 O 1和 O 2的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，则两圆的位置关系是（ ）（A ）相切

o

（B ）内含 （C ）外离

o

o

（D ）相交

o

o

4. 如图3，已知CD 是⊙O的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D的度数是50，则∠C的度数是（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）30 （D ）25 5. 边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） (Ａ3 23 (B)3 (Ｃ3 (Ｄ 33

6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为

（ ）

8

(A)cm

3

(B)

16cm 3

(C)3cm (D)

4cm 3

7. 如图5，P 为⊙O外一点，PA 切⊙O于点A ，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)

图5

图6

8. 如图6,AB 是⊙O的直径, 弦CD⊥AB,垂足为E, 如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 9. 如图7，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为120，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） (A)100πcm

图7

图8

2

(B)

400800

πcm 2 (C)800πcm 2 (D)πcm

2 33

二、填空题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

11．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm． 12．如图9，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离和 ． ．．

图9

图10

13．一个圆锥底面周长为4 cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是 ． 14. 如图10，在⊙O 中，∠AOB=60°，AB=3cm，则劣弧 AB 的长为15. 已知 O 1和 O 2的半径分别为3cm 和5cm ，且它们内切，则圆心距O 1O 2等于

________cm．

16. 如图11, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动. 设∠ACP=x，则x 的取值范围是 .

17. 如图12，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA = 3，∠APO = 30°，那么OP = .

B

O A

图13

18．如图13，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm的管道． 19. 如图14，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm．

图14

三、解答题（本题有6小题，共40分） 21.(本题6分) 如图16，正方形网格中，⊿ABC 为格点三角形 （顶点都是格点），将⊿ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90° 得到⊿AB 1C 1．

（1）在正方形网格中，作出⊿AB 1C 1；

（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中 动点B 所经过的路径长．

图16

图11

图12

22.(本题6分) 如图17，AB 为⊙O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交⊙O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为 AF 的中点，连接AE ． 求证：⊿ABE ≌⊿OCB ．

图17

23.(本题6分) 如图18，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；

（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ， 24.(本题6分) 已知：如图19，M 是 设⊙O的半径为4cm ，MN ＝

． （1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM的度数．

图19 图20 O

O ·

N

A

B

O

B C

25.(本题8分) 已知：如图20，在△ABC 中，AB=AC，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．

求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）AE CE ．

26.(本题8分) 如图21，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东60的BD 方向移动，在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响.

⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？

⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，

长？

o

1

3

5. 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F 。 (1)求证：DE 是⊙O 的切线；

(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长。

A

(第6题图)

23．如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D ． （1）求证：∠PCA=∠ABC ；

（2）过点A 作AE ∥PC ，交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ．若sin ∠P=，CF=5，求BE 的长．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点M (1,-

1) x 轴

交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象经 过点A 、B 、C ，顶点为E . （1）求此二次函数的表达式；

（2）设∠DBC ＝α，∠CBE ＝β，求sin （α－β）的值；

（3）坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似．

若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【参考答案】 一、选择题：

1. （D ），提示：自行车两轮所在的圆没有公共点，且一个圆在另一个圆的外面，符合两圆相离的位置关系特点；

2. （C ），提示：∠AOB 是弧AB 所对的圆心角，∠ACB 是弧AB 所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠ACB=36°；

3. （D ），提示：∵R -r =3－2=1，R +r =3+2=5，而1＜O 1O 2=4＜5，∴⊙O 1与⊙O 2相交； 4. （D ），提示：∵OA ∥DE ，∴∠AOD=∠D=50°，又OA=OC，∴∠C=

1

∠AOD=25°； 2

5. （A ），提示：如图，O 是⊿ABC 的外接圆的圆心，作OD ⊥BC ，连结OB ，则∠OBD=30°，

BC=1，∴

OB=；

23

16. （A ），提示：由θ=

r r 8⋅360°，得120°=⋅360°，得r =； l 83

OA 3

=； OP 5

7. （B ），提示：连结OA ，则OA ⊥PA ，OA=OP 2-PA 2=52-42=3，∴sin∠APO=8. （C ），提示：连结OC ，∵AB ⊥CD ，∴CE=ED=8，OC=在Rt ⊿OEC 中，OE=OC 2-CE 2=2-82=6；

1

AB=10， 2

120π⨯302120π⨯102800π

-=9. （D ），提示：贴纸部分的面积S=S扇形ABC －S 扇形ADE =；

3603603

10. （A ），提示：6位朋友所在的圆的周长为2π(60+10) ，由于6人之间的距离相等，故6

2π(60+10)

；同理，8人所在圆的周长为2π(60+10+x ) ，8人之间的距

6

2π(60+10+x )

离也相等，为，由题意得8人之间的距离与6人之间的距离相等，所以列

8

2π(60+10) 2π(60+10+x )

出方程为：=.

68

人之间的距离为二、填空题：

11.3㎝，提示：如图，OC ⊥AB ，则AC=BC=4，OA=5，在Rt ⊿OEC 中，

2222

OC= OA -AC =5-4=3； 12. 相交，提示：圆与圆之间有两个公共点即为相交；

2

13.10π㎝，提示：由圆锥底面周长为4π㎝，得2πr =4π，∴r =2，

∴S 圆锥侧= πrl =π×2×5=10π（㎝）；

2

14. π，提示：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴⊿AOB 是正三角形，∴OA=3，

∴弧AB 的弧长=

n πr 60π⨯3

==π； 180180

15.2㎝，提示：当⊙O 1与⊙O 2内切时，圆心距O 1O 2= R -r ，∴O 1O 2=5－3=2；

16.30°≤x ≤90°，提示：当点P 与点O 重合时，OA=OC，∴x =∠ACP=∠BAC=30°；当点P 与点B 重合时，∵AB 是⊙O 的直径，∴x =∠ACP=90°，∴30°≤x ≤90°； 17. 23，提示：连结OA ，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，∵PA=3，∠APO=30°，

∴OP=

PA 3==2； 00

Cos 30Cos 30

18.50㎝，提示：如图，OD ⊥AB 于C ，连结OB ，由题意得CD=20，AB=80，

∵OD ⊥AB ，∴BC=AC=40，设OB=R，则OC=R－20， 由勾股定理得（R －20）

2+402=R2，解得R=50；

r 2

⋅360°= ⨯360°=180°，如图l 4

1

为圆锥沿母线AB 剪开的侧面展开图，AC ⊥AB ，AC=AB=4，AD=AC=2，

219. 25㎝，提示：圆锥侧面展开图扇形的圆心角θ=∴BD=

AB 2+AD 2=42+22=25，

∵两点之间线段最短，∴蚂蚁从点B 出发爬行到D 处的最短C

距离为线段BD=25㎝；

20. (2n +1, n ) ，提示：连结OA 1，作A 1B 1⊥x 轴，则OA 1=2，A 1B 1=1，

∴OB 1=22-12=，∴A 1（3，1）；同理可求得A 2（，2），A 3（7，3），……， 以此下去，可求得A n (2n +1, n ) . 三、解答题： 21. 解：（1）如图

（2）旋转过程中动点B 所经过的路径为一段圆弧．

AC =4，BC =3，∴AB =5．

又 ∠BAB 1=90 ， ∴动点B 所经过的路径长为

5π

． 2

（第21题）

22. 证明： AB 是 O 的直径．∴∠E =90

又 BC 是 O 的切线，∴∠OBC =90,

=FB , ∴∠BOC =∠A ． ∴∠E =∠OBC OD 过圆心，BD =DE ，∴EF

=BF = E 为 AE , ∴∠ABE =30 AF 中点，∴EF

∠E =90 , ∴AE =

1

AB =OB , ∴⊿ABE ≌⊿OCB ． 2

23. 解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC =BD ；②OF ∥BC ；③∠BCD =∠A ；④△BCE ∽△OAF ；⑤BC =BE AB ；⑥BC =CE +BE ； ⑦△ABC 是直角三角形；⑧△BCD 是等腰三角形． （2）连结OC ，则OC =OA =OB ．

A

B 2

2

2

2

∠D =30 ，∴∠A =∠D =30 ，∴∠AOC =120 ． AB 为 O 的直径，∴∠ACB =90 ．

在Rt △ABC 中，BC =1，∴AB =

2，AC =．

OF ⊥AC ，∴AF =CF ．

OA =OB ，∴OF 是△ABC 的中位线．∴OF =

11

BC =．

22

∴S △AOC =

1π1112

AC OF ==．S 扇形AOC =π⨯OA =．

33222∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =

π- 3AB 的中点，∴OM⊥AB． 24. 解：（1）连结OM ．∵点M 是

O

N 在Rt ⊿ODM 中，OM ＝4，MD =

B

（第24题）

1

过点O 作OD⊥MN于点D

，由垂径定理，得MD =MN =

2

=2． 故圆心O 到弦MN 的距离为2 cm．

（2）cos ∠OMD＝

MD =，∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°． OM 25. 证明：（1）连结OD, 得OD∥AC, ∴∠BDO=∠A, 又由OB ＝OD, 得∠OBD＝∠ODB,

∴∠OBD=∠A, ∴BC＝AC . 又∵AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形. (2)连结CD ，则CD⊥AB, ∴D是AB 中点. ∵AE＝

111

AD=AB, ∴EC=3AE , ∴AE =

CE 243

26. 解：（1）如图，过A 作AE ⊥BD 于E ，

由于台风中心在BD 上移动，所以AE 就是气象台距离

台风中心的最短距离.

在Rt ⊿ABE 中,AB=240,∠ABE=30°,

∴AE=

1

AB=120. 2

o

所以台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是（2）因为台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东60的BD 方向移动，在距离台风中心

130km 内的地方都要受到其影响, 所以画以A 为圆心, 130km 为半径的圆与直线BD 相交于

C,D 两点, 那么线段CD 就是气象台A 受到台风影响的路程. 在Rt ⊿ACE 中,AC=130,AE=120,∴CE=

AC 2-AE 2=2-1202=50,

∵AC=AD,AE⊥CD, ∴CE=ED=50,∴CD=100.

∴台风影响气象台的时间会持续=100÷50=2(小时).