Euler常数的形式及其证明

第２卷第２期

杭州师范学院学报（自然科学版）

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文章编号：１㈣小一９４【）３（２（）（）３）（）２一∞７２

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Ｅｕｌｅｒ常数的形式及其证明

凌明伟

浙江广播电视高等々刑学校信息采．新ｊ【杭州３１００１５

摘要：运用简洁的方法证明了ＥｕＪｃｒ常数的存在忡．并给出了若十Ｅｕｌｅｒ芎数的积分形式幸ｕ级数形式眨

相应的证叫

关键词：Ｆｔ，Ｉｅｒ常数｝积分；级数；黎曼℃函数中图分类号：（）ｌ７４

４２

文献标识码：Ａ

Ｏ

引言

Ｒ．祠朗稍Ｉ卜约翰在《微积分和数学分析引论》一书中＿｝｛｝ｊ单凋有界定理汪明了Ｅｕｌｅｒ常数７的存在性．在此．将运用匮间套定理对Ｅｕｌｅｒ常数ｙ的存在性给出一种简洁的证明，同时，研究了ＥＩ，１ｅｒ常数ｙ的移１分

形式和级数形式．１

预备知识

设

ｙ。一ｌ＋专＋÷｝…＋丢一１ｎｎ

：１）

令”～（１）式左边的极限存在，记作ｙ，则

，一！，罂ｒ．．兰！生！【，＋吉＋｛＋…＋÷

ｌｎｎ）

ｚ，

我们称ｙ为ＥＬ・ｌｅｒ常数．

２

Ｆｔ】１ｅｒ常数存在性证明

下面适用区间套定理给出Ｅｕｌｅｒ常数７存在性的证明．设

‰一１＋号＋÷一・＋告１ｎ（ｎ＋１）．

３）

忙１＋丢＋扫…＋去“一

…

收稿日期：跏吧Ｉｍ１２

作者简介凌删伟（１

０５８一），男，浙江杭州人，浙旺广播电视高等专科学校数学教研室主任．高级讲师，主要从事工科数学的教学相Ｉ研充

第２期凌明伟：Ｅｕｌｅｒ常数的形式及其证明

由干当，＞

１且丁≠０时，总有ｊ＞ｌ叭１＋。），阿

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又比ｌ为

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所以山（５），（６）和（７）知，对任一正整数一，恒有

ｎ。≤“。＋．＜６¨Ｊ≤６。且ｌｉｍ（６。

由Ⅸ问套定理知，存在唯一点ｙ∈豳。，６。］，＂＝１，２，３…

且ｉｌｎｌ“。一ｎｎ仙，．一ｙ．

３

Ｅｕｌｅｒ常数的积分形式及级数形式

３．】

积分形式由于

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ｌ。。、ｆ＋ｌ＋：｝；＋…＋上

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Ｚ

３

ｎ

ｌ。。１一Ｉ，ｒｎ｜ｆ’ｊ＿＿＝！：出／…一Ｊ

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ｒ。１

ｆ

罔此，嗵过积分变量代换ｆ一１

音，（８）可化为

剐・＋专＋｛一．＋ｊ

ｎ”Ｊ一！！！ｊ』：ｊ‘≥：主！“ａ。

』：‘１ｊ囊’“ａ。

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７，

把（１ｏ）代人（９）得优化的Ｅｕｌｅｒ常数的积分形式ｌ：

ｙ＝ｆ１里：曼二－二曼～÷ｄｚ

Ｊ

ｃＩ

－ｒ

及积分形式２：

ｒ一肭・ｎ÷卜

利用形式２，容易得出著名的Ｅｕｌｅｒ公式ｙ

ｆ÷（

３．２

城毅，Ｉ；瓦知道幂级数

ｈ（・＋÷ｊ一÷一去＋刍一击斗．“

取ｒ一＾．然后对（¨）式两边求和，可得

…，＋ｎ，一苎ｈ（，＋士Ｊ一砉（｝一去＋去＾】’～－一ｌ’“一“…“

去一即

娶专

・ｎ

ｃ－＋ｎ，一吉耋击一÷鍪嘉＋｛砉击

６）

杭州师范学院学报（自然科学版）

２００３母。

令”一ｗ，．则得到Ｆ面的

形式。｛：

善嘉，称为黎曼ｆ函数

形式４：ｙ＝：ｆ丛２ｄ。

蕻ｑⅦ（柏一

睾∑竺号型，为Ｆ。ｕ咄ｒ级数．

证明

由Ｆｕｌｃｒ—Ｍａｃｌａｕｒｌｎ求和公式知，对任何区间［ｃ！．６］川和６为整数，若／（ｉ）可导，则响

，（“）一＿，（“卜１）＋…＋／（６一１）＝＝ｆ６，（一）ｄ。＋ｆ１１尸（Ｔ）。（．，）ｄ。一地）。；￡！尘

取八。）一÷，令Ⅱ＝１，６一ｎ．则得

－ｔ÷＋扣…＋七一ｆ》一ｆ挈¨专（寺一，

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从而有

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１

即

－＋号＋÷＋…一丢，ｎ一一丢ｔ去ｆ兰字ａ。

令“一ｎ，则有ｙ一告ｒ兰粤ｄｚ

形式ｓ：７＝＝！呀・＋圣（孝一当’

证明

右式级数中的ｔｒ与”若交换位置．则其极限值，只相差一个负号，故称为反对称彤式

在域ｚ＞一内，级数”ｃｒ，一薹ｌ士当ｊ一薹嘉耋当

前一个级数是黎曼ｆ函数，后～个级数足ＪＬ何级数，且收敛于ｊ

ｂ，因为

＾一肥忙辨》，

＋

＂

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Ｚ

一

ｌ

∑¨

ｄ

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又困琦

ｏ＜嘉～Ｊ．｛古“｝≤嘉（１＜ｚ＜２），

由ｗｅ州ｓｌｒａｓｓ判别法，级数口（ｚ）在域１＜Ｔ＜２内一致收敛，故

｝－？善ｌ士刍）一１２蚤ｌ去

∥１专叫＝耋ｌ寺一＿‘；ａｒｊ

。删薯丢龇＋１划一驯，＋专＋卜…＋ｊｉ—ｌｎｃ”川』

由前面的ｙ的存在性证明可知，壤极限值存在ｌ；；＿Ｌ为７．

从姒上的讨论ｑ』可以知道，有各种不同的形式，卧Ｅｕｌｅｒ常数在伽玛函数和黎曼ｆ函数的研究中，起蕾

第２期凌明伟：Ｅｕｌｅｒ常数的形式及其证明

ｒ分重要的作用．可是至今，我们仍不知道ｙ是代数数还足超越数，甚至也尤人能证明ｙ是否为无理数

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Euler常数的形式及其证明

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

凌明伟

浙江广播电视高等专科学校,信息系,浙江,杭州,310015杭州师范学院学报(自然科学版)

JOURNAL OF HANGZHOU TEACHERS COLLEGE2003,2(2)

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