线性代数第二章习题部分答案
第二章 向量组的线性相关性
§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一） 一、 填空题 1. 设
2. 设
则线性组合
3. 设矩阵
.
, 其中则
,
.
，设为矩阵的第个列向量，
则
.
二、 试确定下列向量组的线性相关性 1.
解：设即
则
，线性无关。
2.
线性相关
三、设有向量组
，
问取何值时该向量组线性相关。 解：设
则即
所以， 四、设
线性无关，
线性相关，求向量用
, 线性相关
;
, 线性无关
线性表示的表示式。
解：因为使得因
为b= 五
、
已
知
线性相关，所以存在不全为零的
即
线性无关，所
以
.
+
+
b=
，，
. 又
，于是，
向量
组，
令
，
求证向量组
线性相关。
解：因为所以，向量组
§2-2线性相关与线性无关（二）
一、 设
线性相关，
线性相关，问
是否
线性相关。
，
一定线性相关？并举例说明之。 解：取
,
线性相关。
.
取
,
线性无关。
.
二、举例说明下列各命题是错误的： 1．若向量组性表示。 解：取
2．若有不全为0的数
成立，则解：取
3． 若只有当
才能成立，则
是线性无关，
全为0时，等式
是线性无关。
是线性相关，,
. , 使
是线性相关.
.
是线性相关的，则可由
线
解：取
4．若有不全为0
的数
, .
是线性相关，
，使
是线性相关，则
同时成立。 解：取
三、 设向量组量
线性相关，且
) ，使能由
, 证明存在某个向
,
.
线性表示。
线性相关，所以存在不全为零的，
。
设，，
，
中，又因
) ，使
得
于
是
，
证明：因为向量组，
使得
最后一个不为零的数是，即为
，所以
，
。即
有
，
，命题得证。
四、 已知证明：（1）能由示。
证明：（1
）因为
理1
知
也线性无关；又因为
线性表示。
线性表示。再利用（1）的结
线性相关，线性表示。
，所以
线性无关，由定，所以，,
线性表示。（2）不能由
线性表
线性相关，由定理3
得能由（2）反证法。假设能由果，可推出能由与
五、
设
,
,
线性表示，由定理2得矛盾。所以，不能由
，且向量线性无关。
，则
线性无关，证明向量组
证明：设
而向量线性无关，所以，
所以，向量组
§2-3 极大无关组（一）
一、 证明n 阶单位矩阵的秩为n. 证明：n
阶单位矩阵的列向量组
为
,
, 则
设
线性无关。
所以，
线性无关，秩为n ，则n 阶单位矩阵的秩为n.
二、
设矩阵
其中)
则.
证明：设矩阵的列向量组为
设
, 则
所以，
三、 求下列向量组的秩 1.
R=3
线性无关，秩为n ，则
.
2.
解：A=()=
所以，R (
四、
设
是一组维向量，已知
维单位坐标向量
能由它们线性表示，证明
证明：因为
维单位坐标向量
示，所以
，
，于是，
，
线性无关。
所
能由
线性无关。
线性表，
而
以
，
)=2,
为极大无关组。
五、
设是一组维向量，证明它们线性无关的充分
必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。 证明：充分性：如果任一
维向量都可由则
维单位坐标向量
上一题的结果，必要性：如果
如
果
能由线性无关。
线性无关，对于任一维向量.
,
则
线性表示，线性表示，利用
，所以，向量
能由
线性表示。
如果量线性相关，而
线性表示。
（另证：如果
为
性表示。）
线性无关，而
的一组基，所以
的维数是n
，所以
，则
这n+1个n 维向
线性无关，由定理3得向量
能由
中的一维向量都可由它们线
§2-3 极大无关组（二）
一、
设
为
同
阶。
证明：设A
的列向量组为
；B 的列向量组为
为
.
则A+B
的列向量组为(A,B)
的列向量组所以，
又(A,B)
的列向量组
，所以，
.
二、设向量组性表示
能由向量组
线
.
能由能由
线性表示，，极大无关组为
，极大无关组
矩
阵
，
求
证
其中为
矩阵，且线性无关。证明线性无关的充分表要条
.
件是矩阵的秩为
证明 ⇒若B 组线性无关 令B =(b 1, , b r )
A =(a 1, , a s ) 则有B =AK
由定理知R (B ) =R (AK ) ≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ) 由B 组:b 1, b 2, , b r 线性无关知R (B ) =r ，故R (K ) ≥r . 又知K 为r ⨯s 阶矩阵则R (K ) ≤min{r , s }
由于向量组B :b 1, b 2, , b r 能由向量组A :a 1, a 2, , a s 线性表示, 则
r ≤s ∴min{r , s }=r
综上所述知r ≤R (K ) ≤r 即R (K ) =r ．
⇐若R (K ) =r , 则K 的列向两组线性无关。
令x 1b 1+x 2b 2+ +x r b r =0, 其中x i 为实数i =1, 2, , r
⎛x 1⎫ ⎪
则有(b 1, b 2, , b r ) ⎪=0
x ⎪⎝r ⎭
⎛x 1⎫ ⎪
又(b 1, , b r ) =(a 1, , a s ) K , 则(a 1, , a s ) K ⎪=0
x ⎪⎝r ⎭
⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪
由于a 1, a 2, , a s 线性无关, 所以K ⋅ ⎪=0. 由K 的列向两组线性无
⎪ x ⎪⎝r ⎭
⎛x 1⎫ ⎪x 2⎪ =0 关知 ⎪ ⎪⎝x r ⎭
三、设
证明：向量组与向量组等价。
证明：因为
所以，向量组可以由向量组线性表示。
把各式相加后得
可得
所以，向量组由上，向量组
可以由向量组与向量组
线性表示。 等价。
四、已知3阶矩阵与3维列向量满足量组
线性无关，记
，求3阶矩阵使
.
，且向
提示：
§2-4
一、设
§2-5 向量空间，内积与标准正交基
, ,
问答：
二、
验证：
一个基, 并把
用这个基线性表示.
是不是向量空间，为什么？ 是，不是，是
,
为的
解：
()=
所以，
三、 证明
中不存在n+1个线性无关的向量，从而
中不存
.
在n+1个两两正交的非零向量。 证明：因为向量。
又因为两两正交的非零向量，
中不存在n+1个两两正交的非
的维数是n ，所以
中不存在n+1个线性无关的
零向量。 四、
把下列向量组规范正交化
解：
；
所以，
六、证明下列各题 (1) 为维列向量，且
阵。 (2) 设证明：
.
, 求证：是对称的正交
为同阶正交阵，证明：也是正交阵。
(1)称；
，H 对
，H
正交。 (2)因为
为同阶正交阵，所以，
，所以，
，于是，
也是正交阵。
复习题
一、
设
3二、
设
.
三、向量
是否为向量组线性表达式. 四、设
线性无关，求证：向量组
五、 求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组
,
向量组也线性无关。
的线性组合？若是，写出一个
.
求
求
1、
2、
3、
六、设有矩阵
向量组线性无关。
七、已知
及
，且
。若
，试证明的列
，证明：
.
八、
设为阶方阵，试证：（1
）
; （2
）
九、
问取何值时，向量
组
线性相关。
十、设线
证明三直
相交于一点的
充分必要条件为：向量组十一、设有向量
组
线性无关且线性相关.
的秩相等且十二、已知标 1.
2.
可由组线性表示，求的值
的基下的坐
，求在下列3
维向量空间
自测题（A ）
一、
设
计
算
二、已知三维向量
满足求
三、 讨论下列向量组的线性相关性
四、求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组
四、
验证
一个基，并求
在这组基下的坐标.
自测题(B)
一、单项选择题
1. 设向量组不能（A ）
线性相关
（C ）
线性相关
2.
设向量组
表示，则（ ） 可由向量组线性线性无关 （D ）线性无关，可由线性表示，为的由线性表示，则对于任意常数必有（ ） 线性无关 （B ）
（A ）当
必线性相关
（C ）当
必线性相关
3.
时，B 组必线性相关 （B ）当时，B 组时，A 组必线性相关 （D ）当时，A 组设
则该向量组的最大无关组是（ ）
（A
）
4. 向量组
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）量线性表示 线性无关的充分必要条件是（ ） 均不为零向量 中有一部分向量组线性无关 中任意两个向量的分量不对应成比例 中任意一个向量都不能由其余个向 （B ） （C
） （D
）
二、填空题
1.
设三阶矩阵
，三维列向量已知与线性相关， 则知向量
组
则该向量组的秩是. 2. 已
三、已知向量
组线性无关，
设
试讨论向量组
的线性相关性 四、假设
个向量
量线性无关，证明：
1.
如果存在等式
者全为零或者全不为零
2. 如果存在
等
式
, 那么或线性相关，但其中任意个向
那么
五、已. 知向量
组
为
的一组基，试求向量
在下的坐标.
六、在
中取定一个基
，再取一个新基
，求用表示,
设的
表达式（基变换公式），并求向量在两个基中的坐标之间的关系式。