一维量子谐振子的概率分布

一维量子谐振子的概率分布

摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。

关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布

1. 引言：

谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。

通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2. 经典一维谐振子：

首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为F =-kx ，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子

作简谐振动，再根据牛顿第二定律：

d 2x m =-kx ， dt

所以得运动微分方程为：

x ' ' =-

在此中ω=

2

k

x =-ω2x ， m

k

（决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量），由此可以得到一个比较普遍m

d 2x 2

+ωx =0的形式，也可以将它的解为的定义。比如质点运动的动力学方程为2dt x =A co s(ωt +φ)

。

相

应

的

，

质

点

的

动

量

的

表

达

式

为

p =m x 'i =p x i =-mA ωsin(ωt +φ) i =-B sin(ωt +φ) i ，这里出现的B =km 。这个

质点的动量的方向为x 方向的分量。

还有一种典型的谐振子，那就是单摆，在研究单摆模型中，要用长度不可变的轻线悬挂一个小球，我们把小球看作为质点，质点所受的的合力为质点的重力和悬挂线拉力的合力，使得质点在竖直的平面内沿圆弧摆动，并且要求摆动相对于悬线竖直位置的夹角很小，把这个夹角记作θ 。现在分析质点在沿运动方向所受的力为弧线的切线方向，记作F 。质点的

质量为m ，切向力F 的大小为mg sin θ，且当

θ=0这个位置时，

sin θ=θ-

θ2

3!

+

θ5

5!

-··· ，所以当θ角很小时，就可以略去级数展开式中的高次项，即

，从公式中就可以看出来，切向力和角位

sin θ≈θ ，这样切向力就可写成F =-mg θ

移反号，使得质点总要返回平衡位置，已知F 力是线性回复力，所以会做简谐振动，可以得出单摆的动力学方程，假设线长为l ，所以：

g d 2(l θ) d 2θg 2

=ωm =-mg θ=-θ ， ，令 22

l l dt dt

即，可得到：

d 2θ2

+ωθ=0 2

dt

这样得到的结果和弹簧振子得到的结果是一样的，所以单摆得到的也是一个简谐振动。 3. 量子谐振子

比如在一维的系统内粒子的势能

1

m ω2x 2，其中ω是常量，这种形式的称为线性谐2

∂U k

=0，这样就可以写成U=U 0+(x -a ) 2，∂x 2

振子。例如，两原子势能与x 的关系，其中在两原子间距中有一个稳定平衡点，把这一点记作a ，在x=a处，势能U 具有极小值，即

式中的k 和U0是常数，这就是一维线性谐振子的势能，通常情况下，一个体系平衡位置附近的运动都可以用线性谐振子来表示。谐振子的势能为1m ω2x 2 ，且坐标和时间可表示

2为x =a sin(ωt +δ) ，我们把a 作为振幅，δ是初相。 我们选择适合的坐标系，领粒子势能为

1

m ω2x 2 ，为了更加方便，我们引入了无量纲的变量ξ来代替x ，所以该体系的 薛2

定谔方程为：

d 2ψm ω22

+(E -x ) ψ=0

2m dx 22

其中的关系为ξ=

m ω

x =αx

，其中α=

m ω

。 令λ=

2E

ω

，以

2

乘方 ω

d 2ψm ω22

+(E -x ) ψ=0， 由 ξ=程

2m dx 22

定谔方程变化为：

m ω

x =αx 和 α= m ω

式， 薛

d 2ψ2

+(λ-ξ) ψ=0 2

d ξ

2

我们当ψ在ξ→±∞时的渐近时，也就是ξ非常大时，可得λ和ξ相比可略去， 所以在

ξ→±∞

时，方程可表示为：

d 2ψ2

+(λ-ξ) ψ=0 2

d ξ

d ψ

可以写成为=ξ2ψ ，该解为 ψ≈e 2

d ξ

的渐近解。

2

±

ξ2

2

d 2ψ

，因此这就是方程+(λ-ξ2) ψ=02

d ξ

波函数标准的条件是，当ξ→±∞ 时，ψ应该为有限的，因此取指数的负号，即

-

ξ2

2

ψ≈e

d 2ψ

。所以就可以把ψ写成以下形式， 从而求得方程+(λ-ξ2) ψ=0的解为：2

d ξ

-

ξ2

2

ψ(ξ) =e H (ξ) ，从上式中求得的函数H (ξ) 在自变量为有限时应有限的，而且当

ξ→±∞时，这样就的让H (ξ) 必须保证ψ(ξ) 为有限。将

-

ξ2

2

ψ(ξ) =e

代入方程

H (ξ)

d 2ψm ω22

+(E -x ) ψ=0 2

2m dx 2

先求出ψ(ξ) =e

-

ξ2

2

H (ξ) 式的二级微商：

d ψdH -2

=(-ξH +) e d ξd ξ

2

2

ξ2

ξ22

d ψdH d H 2=(-H -2ξ+ξH +) e 22

D ξd ξd ξ

-

d 2ψ

将上式代入+(λ-ξ2) ψ=0式中，可得到H (ξ) 所能满足的方程：2

d ξ

dH d 2H

(λ-1) H -2ξ+=0 2

d ξd ξ

把H 展成关于ξ的幂级数，而且级数只含有限的项的条件是λ为奇数：λ=2n +1 ，且n=0,1,2,3··· 将式代入2公式λ=

2E 1后，就可得到线性谐振子的能级为E = ω(n +) ， ω2

n=0,1,2,3··· 因此，两个相邻能级的间隔均为 ω ，线性谐振子的基态能量为

E 0=

1

ω （n=0），这个被称之为零点能。这个在量子力学中是特有的，在旧量子论2

中没有。 4．能量的最小值

根据不确定关系（测不准关系）可以的到动量和坐标的关系， 因为

x p x -p x =i ，=

于是得到：

2

(∆x ) (∆p x ) ≥

4

2

2

这个就是坐标和动量的关系，(∆x ) 和(∆p x ) 2不能同时为零，其中坐标x 的均方偏差越小，那么它的共轭的动量的均方偏差就越大。对于线性谐振子的零点能，我们可以利用不确定关系：

2

2

(∆x ) (∆p x ) ≥

4

2

2

其中振子的平均能量是：

p 21=+m ω2x 2 ，

2m 2

得到坐标的期望值是：

+∞

=N n

2

-∞

⎰

e -∂

2x 2

H n

2

(∂x ) xdx

，

该式中积分号下的函数是关于x 的奇函数， 动量的期望值：

=

分步积分后：

2e

N n -⎰∞i

+∞

-∂2x 2

H n

2

d -

(∂x ) [e

dx

∂2x 22

H N (∂X )]dx

=-

均方差公式：

2e N n -⎰∞i

+∞

-∂2x 2

d -

H n 2(∂x ) [e

dx

∂2x 22

H N (∂X )]dx

=-

(∆F ) 2=(F -) 2=F 2-2F +2=F 2-2

因为=0，=0 ，得到(∆x ) 2=x 2 ，(∆p x ) 2=p 2 ，将其代入

p 21=+m ω2x 2

2m 2

得线性谐振子的能量期望值：

(∆p ) 21=+m ω2(∆x ) 2

2m 2

又由于不确定关系使(∆x ) 和(∆p x ) 2不能同时为零，所以的最小值也就不能为零，

2

2

并且必须是有限的正值。为了求得的最小值，使得(∆x ) (∆p x ) ≥取等号，即可得

4

2

2

到：

2

(∆p x ) =2

4(∆x )

2

将该式代入

(∆p ) 21=+m ω2(∆x ) 2式，

2m 2

得到

21122

=+m ω(∆x ) 2

8m (∆x ) 2

将此式对(∆x ) 求导就得到了的最小值，又由(∆x )

2

2

=

，得到了的最小

2m ω

值为

1

m ω 。从以上关系可以看出，线性谐振子的基态能量是由不确定关系所求得的2

最小值。

5．线性谐振子波函数

对于λ=2n +1 ，且n=0,1,2,3··· 中不同的n 或者不同的λ ，在方程

dH d 2H (λ-1) H -2ξ+=0中有着不同的解H n (ξ) ，我们把H n (ξ) 称之为厄2

d ξd ξ

米多项式，也可以用H n (ξ)

n

=(-1) n e ξ

2

d n -ξ2

e n

d ξ

来表示。其中的H n (ξ) 的最高

次幂是n ，并且它的系数是2 ，所以就可以利用

H n (ξ) =(-1) e

推出

n

ξ2

d n -ξ2

e n

d ξ

dH n

=2nH n -1(ξ) d ξ

H n +1(ξ) -2ξH n (ξ) +2nH n -1(ξ) =0

H n (ξ) =(2ξ) n -n (n -1)(2z ) n -2

n -2[]n ! 2

+... +(-1) (2z )

[]2

n 2

n

⎧n

n (n -1) n ⎪⎪2

[式中的]=⎨ ，n 为偶数时为 ，当n 为奇数时为。

222⎪(n -1)

⎪⎩2

从而得到了几个厄米多项式：

H 0=1 H 1=2ξ H 2=4ξ2-2 H 3=8ξ3-12ξ H 4=16ξ4-48ξ2+12

H 5=32ξ5-160ξ3+120ξ H 6=64ξ6-480ξ4+720ξ2-120 H 7=128ξ7-1344ξ5+780ξ3-384ξ

H 8=256ξ8-3584ξ6+8280ξ4-10848ξ2+1680 H 9=512ξ9-9216ξ7+38064ξ5-34176ξ3+9504ξ

H 10=1024ξ10-23040ξ8+140640ξ6-217392ξ4+214272ξ2-30240

由ψ(ξ)

=e

-

ξ2

2

H (ξ) 得到的关于能量E n 的波函数，即

ψn (ξ) =N n e

或ψn (x )

-

ξ2

2

H n (ξ)

=N n e

-

α2

2

x 2

H n (αx )

式中的N n 是归一化因子，所以利用归一化条件:

+∞

*

ψ⎰n (x ) ψn '(x ) dx =δn , n '

-∞

（其中归一化因子N n =(

)

π2n n !

12

α

12

） 。由以上关系可以得到

ψn (-x ) =(-1) n ψn (x ) 的关系。

从而得到谐振子的波函数如下

ψ0(x ) =

π

14

e -α

2

x 2/2

ψ1(x ) =

ψ2(x ) =

2π

14

αxe -α

2

x 2/2

2214

(4α2x 2-2) e -α

2

x 2/2

ψ3(x ) =ψ4(x ) =

314

(2αx -3) e

2

2

-α2x 2/2

2414

(4α4x 4-12α2x 2+3) e -α

2

x 2/2

ψ5(x ) =

6014

(4αx -20αx +15αx ) e

4422

-α2x 2/2

ψ6(x ) =

5π

14

(8α6x 6-60α4x 4+90α2x 2-15) e -α

22

x /2

ψ7(x ) =ψ8(x ) =

670π14

(8αx -84αx +210αx -105) e

664422

-α2x 2/2

π

14

(16α8x 8-224α6x 6+840α4x 4-840α2x 2+105) e -α

22

x /2

ψ9(x ) =

35π

14

(16α8x 8+1512α4x 4-2520α2x 2+945) e -α

22

x /2

ψ10(x ) =

7π

1

4

(32α10x 10-720α8x 8+5040α6x 6-12600α4x 4+9450α2x 2-945) e -α

22

x /2

6. 量子谐振子的概率分布：

所以从谐振子的波函数来获得线性谐振子的概率分布

即，概率密度为ω(ξ) =(ξ) ，n=0,1,2,3··· ，其中ξ=αx 所以就可以得到谐振子的概率：

2

W (0) =

1

121

e -ξα

2

W (1) =e

-ξ2

αξ2

W (2) =

313e -ξα(2ξ2-1) 2

2

W (3) =e

-ξ2

αξ2(2ξ2-3) 2

W (4) =

111

e -ξα(4ξ4-12ξ2+3) 2

2

W (5) =

e -ξαξ2(4ξ4-20ξ2+15) 2

2

W (6) =

1

e -ξα(8ξ6-60ξ4+90ξ2-15) 2

2

W (7) =

1

e

-ξ2

αξ2(8ξ6-84ξ4+210ξ2-105) 2

W (8) =

11

e -ξα(16ξ8-224ξ6+840ξ4-840ξ2+105) 2

2

W (9) =e

-ξ2

αξ2(16ξ8-288ξ6+1512ξ4-2520ξ2-945) 2

W (10) =

e -ξα(32ξ10-720ξ8+5040ξ6-12600ξ4+9450ξ2-945) 2

2

利用Mathematica 画出谐振子的概率分布，图分别如下： 图一：

基态（n=0）是的概率密度（6——1）

图二：

n=1时波函数的概率密度 （6——2）

图三：

n=4时波函数的概率密度 （6——3）

图四：

n=6时波函数的概率密度 （6——4）

图五：

n=8时波函数的概率密度 （6——5）

图六：

n=10时波函数的概率密度 （6——6）

总结：

从上图可得到，量子谐振子的概率分布随着量子态的增加而呈现规律，当量子态很小的时候，这时的概率密度与经典的谐振子几乎没有什么相似处，但是随着n 的增大，它们之间的相似性会随着增加，当达到n=10的时候，这时的量子谐振子和经典谐振子的情况几乎一样，其中的一点差别就是量子谐振子的(ξ) 会迅速的震荡而已。 2

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One-dimensional quantum harmonic oscillator probability distribution Abstract: Linear Resonance problem as a general model，Therefore, in classical mechanics and quantum mechanics are greatly concerned. And resonator includes many types, We first study the quantum harmonic oscillator problem. Quantum harmonic oscillator is the basis of many complex physical model. When the first few quantum harmonic oscillator quantum state, Classical probability density difference between the more, With the increase of quantum numbers, Along with similarity will increase. By using mathematical software quantum harmonic oscillator probability distributions graphed, To arrive at the one-dimensional quantum harmonic oscillator probability distribution.

致 谢

在写论文的过程中，由于自己学习的不够扎实，遇到了很多困难，经过老师不厌其烦的讲解和指导，最终才将其完成。在此过程中深深的感觉到作为一个合格的老师的不容易，也深深的被老师扎实的物理功底所折服。在向解老师学习知识的同时，也应该向他学习对于学术那种严谨和认真的态度，无疑对我以后是一种激励。还有就是曾经教导我的老师们，是老师们一点一点的努力和汗水让我们懂得越来越多，没有他们曾经的努力也就没有现在的我们。

我的论还有很多不足，还需要老师们的指导和纠正，我会虚心学习和认真听取老师的建议，感谢各位老师，您辛苦了！