配方法解方程的魅力何以如此之大

　　一、教材背景分析 　　“一元二次方程的解法”一节内容是《一元二次方程》一章的重点内容,共分四小节。教材安排的教学顺序是:1.直接开平方法;2.因式分解法;3.配方法;4.公式法。用这四种方法解方程各有长处,直接开平方法和因式分解法虽然简便易行,但并不是所有一元二次方程都能用这两种方法来解;配方法适用于所有的方程,是解方程的通法,但配方的过程比较麻烦;公式法是直接利用配方导出的,适用于解所有的一元二次方程,不如直接开平方法和因式分解法快捷。在具体解方程时,应根据方程的特点具体选择恰当的方法求解。 　　依据《数学课程标准》所编写的苏科版教科书中解一元二次方程需要转化成一元一次方程,而转化的方法通常有两种:通过开方降次转化或通过分解因式降次转化。将因式分解法解方程前置,紧跟在直接开平方法后,就是遵循了这样的编排思想。用这两种方法解方程都比用其它两法解方程简单这也体现了从简单到复杂的学习顺序。 　　二、教学片段与反思 　　片段1:在学完一元二次方程的解法并将它用于解决实际问题的教学中得到方程:x-8x-20=0,我随口问学生:“此方程用何方法解好?”许多学生脱口而出:“配方法。”定睛一看,其中还不乏自己的一些得意弟子,不禁有些失望,继而追问:“真的是配方法吗?”这时才有零星几个声音小声的回答:“因式分解法。”课还在继续,但我的脑子里却开始有一个问题挥之不去:学生在解一元二次方程时为何对配方法如此情有独钟?回想这几天的作业,用合适的方法解方程,许多学生无论何方程都喜欢用配方法来解。甚至于形如(x-1)+x=6(x+1)(x-1)这样的方程也有人愿意不辞辛苦地将其化成ax+bx+c=0(a≠0)的一般形式再来配方求解。 　　反思:配方法是一种重要的数学方法,涉及数学内容的方方面面,仅在本章知识中,除运用于解方程外,在求根公式的推导、根的判别式的应用中都运用到配方法,因此配方法作为一种重要的数学方法必须让学生掌握,但就解法的便捷性而言,它逊于其它三种方法。而学生为什么要弃“简”就“繁”呢?反思自己的教学结果,说明学生在学习一元二次方程的解法时,还没有形成好的思维策略,在解法的选择顺序上还没有养成“先特殊(直接开平方法,因式分解法),后一般(公式法、配方法)”的思维习惯。 　　片段2:在学习用配方法解一元二次方程时我出示了如下两题: 　　1. x-2x-1=0;2. x-4x+3=0。 　　方程x-2x-1=0用已学的直接开平方法、因式分解法均不能求解,那应该怎样来达到降次转化的目的呢?解决数学问题的基本思路都是以旧解新,用原有的认知结构束“对付”新的问题,按“思维定势”去检索自己的“武器库”,搜寻合用武器、方法,再瞄准新靶。为了帮助学生找到合适的方法来解决这个新问题,我先让学生解了这个方程:x-2x+1=2,学生很轻松地将其变形为(x-1)=2,然后用直接开平方法求解。得到我的启发,学生学会了通过配方将x-2x-1=0变形为(x-1)=2来求解。顺势而下我让学生解方程:x-4x+3=0。这时我听到有学生很快地报出了答案,而且听到了有学生在小声地讲“用因式分解法”。可惜我当时急于教会学生用配方法来解方程,来完成本节课的教学目标,担心因式分解法的出现会干扰这一主题,因此将这样的声音视为了超出自己预设之外的“不和谐音符”。于是我继续引导学生如何配方再开方降次。为了考查学生对配方法的理解,我还出示了四道习题: 　　1. x+2x-3=0,?摇?摇 2. -x-4x+2=0, 　　3. x(x+2)=24,?摇?摇?摇4. 2x-4x-3=0。 　　在总结了配方法后,当然又进行了一系列的由简到繁的解方程的练习,我自认为对于学生在理解的基础上去掌握这一基本技能的教学是成功、有效的。 　　反思:再次回顾片段2的教学过程,相信学生在学习中一定还有这样的思维火花在闪动:方程x+2x-3=0、x(x+2)=24还可以用因式分解法来解,而且比配方法更简单。但在我“忽略”掉了第一个“不和谐的声音”后,学生顺应了我的“暗示”,投入到配方法解方程的学习中,心无旁骛。如果我在应对自己预设之外的这一声音时,变“不和谐”为“精彩”,鼓励学生回顾我们所解的这些方程中除了配方法外,哪些还可用前面所学的方法来解,进而比较一下不同解法的特点,那么就能帮助学生在学习新知识时不断地与旧知识进行回顾、比较,找出知识间的内在联系和规律,相信学生也就不会出现在解方程时只对“配方法”情有独钟的尴尬了。 　　三、对教法的的建议 　　配方法、公式法早在公元前19世纪就已经为巴比伦人所知,而因式分解法的出现却迟了整整3500年。那么因式分解法最初是如何被数学家想到的?从哈里奥特的例子中,我们可以看出,他是先遇到了方程(x-b)(x+c)=0,将左边展开得到x-bx+cx-bc=0,由此反过来想到用因式分解法来解一元二次方程的。在笛卡尔的《几何学》中,我们也可以看出这一点。他将一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘,得一元二次方程程x-5x+6=0,它的两根为2和3。 　　从一元二次方程解法的发展历史来看,我们在教学的安排顺序上是否也可调整如下:1.直接开平方法,2.配方法,3.公式法,4.因式分解法。这样应该是更符合学生的认知发展规律。也许“片段2”中,当教师在“用配方法解方程”的教学时出示例题程x-4x+3=0,学生更能沉浸在用配方法得出方程解的喜悦中,而在因式分解法的教学中再将学生以前解过的一些方程拿出来解,相信因式分解法无可替代的简便性一定能给学生的心灵以触动和震撼。解一元二次方程的基本思路是降次,通过对“因式分解降次”与“开方降次”的这种比较性的学习,使学生更能有效地突破原有的思维方式或思维定势,使他们经历数学变化的历程,享受那种数学发现的喜悦,这样学生得到的便不仅仅是数学知识和方法,更应是智慧的启迪、创新的诱发和对数学解题中“简单美”的不懈追求,更好地激发学生的学习兴趣。相信对“配方法情有独钟的学生”会少许多。 　　四、对教、学的再认识 　　1.认识到运算也是一种推理 　　初三数学教师常常因为时间的紧迫性,在教学中轻运算、重推理。对一元二次方程解法的教学中以传递知识为最终目的,对学生缺乏解题方法的总结,解题思维策略的指导。殊不知运算也是一种推理。对一系列数据实施运算,就是根据运算法则逐步推导,将所求对象有根据地导出结果的过程,所以提高学生的运算能力与提高学生的逻辑推理能力是相辅相承的。在教学中,我们应该重视运算的教学,并且将其作为培养学生良好思维品质,养成一题多解,解后反思的好习惯的知识载体。一元二次方程的解法是学习后面许多知识的重要基础,而且在方程解法的学习过程中所渗透的转化、比较、配方等数学思想方法,以及一道方程可能有的多种解法,都有助于学生思维多向性的培养,以及思维品质的提高。实际上,知识与能力是相辅相承的,在基础知识的教学中,教师应注意让学生对知识的掌握条理分明、系统严谨,对知识的运用达到“召之既来,来之即用”的高度。 　　2.在教和学中重视回顾与反思 　　“积学以储宝”是古人的治学秘诀,“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海”,“合抱之木,生于毫末;九层之台,起于累土;千里之行始于足下。”如果我们不能经常反思自己的教学,那么必然将忽视学生对知识的回顾、反思,对知识的学习就会像“狗熊掰玉米”一样地不断丢弃,学生又何以“行千里,成江河”呢?对知识的不断反思正是我们培育“毫末”,广积“垒土”,从足下做起的学习良方。 　　学生在解一元二次方程时对配方法的“情有独钟”,恰恰反映了在学习和解题时缺乏回顾和反思,前学后忘。而对学生“不和谐音符”思维火花的扼杀,也反映了教师本身对教学的回顾、反思的不足。在对大量学生的学习情况分析中表明,学习中的种种缺陷(例如:能听懂但不会做题,公式回背但不会用,解题思路狭窄,不会提问题,等等)均与学生学习中欠缺“回顾、反思”的习惯有关。这就需要我们在教学中正确引导、严格示范,注重引导学生新旧知识的对比联系,鼓励学生“浮想联翩”,在设计教案时,充分估计到教学中可能出现的各种情况,能应对学生提出的超出课堂预设的“怪问题”。教师应做到“放得出,收得住”,准确地驾驭教学进程,循序渐进地完成教学任务,将学生能力的培养不断地推向新的高度。 　　 　　参考文献: 　　[1]董林伟主编.初中数学有效教学设计与研究. 　　[2]郭民,卢秀双.数学学习策略. 　　[3]中学数学教学参考.2007,(1-2). 　　

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