四面体外接球的球心.半径求法
四面体外接球的球心、半径求法
在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为
a2b2c2
labc，几何体的外接球直径2R为体对角线长l 即R
2
2
2
2
【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE的长 即：4R2AB2AC2AD2
4R13616 所以R2 球的表面积为S4R216
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
222
2
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，ABBC且PA7，
PB5，PC，AC10,求球O的体积。
解：ABBC且PA7，PB5，PC，AC10, 因为72102 所以知AC2PA2PC2 所以 PAPC 所以可得图形为： 在RtABC中斜边为AC 在RtPAC中斜边为AC 取斜边的中点O，
在RtABC中OAOBOC 在RtPAC中OPOBOC
所以在几何体中OPOBOCOA，即O为该四面体的外接球的球心
R
1
AC5 2
2
A
C
4500
所以该外接球的体积为VR3
33
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC，BAC120，
AB
ADAC2
解：由已知建立空间直角坐标系
0，0) B(2，0，0) D(0，0，2) A(
0，
C
3
y
设球心坐标为O(x,y,z) 则AOBOCODO,由空间两点间距离公式知
x2y2z2(x2)2y2z2 x2y2z2x2y2(z2)2
x2y2z2(x1)2(y)2z2 解得 x1y
33
z1
所以半径为R12（
32221
）1
33
222
【结论】：空间两点间距离公式：PQ(x1x2)(y1y2)(z1z2)
四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为
6
a。 4