高考数学常见题型汇总(经典资料)
一、函数
1、求定义域（使函数有意义）
分母 ≠0
偶次根号≥0
对数log a x x>0，a>0且a ≠1
三角形中 060，最小角
判别式法 V ≥0 不等式法 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一：
1y =x +
x
y =x 2+
211=x 2++≥=3x x x
法一：
y =x +
111
=x +(x , 同号) ≥2x x x
∴y ≥2或y ≤-2
b
y =ax +(ab >0)
x 法二：图像法（对有效
题型二：
1
y =x -(x ∈(1,9))
x
1导数法：y =1+2>0
x 1
∴函数y =x -单调递增
x
⎛80⎫
∴y ∈(f (1), f (9)), 即y ∈ 0, ⎪
⎝9⎭
/
题型三：
y =
2sin θ-1
1+sin θ
1+y
化简变形sin θ=, 又sin θ≤1,
2-y ∴
1+y
≤1解不等式，求出y ，就是要求的答案2-y
题型四：
2sin θ-11+cos θ
化简变形2sin θ-1=y (1+cos θ), 得y =
2sin θ-y cos θ=1+y
θ+x ) =1+y , 即sin(θ+x ) =
又由sin(θ+x ) ≤11
解不等式，求出y ，就是要求的答案
题型五
x 2+3x y =
x -3
化简变形x 2+3x =y (x -3), 得x 2+(3-y ) x +3y =0由判别式V =(3-y ) 2-4⨯3y ≥0解出y
反函数
1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域
3、原函数的图像与原函数关于直线y=x对称 题型
3-2x
已知f (x ) =, 求f (2)-1
2+x 3-2x
解：直接令=2，解出x , 就是答案
2+x
周期性
f (x ) +f (x +t ) =0
-)f (x +t ) +f (x +2t ) =0(2式相减）
对称
f (x ) =f (x +2t ) ，函数f (x ) 是一个周期是2t 的周期函数
f (x +a ) =f (a -x ) ⇔f (x ) =f (2a -x ) 函数关于直线x=a对称
对称的判断方法：写出2个对应点的坐标A(x,f (x ) ), B (2a -x , f (x ) ), 求出其中点的坐标C(a,f (x ) ）。因a 是常数，故整个函数关于直线x =a 对称
不等式 题型一
:
2
x +(x >0)
x
112 =x++≥=3x x 2
(应用公式a+b+c≥3者的乘积变成常数）
题型二:
x 2(3-2x)(0
x +x+3-2x3
=x⋅x ⋅(3-2x)≤() =1
3
a +b +c 3
(应用公式abc ≤() 时，应注意使3者之和变成常数）
3
数列：（熟记等差数列，等比数列的基本公式，掌握其通项公式和求和公式的推导过程） 等差数列：
a 1+a n
S n =n ⋅a 1+n (当n 是奇数时，应写成n ⋅)
22 a 5+a 6+... +a 9=5a 7
a m +a m +1+... +a n =(n -m ) a m +（不能写上试卷）n
2
Sn , S 2n -S n , S 3n -S 2n ... 是等差数列，公差是n 2d
等比数列：
n
n 是奇数时，应写成(a 1a n ) n S n =(a 1+n ) （当
2
S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ... 是等比数列，公比是q n 无穷递缩等比数列（q
a s=lim S n =(也说是等比数列中所有项的和）
n →∞1-q
通项公式的求法 1、
S 1 n=1时
a n = S n -S n -1 n>1时 2、
a n -a n -1=f (n ) 叠加(可参考等差数列通项公式的求法） 例：a n -a n -1=n (a 1=1) a n -1-a n -2=n -1 L L
+)a 2-a 1=2 (叠加） a n -a 1=2+3+4+... +n
1+n
a n =a 1+2+3+4+... +n =1+2+3+4+... +n =⋅n
2
3、
a n =a n -1⨯f (n ) 叠乘(可参考等比数列通项公式的求法）a n
例：a n =a n -1⨯n =n (a 1=1)
a n -1a n
=n -1
a n -1 L L
a 2
=2
a 1
a n
⨯=2⨯3⨯4⨯... ⨯n (叠乘）
a 1
a n =a 1⨯2⨯3⨯4⨯... ⨯n =1⨯2⨯3⨯4⨯... ⨯n =n ！
4、
a n =k ⋅a n -1+b （待定系数法） 令a n +x =k (a n -1+x ) 例：a n =3⋅a n -1+2
令a n +x =3(a n -1+x ), 展开得a n =3a n -1+2x , 即x =1 ∴{a n +1}是等比数列，a n +1=(a 1+1) ⋅3n -1=2⋅3n -1
5、
a n =k ⋅a n -1+b n （待定系数法2） 令a n +xb n =k (a n -1+xb n -1) 例：a n =3⋅a n -1+2n
令a n +x 2n =3(a n -1+x 2n -1), 展开得a n =3a n -1+3x 2n -1-x 2n , 即3x 2n -1-x 2n =2n ⇒0.5x =1⇒x =2
∴{a n +1}是等比数列，a n +2⨯2n =(a 1+2⨯21) ⋅3n -1
6、
a n =
a n -1
(倒数法）
k ⋅a n -1+b
a n -1
a 1=1
3⋅a n -1+1
3⋅a n -1+111= =3+
a n -1a n a n -1
例：a n =
取倒数：
⎧1⎫11
∴⎨⎬是等差数列， =+（n-1) ⋅3=1+（n-1) ⋅3=3n-2
a n a 1⎩a n ⎭
1
∴a n =
3n-2
求和: 1、拆项
1111
=(-)(剩余2k 项（前后各k 项））
n (n +k ) k n n +k
111
++... +1⋅32⋅4n (n +2) 11111 =(+--) k=2，前后各2项，前2项全正，后2项全负）
212n +1n +2111111 ++... +=(-)
1⋅22⋅3n (n +1) 11n +[1**********] ++... +=(++---)
1⋅42⋅5n (n +3) 3123n +1n +2n +3
2、叠减
Sn =a 1b 1+a 2b 2+... ++a n b n (a n 是等差数列，b n 是等比数列）例：求 1鬃21+222+3? 23 -)2? S n
... +n 2n
... +n 2n ，则
n ×2n+1
解：令S n =1鬃21+222+3? 23
1鬃22+223+... +(n-1) ? 2n
相减： -Sn =21+22+23+... +2n -n 2n+1 \S n =（应该不用我求了吧，呵呵）
注意，这几个题型是近几年高考的常见题型，应牢牢掌握） 三角 1、
θ+π
k 2
奇变偶不变 （对k 而言）
符号看象限 （看原函数） 2、1的应用 （1）
1=sin 2θ+cos 2θ⇒sin 2θ=1-cos 2θ⇒sin θ⋅sin θ=(1-cos θ)(1+cos θ)
sin θ1-cos θ
⇒=(θ≠k π)
1+cos θsin θ
cos θ1-sin θ
注意此式中的比例变形。同理，我们有=
1+sin θcos θ
例：
→
1+sin θ-cos θsin θ+cos θ-1
=(证明) 1+sin θ+cos θ1+cos θ-sin θsin θ1-cos θ证Q =
1+cos θsin θ1+sin θ-cos θsin θb d b +d b ∴= 合比定理=⇒=1+sin θ+cos θ1+cos θa c a +c a
sin θ+cos θ-1sin θ
=
1+cos θ-sin θ1+cos θ1+sin θ-cos θsi n θ+cos θ-1 ∴=
1+sin θ+cos θ1+cos θ-sin θ
（2）
已知tanα=2，求sin 2α+sinαcosα-3cos 2α
解：
2
sin 2α+sin αcos α-3cos 2αtan (α)tan (α)-3原式==22
sin α+cos αtan 2α+1
降幂公式1-cos 2x
sin x =
21+cos 2x 2
cos x =
2
周期公式£º
2
2π
sin x ⋅cos x 周期为
a +b 2π1πa
sin x 周期为⋅=(加" " 后周期减半)
k 2k
注意:周期公式是我个人的推导, 绝不能写上试卷,
a
b
自己知道怎么做就行了.
图像. y=Asin (wx +ϕ)(A >0)
i :值域[-A,A ] 2π
ii :周期: T=
w
π
iii :对称轴π+
2π
最大值 wx+ϕπ+
2π
最小值π-2
对称点π
注意:奇函数原点为对称点 ϕ=k π (把x=0代入即可)
π
偶函数y 轴为对称轴 ϕ=k π+
2
π
如：对函数y =3sin(2x +), 它的值域是[-3，3]
3
ππk ππ
对称轴是2x +=k π+, 即x =+
32212πk ππ
对称点是2x +=k π，即x =-
326
πππ
当2x +=2k π+，x =k π+时，有最大值
3212ππ5π
当2x +=2k π-，x =k π-时，有最小值
3212
解析几何 题型：
1、已知点P （x.y ）在圆x 2+y2=1上，
y 的取值范围
x +2
(2)y-2x 的取值范围
y
解:(1)令=k , 则y =k (x +2), 是一条过(-2,0)的直线.
x -2
d≤R (d 为圆心到直线的距离,R 为半径) (2)令y-2x =b , 即y -2x -b =0, 也是直线d d≤
R 2. 求中点轨迹
λ:y=kx+b ⇒化为Ax2+bx+c=0形式 c.
为交点横生标分别为x 1,x 2.
B
1+x 2=- (公式用不完, 但后面有用,
A C
1⋅x 2=- 这里就直接写出来)
A x 1-x 2=x 1+x 2
中点轨迹P(x0.y), 则 x0=
2
y=kx0+b 消元, 得P 的轨迹.
3. 求交线长度 AB =-x 2
(若开始时设直线方程为x=ky+b,则
4. OA⊥OB
⇒x 1x 2+y 1y 2=0
(x1,y 1),(x2,y 2) 为A.B 的坐标
B
5. 求∆ABF 的面积
1
S∆ABF = CF ⋅y 1-y 2
2
解析几何一般就这些题型，做的时候注意体会（有时会考上一些基础性的问题，如第一、第二定义，焦半径公式等等，要求把公式记牢）若实在不会做，也应先代入，化简为Ax 2+Bx+c=0的形式，并写出
B
x 1+x 2=-
A C
x 1⋅x 2=
A
x 1-x =
二项式定理 主要是公式
1n n
1. C0+C +L +C =2(二项式等数和) n n n 24 C0+C +C n n n L (奇数项) 35n-1 = C1+C +C L (偶数项)=2n n n
2. 若f (x )=a0+a 1x +L a n x n
则:a0+a 1+L a n =f (1) (各项系数和) f (1)+f (-1) a0+a 2+a 3+L =
2
f (1)-f (-1)
a 1+a 3+a 5+L =
2
a 0-a 1+a2-a 3+L =f (-1)
3. 求常数项(特巧) 比例法:
2求的常数项11 x 要3个 要2个, 共5个
x 3 2 5
10
6 4 10(总共有10次方) 对应成比例. 1
常数项为C 122.
6610
4
⎫1⎛求 +⎪中x 的系数
⎭⎝
1得到, 需要2次方, x 3 2 5
6 4+2 12-2( 先除掉21666的系数为C 1212x
1, 使其变成
x 12
极限 1.lim
x →x 0
f (x )
=
g (x )
f (x ) f ' (x )
f (x ) =g (x ) =0时, lim =lim '
x →x 0g (x ) x →x 0g (x )
f (x 0) f (x )
f (x ) ≠0 g (x ) ≠0时, lim =
x →x 0g (x ) g (x 0) f (x )
f (x ) =0 g (x ) ≠0时, lim =0
x →x 0g (x ) f (x ) ≠0 g (x ) =0时, 无意义.
x n +y n
2. lim n =x →∞3x +4y n
1
x >y 时, 只看x 31 x
4
(x ≠y )
立体几何（难点） 1、证垂直 （1）几何法
线线垂直
2 线线垂直a
⊥b
r r ⇔ a⋅b=0
n r
线面垂直为
α
a ⊥α ⇔a r P n r ⇔a r =λn r
法向量求法
求平面ABC 的法向量n r
n r uu
n r ⋅r
⋅uu AC=0 r
可能是（y,2y ，-y ）之类，注意化简
面面垂直
n, n 2为α, β的法向量
α⊥β⇔n 1⋅n 2=0⇔n 1⊥n 2
求角 1、线面夹角
几何法：做射影，找出二面角，直接计算向量法：
找出直线a 及平面α的法向量n
cos θ=
a ⋅n a ⋅n
2、线线成角
几何法：平移（中点平移，顶点平移） 向量法：
a ⋅b
a ,b 夹角，cos θ=a ⋅b
a 2+b 2-c 2
(几何法时常用到余弦定理cos θ=）
2ab
3、面面成角（二面角）
方法一：直接作二面角（需要证明） 方法二：面积法（一定有垂直才能用） PC ┴ 面ABC ，记二面角P —AB —C 为θ，则
S ∆ABP
cos θ=
S ∆ABC
（先写公共边/点，再按垂线依次往后写，垂足放在分子） 附：使用时，可能会正弦定理与余弦定理搭配使用。
1
正弦定理：S V =2absinC
a 2+b 2-c 2
余弦定理：cosC= 2ab
方法三：向量法
u r u u r
n 2 所成的角θ 求，β所成二面角x ，先求α ，法向量n 1,
⎧θ 0
求距离
点到平面的距离
方法一：等体积法（注意点的平移，以及体积的等量代换） 例：求点B 到PAC 的距离h （已知PB┴面ABC)
U ∆ABC =U∆PAC
⇒13S 1
∆ABC PB=3S ∆PAC h
⇒h=S ∆ABC
S PB
∆PAC
(注意余弦定理，正弦定理的综合应用） 方法二：向量法
同上，设面PAC 的法向量为n (可以自行求出），在面上任取一点，不妨碍取P ，则
uu r h =PB ⋅n r
n
A C
PAC