[线性代数I]常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路

二、证明题

题型1．关于α1, （1）设λ1α1

, αm 线性相关性的证明中常用的结论

，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：

+ +λm αm =0

如果能证明λ1, , λm 必全为零，则α1, , αm 线性无关；如果能得到不全为零的

λ1, , λm 使得等式成立，则α1, , αm 线性相关。

（2）α1,

, αm 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。

n

（3）如果α1, , αm ∈F

，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。

（4）如果我们有两个线性无关组，α1, , αm ∈W 1, β1, , βt ∈W 2,

且

W 1, W 2是同一个线性空间的两个子空间，要证α1, , αm , β1, , βt

这种情况下，有些时候我们设

线性无关。

λ1α1+ +λm αm +μ1β1+ +μt βt =0, α=λ1α1+ +λm αm , β=μ1β1+ +μt βt 。

根

据

题

设

条

件

往

往

能

得

到

α=β=0

，进而由

α1, , αm ∈W 1, β1, , βt ∈W 2的线性无关得到系数全为零。

题型2. 关于欧氏空间常用结论 （1）内积的定义

（2）单位正交基的定义 （3）设B

={α1, , αn }是单位正交基，

u B =(x 1, , x n ), v B =(y 1, , y n ) 。则(u , v ) =x 1y 1+ +x n y n 5

题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩

（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式

r (A +B ) ≤r (A ) +r (B ); r (A B ) ≤m in{r (A ), r (B )};r (A ) =r (A ) =r (A A );

⎛A T ⎫

m ax{r (A ), r (B )}≤r (A , B ) =r T ⎪≤r (A ) +r (B );

⎝B ⎭⎛A r ⎝

⎫

⎪=r (A ) +r (B ); B ⎭

⎫

⎪≤r (A ) +r (B ) +r (C ); B ⎭

T

T

⎛A

r (A ) +r (B ) ≤r

⎝C

A m ⨯n B =0⇒r (A ) +r (B ) ≤n

（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式） 例：证明：r (A m ⨯n ) 证：

+r (B ) ≤n +r (AB ) 。

⎫⎛E n ⎪=r A B ⎭⎝A

⎫

⎪A B ⎭

⎛E n

n +r (A B ) =r

⎝⎛E n =r

⎝A

-B ⎫

⎪≤r (A ) +r (B ) 0⎭

A

上面第二个等号是用左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号

是用-B 又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。 （6）利用齐次线性方程组解的结构（dim

N (A m ⨯n ) =n -r (A ) ），此方法也可以

用来证明关于向量组的秩方面的的问题。

（7）利用向量组的秩与维数 主要是两个结论：（i ）矩阵的秩=列秩=行秩 （ii ）dim

ker σ+dim Im σ=dim ker σ+r (σ) =σ

的定义域

的维数 （8）利用行列式秩 （9）利用相抵标准形

题型4. 关于可逆矩阵常用结论 （1）结论：

A 可逆⇔AX =b 有唯一解⇔|A |≠0。

（2）结论：（3）结论：（4）结论：

A , B ∈M n (F ) 可逆⇔AB

A A

可逆。

可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。 可逆当且仅当0不是它的特征值。

（1）结论：

A

相似于B ⇔∃C s . t . A =C

-1

BC

。

（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。 （3）特征值与特征向量的定义 （4）结论：λ是

A

的特征值⇔|λE -A |=0。

（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。

（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。 （7）结论：

AX =λX ⇒∀h (x ) ∈F [x ],h (A ) X =h (λ) X

。

（8）结论：课本P242定理7.8。 （9）结论：课本P242推论。

（10）结论：课本P243定理7.10。

（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。

（1）定义：二次型的矩阵。 （2）定义：相合关系。

（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。 （4）定义：课本P263定义7.12与P269定义7.12 （5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。 （6）结论：课本P264定理7.17、7.18、7.19 （7）结论：课本P269定义下面的内容

题型1．解线性方程组（必须掌握）

最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为后对自由未知量赋予任意值，即设

x i 1, , x i t

），然

x i 1=k 1, , x i t =k t

，这儿

k 1, , k t

为任意常

数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于式）

k 1, , k t

的一些表达

方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为设

x i 1, , x i t

）。

α1, , αt ∈F

t

是

F

t

的一组基（常取自然基）。然后令

(x i 1, , x i t ) =αj , j =1, 2, t

一个基础解系）。则可知方程组的解为

，分别解得方程组的解：

X 1, , X t

，这儿

（这是

为

X =k 1X 1+ +k t X t k 1, , k t

任意常数。（一般解）

Cramer 法则。注意：Cramer 法则只对系数矩阵可逆的情形适用。

题型2．将

β∈V (F ) 用α1, , αm ∈V (F ) 线性表示（或求坐标）

x 1, , x m

使得

常用思路：待定系数法。设设条件得到关于

β=x 1α1+ +x m αm

。然后根据题

x 1, , x m

的一个方程组。解方程组。

方法二：利用课本定理4.10（如果已知在某一组基下的矩阵）

题型3．判断

α1, , αm ∈V (F )

x 1, , x m

的线性相关性

常用思路：待定系数法。设设条件得到关于

使得

0=x 1α1+ +x m αm

。然后根据题

x 1, , x m

的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则

α1, , αm ∈V (F )

题型4．求

线性相关。反之，线性无关。

α1, , αm ∈V (F )

x 1, , x m

的极大无关组及秩

使得

常用思路：待定系数法。设设条件得到关于

0=x 1α1+ +x m αm

。然后根据题

x 1, , x m x i

的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。

不是自用未知量的所对应的

αi

放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。

题型4′．求基与维数

常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。

题型5. 将

α1, , αm ∈F

n

扩充为F 一组基

n

n

常用思路：首先确定出

α1, , αm ∈F

x 1, , x n

的一个极大无关组，设为

α1, , αt ∈F

n

。然后设，构建线性方程组

⎧(x 1, , x n ) α1=0⎪

⎨

⎪(x , , x ) α=0

n t ⎩1

（假设

α1, , αm ∈F

n

是列向量）

然后解除上面方程组的一个基础解系，设为定有n -t 个）。则么线性无关）

X 1, , X n -t ∈F

n

n

（想想为什么一

α1, , αt , X 1, , X n -t ∈F

就是一组基（想想为什

题型6．Schmidt 正交化过程

题型7. 两组基的过渡矩阵（转化为题型2） 题型8. 线性映射（变换）的矩阵

方法一：利用定义，转化为题型2。

方法二：利用课本定理7.4（如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩阵）

题型9. 求矩阵的秩（可考虑放弃）

方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵化为一个容易看出秩的矩阵（一般为阶梯形）。

方法二：利用分块矩阵。主要基于以下几个公式：

m ax{r (A ), r (B )}≤(A , B ) ≤r (A ) +r (B )

方法三：利用⎛A ⎫

r (A ) +r (B ) =r 秩的一些⎪

B ⎭⎝性质，主

要是：

⎛E n

n +r (B ) =r

⎝

⎫⎪B ⎭

r (A +B ) ≤r (A ) +r (r (AB ) ≤m in{r (A ), r (A ) =r (A ) =r (A

T

⎛A

r (A ) +r (B ) ≤r

⎝C

方法四：利用 方法五：利用

⎫

⎪≤r (A ) +r (B ) +r (C ) B ⎭

A m ⨯n B =0⇒r (A ) +

r (A ) =A r (A ) =A

的行/列秩，转化为题型4或利用向量组 的秩的一些性质 的行列式秩

方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于：

dim N (A m ⨯n ) =n -r (A )

题型10. 求可逆矩阵的逆矩阵

方法一：基于A

可逆⇒AX =b 的唯一解为X =A b

-1

，利用线

性方程组求解。

方法二：基于可逆矩阵可写成初等矩阵的乘积，利用初等变换求 解，主要是两个公式：

-1

(A , E ) →(E , A )

前者只能用行变换，后者只能用列变换。 ⎛A ⎫⎛E ⎫

方法三：利用分块矩阵求 ⎪→ -1⎪

解。主要基于两个公式：（假⎝E ⎭⎝A ⎭

设已知可逆）

⎛A 1

⎝⎛A ⎝C

-1

⎫⎪⎪A t ⎪⎭

-1

⎛A 1-1

= ⎝⎫-1⎪B ⎭

⎫⎪⎪-1⎪A t ⎭

-1⎛A ⎫

⎪= B ⎭⎝*

注意：主对角线上的子块必为可逆方阵。

：利用伴随矩阵（一定要细心！）

题型11. 求行列式（小心符号！）

方法一：利用初等变换或课本5.1节的简单性质化为三角阵或其他容易求解的行列式。

方法二：利用公式|AB |=|A ||B |（注意必为同型方阵）方法三：利用按行/列展开公式，一般得到递推公式。方法四：前面三者结合。（最为常用）

（1）三角形行列式=对角线元素乘积

A

（2）

C

=|A ||B | B

（3）范德蒙行列式

题型12. 求特征值与特征向量及矩阵对角化（必须掌握）

方法：利用特征多项式求特征值，利用求线性方程组的基础解求特征向量。最后注意：在写出P 以及原矩阵的相似标准形时要注意特征向量与特征值是相互对

应的。

题型13. 实对称矩阵的对角化

方法：和题型12一致，但是要加入Schmidt 正交化过程及单位要注意的是：千万不要把所有的特征向量放在一起Schmidt 正交化，一定要分别对每个特征值所对应的特征向量分别正交化，也就是说：如果有m 个不同特征值，要进行m 次Schmidt 正交化过程！

题型14. 求二次型/矩阵相合标准形与相合规范形（必须掌握）

方法一：配方法。 方法二：初等变化法。（参考课本例题，此两种方法和中学所用的 一致）

12或13，基于正交矩阵的逆矩阵和转置一样。