高一数学假期作业

甘谷三中2016-2017学年度第一学期假期作业

3. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）

高一数学试卷

考试范围：立体几何；考试时间：120分钟；命题人：李天鹏

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1.

如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ．10+ B ．10+ C ．6+2+ D ．6++2. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）

A ．10π B．11π C．12π D．13π

A ．8B ．

C．10D ．

4. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A ． B ．（4+π） C ． D ．

5. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m

6. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ） A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内

C ．有两条，不一定都在平面α内D ．有无数条，不一定都在平面α内

7. 如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是

BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）

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（1）若M 为PA 的中点，求证：DM∥平面PBC ；

（2）求三棱锥D ﹣PBC 的体积．

A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC⊥平面ABB 1A 1

C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE⊥B1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E

8. 已知m 为一条直线，α、β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m∥α，α⊥β，则m⊥β B ．若m⊥α，α∥β，则m⊥β C

．若m∥α，α∥β，则m∥β

D ．若m∥α，m∥β，则α∥β

第II 卷（非选择题）

9. 如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、E 、F 分别是BC 、AC 1、BB 1的中点．

（1）求证：平面AC 1D⊥平面BCC 1B 1；

（2）求证：EF∥平面A 1B 1C 1．

11. 如图，在三棱锥P ﹣ABC

中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF ； （2）平面BDE⊥平面ABC ．

10. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，

BC=5，DC=3， 12. 已知等腰梯形PDCB 中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD

AD=4，∠PAD=60°．

沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ．

答案第2页，总13页

（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ．

（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分的体积之比为

V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M ﹣ACB =2：1？

（3）在M 满足（2）的条件下，判断PD 是否平行于平面AMC ．

13. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC 的中点．

（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明：AE ⊥平面PCD ；

（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．

14. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC 的中点．

（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明：AE⊥平面PCD ；

（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．

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15. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点

E 在棱PB 上．

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB ；

（2）当PD=

AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．

16. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB ； （2）当PD=

AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．

17. 如图，

四棱锥

P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：PA⊥BD

（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D ﹣PBC 的高．

18. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=2AB=2，且BC 1⊥A 1C ．

（1）求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；

（2）设D 是线段BB 1的中点，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．

答案第4页，总13页

试卷答案

1. C

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD ，BA⊥底面PAD ，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD ，BA⊥底面PAD ，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1． PC=2∴S△PBC=

该几何体的表面积S=

+

=6+故选：C ．

．

+

+

+

，PB=

，BC=

．

=

．

【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可． 【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．

所以球的表面积为4π×1=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，

所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π． 故选C ． 3. C

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．

【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10，

显然面积的最大值，10． 故选C ．

，

2

4. D

2. C

【考点】由三视图求面积、体积．

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【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．

【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 6. B 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=

，

【分析】通过假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n 的出矛盾，由题意得m ∥l 且n ∥l ，

∴几何体的体积是=

，

这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，又因为点P 在平面内所以点P 且平行于l 的直线有一故选D ． 条且在平面内．

5. B 【解答】解：假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n

∴m ∥l 且n ∥l 【考点】直线与平面平行的判定．

由平行公理4得m ∥n

【分析】根据题意，依次分析选项：A ，根据线面垂直的判定定理判断．C ：根据线面平行的判这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾 定定理判断．D ：由线线的位置关系判断．B ：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案． 又因为点P 在平面内

【解答】解：A ，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确； 所以点P 且平行于l 的直线有一条且在平面内 C ：l ∥α，m ⊂α，则l ∥m 或两线异面，故不正确．

所以假设错误． D ：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．

故选B ． B ：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正7. C 确．

故选B

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项

【解答】解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；

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B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确； 故选C ． 8. B

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【解答】解：选项A 中，若m∥α，α⊥β，则m 与β平行或相交或m ⊂β，故A 错误； 选项B 中，若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥β，故B 正确； 选项C 中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m ⊂β，故B 错误； 选项D 中，若m∥α，m∥β，则α与β平行或相交，故D 错误． 故选：B ． 9.

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键． 10.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）根据平面几何知识求出AB ，取PB 中点N ，连接MN ，CN ．根据中位线定理和平行公理可得四边形MNCD 是平行四边形，得出DM∥CN，故而有DM∥平面PBC ；

（2）利用特殊角的性质得出PD ，计算棱锥的底面△BCD的面积，代入棱锥的体积公式计算．

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∵D是BC 的中点，∴AD⊥BC 又CC 1⊥AD，∴AD⊥平面BCC 1B 1； 又∵AD⊂平面AC 1D

∴平面AC 1D⊥平面BCC 1B 1；

（2）取A 1C 1的中点G ，连接EG 、B 1G ， ∵E、F 分别是AC 1、BB 1的中点， ∴EG平行且等于AA 1平行且等于B 1F ∴四边形EFB 1G 为平行四边形， ∴EF∥B1G

又B 1G ⊂平面A 1B 1C 1，∴EF∥平面A 1B 1C 1．

【分析】（1）根据三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为正三棱柱底面ABC 为正三角形，D 是BC 的中点，可得AD⊥BC，结合正三棱柱的几何特征，我们可得CC 1⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCC 1B 1；

再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

（2）取A 1C 1的中点G ，连接EG 、B 1G ，根据三角形中位线定理可得

EG 平行且等于AA 1平行且等于B 1F ，进而得到EF∥B1G ，再由线面平行的判定定理，即可得到答案． 【解答】证明：（1）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，

【解答】（1）证明：过

C 作

C E⊥AB与E ， 则

AE=CD=3，CE=AD=4， ∴BE=

，

∴AB=AE+BE=6．

取PB

中点N ，连接MN

，CN

． 则

MN 是△PAB的中位线， ∴MN∥AB，MN=

AB=3，

又CD∥AB，CD=3， ∴MN∥CD，MN=CD，

∴四边形MNCD 为平行四边形，

∴DM∥CN，又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ， ∴DM∥平面PBC ．

（2）解：∵PD⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PD⊥AD，∵∠PAD=60°， ∴PD=AD=4

．

又S △DBC==6，

∴VD ﹣PBC =VP ﹣DBC =

S △DBC•PD=11.

=8

．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

【分析】（1）由D 、E 为PC

、AC 的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF ；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC ，只需证DE⊥平面ABC ，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可． ，

【解答】证明：（1）∵D、E 为PC 、AC 的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，

∴PA∥平面DEF ；

（2）∵D、E 为PC 、AC 的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F 为AC 、AB 的中点，∴EF=BC=4；

∴DE2

+EF2

=DF2

， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC ；

∵DE⊂平面BDE ，∴平面BDE⊥平面ABC ．

【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．

12.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；

（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M ﹣ACB 体积之比为2：1，求出V M ﹣ACB ：V P ﹣ABCD 体积之比，从而得出两多

面体高之比，从而确定M 点位置．

（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．

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【解答】解：

（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA ⊥

AD ，CD ⊥AD ． 又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD∩面ABCD=AD，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ． 又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M ﹣ACB 的高为h 1，四棱锥P ﹣ABCD 的高为h 2 【分析】（1）由线面垂直得PA ⊥PB ，又AB ⊥AD ，从而AB ⊥平面PAD ，进而∠APB 是PB 与平面PAD 所成的角，由此能求出PB 和平面PAD 所成的角的大小．

（2）由线面垂直得CD ⊥PA ，由条件CD ⊥PC ，得CD ⊥面PAC ，由等腰三角形得AE ⊥PC ，由此能证明AE ⊥平面PCD ．

（3）过点E 作EM ⊥PD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD ，由此得∠AME 是二面角A ﹣当M 为线段PB 的中点时，

=

．

所以

=

所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M ﹣ACB =2：1．

（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．

证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ．

因为PD ⊂面PDB ，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即．

面AB ∥DC ，故

，故矛盾．

所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．

13.

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．PD ﹣C 的平面角，由此能求出二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．

【解答】（1）解：在四棱锥P ﹣ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，

∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PA∩AD=A，

∴AB ⊥平面PAD ，∴∠APB 是PB 与平面PAD 所成的角，

在Rt △PAB 中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°． （2）证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，

∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，

由条件AC ⊥CD ，PA ⊥底面ABCD ，利用三垂线定理得CD ⊥PC ，PA∩AC=A， ∴CD ⊥面PAC ，

又AE ⊂面PAC ，∴AE ⊥CD ，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA， ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，

又PC∩CD=C， 综上，AE ⊥平面PCD ．

（3）解：过点E 作EM ⊥PD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD ，

∴∠AME 是二面角A ﹣PD ﹣C 的平面角， 由已知得∠CAD=30°，

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设AC=a，得PA=a，AD=

，PD=

，AE=

，

∵PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM•PD=PA•AD，

∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD ，∴∠APB是PB 与平面PAD 所成的角，

∴AM=

=

，

在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB和平面PAD 所成的角的大小为45°．

在Rt △AEM 中，sin ∠AME=

．

（2

）证明：在四棱锥P ﹣

ABCD 中，

∵PA⊥底面ABCD ，CD ⊂

平面ABCD

，∴CD⊥PA，

∴二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值为

．

由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD ，利用三垂线定理得

CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC ，

又AE ⊂面

PAC ，∴AE⊥CD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，

∵E是PC 的中点，∴AE⊥PC， 又PC∩CD=C， 综上，AE⊥平面PCD ．

（3）解：过点E 作EM⊥PD，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM⊥PD，

14. ∴∠AME是二面角A ﹣PD ﹣C 的平面角，

由已知得∠CAD=30°， 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 设AC=a，得PA=a，AD=

，PD=

，AE=

【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD ，进而∠APB是PB 与平面在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，

PAD 所成的角，由此能求出PB 和平面PAD 所成的角的大小．

（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC ，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能∴AM==证明AE⊥平面PCD ．

（3）过点E 作EM⊥PD，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A ﹣在Rt△AEM中，sin∠AME=．

PD ﹣C 的平面角，由此能求出二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．

∴二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值为

．

【解答】（1）解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，

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，，

又∵PD⊥底面ABCD ， ∴OE⊥底面ABCD ，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，

，

∴∠AEO=45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°．

15.

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【专题】计算题；证明题．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 16.

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB ，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与

【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB ，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与平面PDB 垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB ；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE 与平面PDB 所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD ，

平面PDB 垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB ；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ，根据线面所成角的定义可知∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD ，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC⊥平面PDB ．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC⊥平面PDB ．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO为AE 与平面PDB 所的角， ∴O，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE∥PD，

，

∴∠AEO为AE 与平面PDB 所的角，

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∴O，E 分别为DB

、PB 的中点， 则PD⊥BC，由（I ）知，BD⊥AD，又BC∥AD， ∴OE∥PD，

，

∴BC⊥BD．

又∵PD⊥底面ABCD ， 故BC⊥平面PBD ，BC⊥DE， ∴OE⊥底面ABCD ，OE⊥AO， 则DE⊥平面PBC ． 由题设知PD=1，则BD=

，PB=2．

在Rt△AOE中，

，

根据DE•PB=PD•BD，得DE=

，

∴∠AEO=45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°．

即棱锥D ﹣PBC 的高为

．

【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同

学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 18.

17. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．

【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）证明A 1C⊥面ABC 1，即可证明：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； 【专题】计算题；证明题；综合题．

（2）证明AC⊥面ABB 1A 1，利用等体积转换，即可求三棱锥D ﹣ABC 1的体积． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

，利用勾股定理证明

【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC ﹣A 1B 1C 1中，有A 1A⊥面ABC ，而AB ⊂面ABC ， BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD ，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； ∴A1A⊥AB，

（II

）要求棱锥D ﹣PBC 的高．只需证BC⊥平面PBD ，然后得平面

PBC⊥平面PBD ，作DE⊥PB∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，

于E ，则DE⊥平面

PBC ，利用勾股定理可求得DE 的长．

又BC 1⊥A1C ，BC 1⊂面ABC 1，AC 1⊂面ABC 1，BC 1∩AC1=C1

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，

∴A1C⊥面ABC 1，

从而BD 2+AD2=AB2，故BD⊥AD 而A 1C ⊂面A 1ACC 1，则面ABC 1⊥面A 1ACC 1 …

又PD⊥底面ABCD ，可得BD⊥PD （2）解：由（1）知A 1A⊥AB，A 1C⊥面ABC 1，A 1C⊥AB，故AB⊥面A 1ACC 1， 所以BD⊥平面PAD ．故PA⊥BD．

∴AB⊥AC， （II ）解：作DE⊥PB于E ，已知PD⊥底面ABCD ，

则有AC⊥面ABB 1A 1，

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．

∴

…

∵D是线段BB 1的中点，

分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．

【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D ﹣ABC 1的体积，考查学生

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