不等式恒成立问题的解法研究
《中学数学研究》
课程考核论文
题 目: 不等式中恒成立问题的解法研究
姓 名: 张 珂 学 号: [1**********]2
班 级: 2011级数学与应用数学本科班 完成日期: 2014/06/15
任课教师: 杨芸碧
不等式中恒成立问题的解法研究
摘要:恒成立问题是高考试题中的重要题型,主要分布在解答题中,高考对恒成立问题的考察主要与函数、方程、不等式、三角、数列等高中数学重点内容相结合.在常见不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题,其运用的往往是导数、函数的单调性、基本不等式等工具,最后一般化归为求最值、值域等函数或数列的基本问题.在含参不等式恒成立问题中把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。下面就结合实例谈谈关于这两类问题的求解策略。
关键词:基本类型 常见不等式 含参不等式 参数取值范围
一、恒成立问题的基本类型: 类型1:设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
(1)f (x ) >0在x ∈R 上恒成立⇔a >0且∆
类型2:设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) (1)当a >0时,
b ⎧b ⎧⎧b
β⎪-
, f (x ) >0在x ∈[α, β]上恒成立⇔⎨2a 或⎨或⎨2a 2a
⎪⎪⎩f (α) >0⎪⎩∆0⎧f (α)
f (x )
⎩f (β)
⎧f (α) >0
(2)当a 0在x ∈[α, β]上恒成立⇔⎨
f (β) >0⎩b ⎧b ⎧⎧b
-β⎪⎪⎪-
f (x )
⎪⎪⎩f (α) >0⎪⎩∆
f (x ) >α对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) min >αf (x ) α。
类型4:
f (x ) >g (x ) 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) 的图象在g (x ) 的图象的上方或f (x ) min >g (x ) max
(x ∈I )
二、常见不等式恒成立问题解法
1、用一次函数的性质
对于一次函数f (x ) =kx +b , x ∈[m , n ]有:
⎧f (m ) >0⎧f (m )
f (x ) >0恒成立⇔⎨, f (x )
f (n ) >0f (n )
例1:若不等式2x -1>m (x 2-1) 对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立,求x 的范围。 解析:我们可以用变换主元的方法,将m 看作主变元,即将原不等式化为:
;令f (m ) =m (x 2-1) -(2x -1) ,则-2≤m ≤2时,f (m )
2
⎧f (-2)
恒成立,所以只需⎨即⎨2
⎪⎩f (2)
-1+71+所以x 的范围是x ∈(, ) 。
22
2、利用一元二次函数判别式
对于一元二次函数f (x ) =ax 2+bx +c >0(a ≠0, x ∈R ) 有: (1)f (x ) >0在x ∈R 上恒成立⇔a >0且∆
例2:若不等式(m -1) x 2+(m -1) x +2>0的解集是R ,求m 的范围。
解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m ,所以要讨论m-1是否是0。
(1)当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意;
⎧m -1>0
(2)m -1≠0时,只需⎨,所以,m ∈[1, 9) 。 2
⎩∆=(m -1) -8(m -1)
3、利用函数的最值(或值域)
(1)f (x ) ≥m 对任意x 都成立⇔f (x ) min ≥m ;
(2)f (x ) ≤m 对任意x 都成立⇔m ≥f (x ) max 。简单记作:“大的大于最大的,小的小于最小的”。由此看出,本类问题实质上是求函数的最值问题。
πB
例3:在∆ABC 中,已知f (B ) =4sin B sin 2(+) +cos 2B , 且|f (B ) -m |
42
立,求实数m 的范围。 解析:由
πB
f (B ) =4sin B sin 2(+) +cos 2B =2sin B +1, 0
42
f (B ) ∈(1, 3],又 |f (B ) -m |f (B ) -2即⎨恒成立, ∴m ∈(1, 3] ⎩m
例4:(1)求使不等式a >sin x -cos x , x ∈[0, π]恒成立的实数a 的范围。
ππ3π
解析:由于函a >sin x -cos x =2sin(x -), x -π∈[-, ],
444
显然函数有最大值2,∴a >2。
如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题:
(2)求使不等式a >sin x -cos x , x -
∈(0, ) 恒成立的实数a 的范围。 42
解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化,这样使得y =sin x -cos x 的最大值取不到2,即a 取2也满足条件,所
ππ
以a ≥2。
注意:我们解这类题时,要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。 4:数形结合法
对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。
例5:已知a >0, a ≠1, f (x ) =x 2-a x , 当x ∈(-1, 1) 时, 有f (x )
的取值范围。
解析:由f (x ) =x 2-a x 数的图象,如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交,则由
111
12-=a 及(-1) 2-=a -1得到a 分别等于2和0.5,并作出函数y =2x 及y =() x
222
1
的图象,所以,要想使函数x 2-
2
1
区间x ∈(-1, 1) 对应的图象在y =x 2-在区间x ∈(-1, 1) 对应图象的上面即可。当
2
1
才可以,所以a >1时, 只有a ≤2才能保证,而0
1
a ∈[, 1) (1, 2]。
2
由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。
三、含参不等式恒成立问题的求解
1、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0, x ∈R ) , 有
⎧a >0
1)f (x ) >0对x ∈R 恒成立⇔⎨;
⎩∆
2)f (x )
∆
解:由题设可将问题转化为不等式x 2+(a -1) x +a 2>0对x ∈R 恒成立,即有
1
∆=(a -1) 2-4a 2。
3
1
所以实数a 的取值范围为(-∞, -1) (, +∞) 。
3
若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例2.设f (x ) =x 2-2mx +2,当x ∈[-1, +∞) 时,f (x ) ≥m 恒成立,求实数m 的取值
范围。
解:设F (x ) =x 2-2mx +2-m ,则当x ∈[-1, +∞) 时,F (x ) ≥0恒成立 当∆=4(m -1)(m +2) 0显然成立;
当∆≥0时,如图,F (x ) ≥0恒成立的充要条件为:
⎧
⎪∆≥0⎪
⎨F (-1) ≥0解得-3≤m ≤-2。 ⎪-2m ⎪-≤-12⎩
综上可得实数m 的取值范围为[-3, 1) 。 2、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:
1)f (x ) >a 恒成立⇔a
例3.已知f (x ) =7x 2-28x -a , g (x ) =2x 3+4x 2-40x ,当x ∈[-3, 3]时,f (x ) ≤g (x ) 恒成立,求实数a 的取值范围。 解:设F (x ) =f (x ) -g (x ) =-2x 3+3x 2+12x -c , 则由题可知F (x ) ≤0对任意x ∈[-3, 3]恒成立 令F ' (x ) =-6x 2+6x +12=0,得x =-1或
x =2
而F (-1) =-7a , F (2) =20-a , F (-3) =45-a , F (3) =9-a , ∴F (x ) max =45-a ≤0
∴a ≥45即实数a 的取值范围为[45, +∞) 。
x 2+2x +a
, x ∈[1, +∞) ,若对任意x ∈[1, +∞) ,f (x ) >0恒成立,求例4.函数f (x ) =
x
实数a 的取值范围。
解:若对任意x ∈[1, +∞) ,f (x ) >0恒成立,
x 2+2x +a
>0恒成立, 即对x ∈[1, +∞) ,f (x ) =
x
考虑到不等式的分母x ∈[1, +∞) ,只需x 2+2x +a >0在x ∈[1, +∞) 时恒成立
而抛物线g (x ) =x 2+2x +a 在x ∈[1, +∞) 的最小值g min (x ) =g (1) =3+a >0得a >-3
a
注:本题还可将f (x ) 变形为f (x ) =x ++2,讨论其单调性从而求出f (x ) 最小值。
x
3、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:
1)f (x ) f (x ) max
2)f (x ) >g (a )(a 为参数)恒成立⇔g (a )
实际上,上题就可利用此法解决。
即:x 2+2x +a >0在x ∈[1, +∞) 时恒成立,只要a >-x 2-2x 在x ∈[1, +∞) 时恒成立。而易求得二次函数h (x ) =-x 2-2x 在[1, +∞) 上的最大值为-3,所以a >-3。 例5.已知函数f (x ) =ax -4x -x 2, x ∈(0, 4]时f (x )
解: 将问题转化为a
4x -x 2
对x ∈(0, 4]恒成立。 x
4x -x 2
令g (x ) =,则a
x
4x -x 24
由g (x ) ==-1可知g (x ) 在(0, 4]上为减函数,故
x x
g (x ) min =g (4) =0
∴a
注:分离参数后,思路清晰,方向明确,从而能使问题得到顺利解决。 4、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。
例6.对任意a ∈[-1, 1],不等式x 2+(a -4) x +4-2a >0恒成立,求x 的取值范围。
分析:题中的不等式是关于x 的一元二次不等式,但若把a 看成主元,则问题可转化为一次不等式(x -2) a +x 2-4x +4>0在a ∈[-1, 1]上恒成立的问题。
解:令f (a ) =(x -2) a +x 2-4x +4,则原问题转化为f (a ) >0恒成立(a ∈[-1, 1])。
当x =2时,可得f (a ) =0,不合题意。
⎧f (1) >0
x ≠2当时,应有⎨解之得x 3。
⎩f (-1) >0
故x 的取值范围为(-∞, 1) (3, +∞) 。
注:一般地,一次函数f (x ) =kx +b (k ≠0) 在[α, β]上恒有f (x ) >0的充要⎧f (α) >0
条件为⎨。
f (β) >0⎩
5、数形结合法
数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样有着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系:
1)f (x ) >g (x ) ⇔函数f (x ) 图象恒在函数g (x ) 图象上方; 2)f (x )
4
例7.设f (x ) =-x 2-4x , g (x ) =x +1-a , 若恒有f (x ) ≤g (x ) 成立, 求实
3
数a 的取值范围. 分析:在同一直角坐标系中作出f (x ) 及g
(x ) 如图所示,f (x ) 的图象是半圆(x +2) 2+y 2=
g (x ) 的图象是平行的直线系4x -3y +3-3a =要使f (x ) ≤g (x ) 恒成立,
则圆心(-2, 0) 到直线4x -3y +3-3a =0-8+3-3a
≥2 满足 d =
55
解得a ≤-5或a ≥(舍去)
3
核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
四、含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法
恒成立问题大多出现在不等式中,以已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种求参数取值范围的常用的处理方法: 一、 分离参数法
在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若a ≥f (x )恒成立,只须求出f (x )max ,则a ≥f (x )max ;若a ≤f (x )恒成立,只须求出f (x )min ,则
a ≤f (x )mi n ,转化为函数求最值。
a ⎛⎫
例1、已知函数f (x )=lg x +-2⎪,若对任意x ∈[2, +∞)恒有f (x )>0,试确定a
x ⎝⎭
的取值范围。
a
解:根据题意得:x +-2>1在x ∈[2, +∞)上恒成立,
x
即:a >-x 2+3x 在x ∈[2, +∞)上恒成立,
3⎫9⎛
设f (x )=-x +3x ,则f (x )=- x -⎪+
2⎭4⎝
当x =2时,f (x )max =2 所以a >2
2
2
在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若f (a )≥g (x )恒成立,只须求出g (x )max ,则
f (a )≥g (x )m a x ,然后解不等式求出参数a 的取值范围;若f (a )≤g (x )恒成立,只须求出g (x )min ,则f (a )≤g (x )min ,然后解不等式求出参数a 的取值范围,问题还是转化为函数求最值。
例2、已知x ∈(-∞,1]时,不等式1+2x +(a -a 2)⋅4x >0恒成立,求a 的取值范围。 解:令2x =t ,
x ∈(-∞,1] ∴t ∈(0, 2] 所以原不等式可化为:a 2-a
t +1
, t 2
要使上式在t ∈(0,2]上恒成立,只须求出f (t )=
2
2
t +1
在t ∈(0,2]上的最小值即可。 2t
1⎡1t +1⎛1⎫1⎛11⎫1⎫∈⎢, +∞⎪ f (t )=2= ⎪+= +⎪-
t ⎣2t ⎭⎝t ⎭t ⎝t 2⎭4
3313
∴f (t )min =f (2)= ∴a 2-a 4422
二、 分类讨论
在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若x ∈[-2,2]时,不等式x 2+ax +3≥a 恒成立,求a 的取值范围。
解:设f (x )=x 2+ax +3-a ,则问题转化为当x ∈[-2,2]时,f (x )的最小值非负。 (1) 当-
a 7
4时,f (x )min =f (-2)=7-3a ≥0 ∴a ≤又a >4所以a 23不存在;
a a 2⎛a ⎫
(2) 当-2≤≤2即:-4≤a ≤4时,f (x )min =f -⎪=3-a -≥0 ∴-6≤a ≤2
24⎝2⎭
又-4≤a ≤4 ∴-4≤a ≤2 a
(3) 当->2 即:a
2
a
在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 看成是主元(未知数),而把另一个变量a 看成参数,但在有些问题中这样的解题过程比较繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。 例4、若不等式2x -1>m (x 2-1)对满足m ≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围。 解:设f (m )=m (x 2-1)-(2x -1),对满足m ≤2的m ,f (m )
2
⎧⎧⎪f (-2)
∴⎨∴⎨
在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即:[m , n ]⊂⎡⎣f (a ), g (a )⎤⎦,则f (a )≤m 且g (a )≥n ,不等式的
解即为实数a 的取值范围。
⎛1⎫
例5、当x ∈ ,3⎪时,log a x
⎝3⎭
解:-1
⎧a ≥3
1⎪⎛1⎫⎛1⎫
(1) 当a >1时,a ≤⎝3⎭⎝a ⎭⎪⎩a 3
1⎧a ≤
11⎪⎛1⎫⎛1⎫⎪3
∴0
a 3⎝3⎭⎝a ⎭⎪1≥3
⎪⎩a
综上所得:0
1
或a ≥3 3
五、 数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的不等式。
⎛1⎫
例6、若不等式3x 2-log a x
⎝3⎭⎛1⎫
解:由题意知:3x 2
⎝3⎭
在同一坐标系内,分别作出函数y =3x 2和y =log a x
⎛1⎫
观察两函数图象,当x ∈ 0, ⎪时,
⎝3⎭
若a >1函数y =log a x 的图象显然在函数y =3x 2图象的下方,所以不成立;
⎛11⎫
当0
⎝33⎭
1111log a ≥ ∴a ≥ ∴1>a ≥
332727
1
综上得:1>a ≥
27
上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法,在解题过程中,要灵活运用题设条件综合分析,选择适当方法准确而快速地解题。