高数(下册)作业答案

第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§9.1微分方程基本概念

*1． 微分方程2(y '') 3-9y 'y '''=5xy 7的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程y ''+4y =0的通解的函数是 （ ） （A ）y =3C cos 2x +(12-29C ) sin 2x ； （B ）y =C cos 2x (1+λsin 2x ) ； （C ）y =kC cos 2x ++k 2C 2sin 2x ； （D ）y =C cos(2x +α) ． 答案 （D ）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；

（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令C =kC 时，函数就变成了

y =C cos 2x ++C sin 2x ，实质上只有一个任意常数；

（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

x -x

*3．在曲线族 y =c 1e +c 2e 中，求出与直线y =x 相切于坐标原点的曲线．

2

解 根据题意条件可归结出条件y (0) =0, y '(0) =1， 由y =c 1e +c 2e ， y '=c 1e -c 2e 故c 1=

x

-x

x

-x

，可得c 1+c 2=0, c 1-c 2=1，

111

, c 2=-，这样就得到所求曲线为y =(e x -e -x ) ，即y =sinh x ． 222

⎧d 2y d y

1

⎪-x 23⎪d x 2+d x +y =02

e sin x 是初值问题⎨*4．证明：函数y =的解．

d y 32⎪y x =0=0, x =0=1⎪d x ⎩

-x -2x 3e s i x +e 2c o x ， 证明 y '=-322

1

1

-x 3-2x 3

y ''=-e sin x -e 2cos x ，

322

11

代入方程得

y ''+y '+y =0， 此外

1

y (0) =0，y '(0) =1，

-x 2故y =3e 2sin x 是初始值问题的解．

32

*5．验证y =e 证明 y '=e

x

x

⎰

x

x

e d t +Ce （其中C 为任意常数）是方程y '-y =e x +x 的通解．

2

2

t 2

x

2

⎰

e t d t +e x ⋅e x +Ce x

x

=y +e x +x ， 即 y '-y =e x +x ，说明函数确实

22

给定方程的解．

另一方面函数y =e

x

⎰

e t d t +Ce x 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．

2

**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）y =Cx +1；

解 将等式y =+1改写为y 3=Cx +1，再在其两边同时对x 求导，得3y 2y '=C ，代入上式，即可得到所求之微分方程为3xy 2y '=y 3-1． （2）y =C 1x +

C 2

． x

解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得

y '=C 1-

C 22C 2

''y =，． 23

x x

从以上三个式子中消去任意常数C 1和C 2，即可得到所求之微分方程为

x 2y ''+x y '-y =0．

**7．建立共焦抛物线族y =4C (x +C ) （其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程y =4C (x +C ) 两边对x 求导有2y y '=4C ，从这两式中消去常数所求方程为y =y '(2x +y y ') ．

2

2

**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线y =y (x ) 上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取y =y (x ) 上的点 (x , y ) ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=所以过点(x , y ) 的法线斜率为

dy ． dx

-1-1， 法线方程为Y -y =(X -x ) ， y 'y '

-1

(0-x ) 从而可得所求微分方程为x +y y '=0． y '

因为法线过原点，所以0-y =

第9章（之2）（总第45次）

教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）y '=

x (1-y )

；

1+x 2

解： 分离变量

d y x d x d y x d x

==，两边积分⎰1-y ⎰1+x 2， 1-y 1+x 2

1C ln(1+x 2) -ln C ，即y =1-．

22+x

得-ln(1-y ) =

（2）y '=

x 2x -y 2

e ； 2y

2

解：分离变量2ye y d y =xe 2x d x ，两边积分就得到了通解

2111

e y =(xe 2x -e 2x d x ) =(xe 2x -e 2x ) +c ．

222

⎰

（3）(2x +1) e y y '+2e y -4=0．

e y d y d x

=-解： ， y

2x +12e -4

y

111

ln(e y -2) =-ln(2x +1) +ln C ， 222

即 (e -2)(2x +1) =C ．

**2．试用两种不同的解法求微分方程y '=1-x -y +xy 的通解．

解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，y '=(1-x )(1-y ) ，

d y

=(1-x ) d x ，并积分 1-y

1

⎰

d y

=(1-x ) d x 1-y ⎰

x 2-x 12

2得-ln(1-y ) =x -x +c ，所求通解为 y =1+ce ．

2

解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为y '+(1-x ) y =1-x ，这是一个一阶线性非齐次方程．

对应的齐次方程为y '+(1-x ) y =0，其通解为○1y =C e 代入原非齐次方程得C e 方程的通解

1

12

x -x 2

．

'

12x -x 2

2C =e =1-x ，解得○

x 2-x

1

x -x 2

2

2代入○1即可得原+C ，○

y =1+Ce

*3．求解下列初值问题：

2

．

1

（1）y '=，y () =-e 6．

2-x 2

解： y '=

y

π

y 1-x

2

，∴

d y d x

(y ≠0) ， =

2y -x

⎰

d y

=⎰y

d x -x

2

，

∴ln y =arcsin x +C ， ∴ y =Ce arcsin x ，

arcsin 1ππ2

，∴C =-1， ∴ y =-e arcsin x ． y () =-e ，∴-e =Ce

2

661

（2）y '+2xy =e -x ，y (0) =1；

解: y '+2xy =e -x ， ∴p (x ) =2x ，q (x ) =e -x ，

-2x d x

2

2

2

∴y (x ) =e

⎰

⎡e -x 2e ⎰2x d x dx +C ⎤=e -x 2⎡e -x 2e ⎰2x d x dx +C ⎤=xe -x 2+Ce -x 2， ⎢⎥⎢⎥⎣⎰⎦⎣⎰⎦

y (0) =1， ∴1=0+c ⇒c =1， ∴y =(x +1) e -x ．

2

（3）y '+y cot x =e cos x ，y () =1；

π

2

解： y '+y cot x =e cos x ， ∴P (x ) =c o x t ，Q (x ) =e cos x ．

-c o x t d x ⎡c o x t d x

C +e c o x s e ⎰d x ⎤ =e -ln sin x (C +e cos x e ln sin x d x ) ∴ y =e ⎰

⎢⎣

⎰

⎥⎦

⎰

cos x

sin x d x ) =(C -e cos x ) csc x ， =csc x (C +e

⎰

由y () =1， 可确定 C =2，所以

π

2

y =(2-e cos x ) csc x ．

（4）x 2d y +(2xy -x +1) d x =0，y 解： 方程变形为 y '+

22

11⎰x dx ⎤⎰x dx ⎡

y =e dx ⎥ ⎢c +(-2) e

x x ⎣⎦

-

x =1

=0．

211

y =-2，是一阶线性非齐次方程，其通解为 x x x

⎰

=

1

x 2

c 11112⎤1⎡12⎡⎤=+- c +(-) x dx =c +x -x 222⎢⎢⎥⎥2x x x 2⎣⎦x ⎣⎦x

⎰

由 y (1) =0， 得 c =

1111+-． ， 所以特解为：y =2

22x 2x

**4．求微分方程 y ln y d x +(x -ln y ) d y =0 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为

dx 11

+x =，这是一阶线性方程，将其中dy y ln y y

P (y ) =

11

, Q (y ) =代入一阶线性方程求解公式，得通解 y ln y y

-

11

⎡⎤⎰y ln y dy ⎡1⎰y ln y dy ⎤1

dy ⎥ =e -ln(lny ) ⎢c +⎰e ln(lny ) dy ⎥ x =e ⎢c +⎰e

y y ⎣⎦⎢⎥⎣⎦

=

1⎡ln y ⎤c 1

c +dy =+⎥ln y 2ln y ． ⎰ln y ⎢y ⎣⎦

**5．求满足关系式

⎰

x 2

uy (u ) d u =x 2+y (x ) 的可导函数y (x ) ．

d y

，d x

解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy (x ) =2x +

x

d y d y

-xy =-2x ，分离变量得即 =x d x ，积分得y =Ce 2+2， d x y -2

2

在原方程两边以x =以原方程的解为 y =-4e

2代入，可得初试条件y

x 2

-12

x =2

=-2．据此可得C =-4e -1，所

+2．

**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有m 分得

d v

=mg -kv ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积d t

1t

ln(mg -kv ) =+C ． k m

-

k

-t ⎫mg ⎛1m

由初始条件v (0) =0， 得C =-ln(mg ) ，即得 v = 1-e ⎪．

k ⎝k ⎭

**7．求一曲线，已知曲线过点(0, 1) ，且其上任一点(x , y ) 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(x , y ) 处的法线斜率为-

11

，所以法线方程为Y -y =-(X -x ) ．

y 'y '

只要令Y =0，就可以得到法线在x 轴上的截距为 X =x +y y ' ．

据题意可得微分方程x +yy '=kx ，即y y '=(k -1) x ．这是一个可分离变量方程，分

22

离变量并积分得所求曲线y +(1-k ) x =C ，由于曲线过点(0, 1) ，所以C =1，所以所求

曲线方程为

y 2+(1-k ) x 2=1．

***8．求与抛物线族y =Cx （C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．

2

解：在给定曲线y =cx 上任意一点(x , y ) 处切线斜率为k 0=y '=2cx ，从上面两式中消

2

去c 得k 0=y '=

2y 2y ，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程y '=． x x

设所求曲线方程为 y =y (x ) ，在同一点(x , y ) 处切线斜率为k =y '，则根据正交要

求有k 0k =-1，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y '=-

x ． 2y

2

这是一个可分离变量方程，分离变量2ydy =-xdx ，积分得所求曲线族y =-即椭圆族y +

2

12

x +c ，2

12

x =c ． 2

-y

***9．作适当变换，求微分方程 y '=4e 解 原方程可化为e y '+

y

-

2

的通解． 2x +1

22z

e y =4，在换元z =e y 下方程可化为z '+=4，这2x +12x +1

是一个一阶线性方程，其通解为

z =e

-⎰

2d x

2x +1

2d x

⎧⎫⎰12x +1

{C +4x +4x 2}． d x ⎬=⎨C +⎰4e

⎩⎭2x +1

⎛y 2⎫d y y 1

=+tan ⎪的通解． ***10．作适当变换，求微分方程

d x 2x 2y ⎝x ⎭

d u d x y 2

=解：令y =ux ，代入方程整理得 ，积分得 sin u =Cx ，以 u = 代入tan u x x

2

上式，即得原方程的通解：

y 2sin =Cx ．

x

第9章 （之3） （总第46次）

教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．

**1．求下列微分方程的通解：

d y y

=(1+ln y -ln x ) ； d x x

d y y dy y y =(1+ln y -ln x ) ， ∴ 解： =(1+ln ) ，这是一个一阶齐次型方程． d x x dx x x

(1)

令 u =

y

，则 y =ux ，即y '=u +x u '，于是原方程可化为x u '=u ln u ．这是一个x

du dx du dx

==⎰，得ln ln u =ln x +ln c ，即u =e cx ． ，并积分⎰u ln u x u ln u x

可分离变量方程．

分离变量以 u =

y cx

代入，得所求的通解为y =xe ． x

（2）(xy '-y ) arctan 解：方程可化为y '=

y

=x ． x

y +x

1y arctan

x

，这是一个一阶齐次型方程．

令 u =

y d u 1

=，则 y =ux ，即y '=u +x u '，于是原方程可化为x ，这是一个d x arctan u x

可分离变量方程．

分离变量后积分得 x +u 2=Ce u arctan u ．

arctan y x ． 以 u =代入上式得原方程的通解：x 2+y 2=Ce x

x

y

y

**2．求解下列初值问题：

（1）xy d x -(2x 2+y 2) d y =0 满足初始条件 y (2) =1 的特解． 解: xy d x -(2x 2+y 2) d y =0，

dx 2x y x

+， 令 u = ， =

dy y x y

则 u +y

du du du 1dy dy

=2u +， =， ∴⎰=⎰，

1y 1dy u y u +u +u u

1

∴ln(u 2+1) =ln y +ln c ， ∴u 2+1=cy ， 即 u 2+1=c 2y 2 ， 2

x 22

代回即得2+1=c 2y 2， y (2) =1， ∴c =5， 因此 x 2+y 2=5y 4．

y

（2）⎨

⎧(x +y ) d x +(x -y ) d y =0, ⎩y x =0=0.

1+

y

d y x +y x ，令 u =y ，y '=u +x u '， ==解：原方程可表为

d x y -x y x -1

x

d u 1+2u -u 21+u

代入方程，有 u +x u '=，即 x ， =

d x u -1u -1

分离变量

u -111

d u =d x ，积分得 -ln(1+2u -u 2) =ln x -ln 2

x 1+2u -u 2

⇒通解 x 2+2xy -y 2=C ，令 x =0, y =0，得 C =0．

所以初值问题的解为 x 2+2xy -y 2=0．

***3．试证明：当a 1b 2≠a 2b 1时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程

y '=f (

a 1x +b 1y +c 1

)

a 2x +b 2y +c 2

a t +b 1s d s

=f (1) ． d t a 2t +b 2s

在变换s =y -k ，t =x -h 之下，可化为一阶齐次型方程

并求方程 (x +2y +1) d x +(2x +3y ) d y =0 的解．

⎧a 1x +b 1y +c 1=a 1t +b 1s

证明：令⎨ a 1b 2≠a 2b 1，

a x +b y +c =a t +b s 2222⎩2a 2c 1-a 1c 2⎧⎧

s =y -k =⎪⎪a 1b 2-a 2b 1⎪⎪

∴可解得：⎨ 因此可取：⎨

⎪t =x -b 1c 2-b 2c 1⎪h =⎪⎪a 1b 2-a 2b 1⎩⎩

a 2c 1-a 1c 2

a 1b 2-a 2b 1b 1c 2-b 2c 1a 1b 2-a 2b 1

⎧s =y +2⎧d s =d y

解： (x +2y +1) dx +(2x +3y ) dy =0，令⎨ ⇒ ⎨

t =x -3d t =d x ⎩⎩

∴[t +3+2(s -2) +1]dt +[2(t +3) +3(s -2) ]ds =0，(t +2s )dt +(2t +3s ) ds =0，

⇒1+

2s 3s ds

+(2+) =0t t dt

2s

ds ， ⇒=-

3s dt 2+t

1+

s ds du ⇒=u +t ， t dt dt du 1+2u du (3u +1)(u +1)

∴u +t =-⇒t =-，

dt 2+3u dt 3u +2

令u =

⇒

⎡1⎤(3u +2) dt 3dt

， du =-, ∴⎰⎢+du =-⎥⎰(3u +1)(u +1) t 2(u +1) 2(3u +1) t ⎣⎦

1

即 ln(u +1)(3u +1) =-ln t +ln c ，

2

∴(u +1)(3u +1) ⋅t =c ⇒

s 3s

t (+1+1) =c ，

t t

∴

(x -3) (1+

y +23y +6

)(1+) =c ⇒3y 2+x 2+4xy +2x = c ． x -3x -3

**4．求下列微分方程的通解

（1）x y '-y +y 2ln x =0；

解： xy ' -y +y 2ln x =0 ∴y 令t =y

11

ln x ⎰x d x ⎤1⎡ln x ⎤⎰x d x ⎡

∴t (x ) =e C +e d x =C +⋅xdx ⎢⎥⎰x ⎰⎢⎥ x x ⎣⎦⎣⎦

-

-1

1-1ln x

y =- x x

dt 1ln x 1ln x ⇒+t =, ， ∴P (x ) =, Q(x ) =dx x x x x

-2

y ' -

=C x -1+x -x (x ln x -x ) =C x -1+ln x -1， y -1=ln x -1+Cx -1．

（2）(y -2xy ) d x +x d y =0．

-d y 12122

解： (y -2xy ) d x +x d y =0， +y =， y ， y 2y '+y 2=

d x x x x x

1

2

111

u =y ，

d u 1111

u =+， ∴P (x ) =，Q (x ) ．

d x 2x 2x x x

11111

-⎡⎤-1⎰2x d x ⎤1⎰2x d x ⎡

e d x ⎥=x 2⎢C +⎰x 2d x ⎥=x 2[C +x ]， ∴u (x ) =e ⎢C +⎰x x ⎣⎦⎣⎦

-

∴ y

1

2

=x

-

12

[C +x ]， ∴

y =x +

C x

．

y 3

（3）y '=

2(xy 2-x 2)

⎛u ⎫ ⎪u ⎝⎭d u x 2

解一：令u =y ，原方程化为： ，解此方程得 u =Ce x ， =

d x ⎛u ⎫

⎪-1⎝x ⎭

以u =y 代入上式，原方程通解为 y 2=Ce

2

2

y 2x

．

解二：原方程写成

d x 22

-x =-3x 2， d y y y

d z 22

+z =3， d y y y

令x

-1

=z ，则方程化为：

-⎰2

d y y

则通解 z =e

2

⎡⎤12⎰y d y

d y ⎥=2[C +2ln y ] ， ⎢C +⎰3y ⎢⎥⎣⎦y

故原方程通解：

11

=2[C +2ln y ]． x y

2x

，y (0) =1． y

**5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y '=y -

解： y ' =y -2xy -1, ∴yy' -y 2=-2x ，

令 t =y ⇒

2

dt

-2t =-4x ， ∴P (x ) =-2, Q (x ) =-4x ， dx

∴t (x ) =e ⎰

⎡C +(-4x ) e -⎰2d x d x ⎤ =e 2x C -4xe -2x d x

⎰⎰⎢⎥⎣⎦

=e 2x [C +2xe -2x +e -2x )] =Ce 2x +2x +1

2d x

[]

∴y 2=2x +1+Ce 2x

y (0) =1，∴1=2⨯0+1+Ce 0∴y 2=2x +1

****6．作适当的变换求方程

2

⇒C =0

+x 2sin 2y ⋅y '=2x sin 2y +e 2

1+x 2

1+x 2

的通解．

解：原方程化为：

d sin 2y

1+x =2x sin 2y +e 2

d x

，

令z =sin y ，得

2

d z 2x -z =e 2d x +x 2

1+x 2

+x 2 ，

故 z =e

⎰

2x +x 2

d x ⎧

⎪⎨C +⎪⎩

⎰

e

2+x 2

+x

2

e

-⎰

2x +x 2

d x

⎫

⎪d x ⎬ ⎪⎭

=Ce 2

+x 2

+e 2

+x 2

ln(x ++x 2)

1+x 2

原方程的通解为 sin 2y =Ce 2+e 2

+x 2

ln(x ++x 2) ．

***7．已知2

⎰

x

y (ξ) +y '2(ξ) d ξ=2x +y 2(x ) ，求y (x ) ．

解：两边关于x 求导得 2yy '-y 2=-1，

解得 由y

y 2=Ce x +1，

x =0

=0，求得 C =-1，

故原方程的解为：y 2=1-e x ．

, ) ，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线***8．曲线过点(11

在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：

x 2+y 2=2x (x +yy '), y (1) =1, 2yy '-

12

y =-x x

令y 2=z ，解得 z =y 2=x (C -x )

由y (1) =1， 得 C =2， 曲线方程为： x 2+y 2=2x ．

***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 v =αA 2gh ，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 α=0. 62．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为d =1cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？

解：设在时刻t 时， 容器中液面高度h (t ) ，则经过∆t 后液面高度为h (t +∆t ) ， 于是有

πr 2(h (t ) -h (t +∆t )) =αA 2gh (t ) ∆t ，

即 -

h (t +∆t ) -h (t ) αA 2gh

=， 2

∆t πr

令∆t →0， 得

⎧d h αA

=2gh ⎪-2

⎨d t πr

⎪h (0) =200⎩

解得

h =

αA

2g t +200， 2

2πr

π

4

， α=0. 62， 得t =10304（秒）．

代入h =0， g =980， r =50， A =

第9章 （之4）（总第47次）

教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程

**1．解下列问题：

（1）．微分方程y '+y ''=xy ''满足条件y '(2) =1, y (2) =1的解是 （ ） （A ）y =(x -1) 2

（B ）y =(x +1) 2-

21

24

（C ）

y =

12(x -1) 2+1

2

（D ）y =(x -125

2) -4

解：（C ）

（2）．微分方程y ''-2yy '3=0满足条件y '(0) =-1, y (0) =1的解是 （A ）y 33=x +1

（B ）x 3

3

3=y -1 （C ）y 33=-x +13

（D ）x 3

3

=-y +1 解：（C ）

**2．求下列微分方程的通解． （1）x y ''+y '=0；

解： x y ''+y '=0 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 p =y ' ⇒ y ''=

d p d x ∴x p '+p =0， ⇒d p d x p

=-x ， ⇒

⎰d p C 1p =-⎰d x

x ⇒ ln p =-ln x +ln C 1 ⇒p =x

， ∴

d y d x =C 1

x ， d y =C 1x d x ， ⎰d y =⎰C 1x

d x ，y =C 1ln x +C 2．（2）(1+x 2

) y ''+2xy '=1； 解：y ''+

2x 11

1+x 2y '=1+x 2，

y '=1+x 2(x +C 1) ， y =1

2

ln(1+x 2) +C 1arctan x +C 2 ．

）

（

（3）y y ''+(y ')=0；

2

解：∵y y ''+(y ')=0， 令 p =y '， 则 y ''=p

2

d p

，代入方程有 d y

y ⋅p ⋅

d p

+p 2=0， ⇒d y

p (y ⋅

d p

+p ) =0， d y

因为求通解，所以 p 满足 y ⋅

d p

+p =0． d y

由

d p -d y =p y

⇒

'C 1d p d y

=-， ， ⇒ln p =-ln y +ln C ⇒p =1⎰p ⎰y y 'd x ⇒y d y =C 1

2

' y d y =C d x ⇒y =C 1x +C 2． 1⎰⎰

⇒

'd y C 1

=d x y

⇒

∴ 通解：y 2=C 1x +C 2． （4）(1+y 2) y ''=2yy '2

解：令：y '=p (y ), y ''=pp '，得

即

(1+y 2) p ⋅p '=2p 2y ， p =C 1(1+y 2) ，

d p 2y

=d y ， 得 p 1+y 2

所以

d y

=C 1d x ，通解为：arctan y =C 1x +C 2． 2

1+y

第9章 （之5）（总第48次）

教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构

**1．若y 1, y 2是方程y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =R (x ) 的两个解，试证y 2-y 1 必是其对应齐次方程y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0的解．

证明：因为y 1, y 2是方程y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =R (x ) 的解． 所以成立下式：

''+P (x ) y 1'+Q (x ) y 1=R (x ) y 1

''+P (x ) y 2'+Q (x ) y 2=R (x ) y 2

(1) (2)

将 (1)、(2) 两式相减，得

''-y 2'') +P (x )(y 1'-y 2') +Q (x )(y 1-y 2) =0(y 1

(3 式可写为

(3)

(y 1-y 2) ''+P (x )(y 1-y 2) '+Q (x )(y 1-y 2) =0，

所以 y 1-y 2 是齐次方程 y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0 的解．

***2．已知y 1=1, y 2=1+x , y 3=1+x 2是方程y ''-否求出该方程得通解？若能则求出通解来．

解：按（1）证明可知 y 2-y 1=x ,

222

y '+2y =2的三个特解，问能x x x

y 3-y 1=x 2 分别是其对应齐次方程

y ''-

22

y '+2y =0的解，并且线性无关，所以C 1x +C 2x 2 为齐次方程的通解． x x

所以原方程的通解可以表示为：y =C 1x +C 2x 2+1．

*3．验证：e t , e -t 是微分方程x ''-解．

证明：因为

22

1

x '-4t 2x =0的两个线性无关特解，并求此方程的通t

()()

t 2-t 2

"

"1t 2'222221e -e -4t 2e t =2e t +4t 2e t -⨯2te t -4t 2e t =0，

t t

2222211-t 2'

-e -4t 2e -t =-2e -t +4t 2e t -⨯(-2te -t ) -4t 2e t =0，

t t

(e )()

2

2

故e t , e -t 是方程的解，且

2

2

e t e

2

-t 2

=e 2t ≠常数．

2

于是e t , e -t 是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为

x =C 1e t +C 2e -t ，

22

其中C 1, C 2为任意常数．

*4．已知函数 y 1=e x , y 2=x 是方程 (1-x ) y ''+x y '-y =0 的两解，试求该方程满足初始条件 y (0) =1, y '(0) =0 的特解．

解：方程的通解为 y =c 1e x +c 2x ，将初始条件代入，有：

y (0) =c 1=1，

x

y ' (0) =c 1e +c 2=c 1+c 2=0，

c 1=1, c 2=-1，

解得c 1, c 2为： 所以特解为：

y =e x -x ．

**5．设x 1(t ) 是非齐次线性方程

x ''(t ) +a 1(t ) x '(t ) +a 2(t ) x (t ) =f 1(t )

(1)

的解．x 2(t ) 是方程

x ''(t ) +a 1(t ) x '(t ) +a 2(t ) x (t ) =f 2(t )

x =x 1(t ) +x 2(t )

(2)

的解．试证明 是方程

x ''(t ) +a 1(t ) x '(t ) +a 2(t ) x (t ) =f 1(t ) +f 2(t )

(3)

的解．

解：因为x 1(t ), x 2(t ) 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以

''(t ) +a 1(t ) x 1'(t ) +a 2(t ) x 1(t ) ≡f 1(t ) x 1

x 2''(t ) +a 1(t ) x 2'(t ) +a 2(t ) x 2(t ) ≡f 2(t ) (1) '+(2) '得：

(1) '

(2) '

(x 1(t ) +x 2(t ) )"+a 1(t ) (x 1(t ) +x 2(t ) )'+a 2(t ) (x 1(t ) +x 2(t ) )'=

即 x =x 1(t ) +x 2(t ) 是方程（3）的解．

f 1(t ) +f 2(t )

第9章 （之6）（总第49次）

教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法

**1．解下列问题：

（1）方程y ''+8y =0的通解为y =_______________．

解：y =c 1cos 22x +c 2sin 22x ．

（2）方程y " +6y ' +25y =0的通解为y =_______________． 解：y =e -3x (c 1cos 4x +c 2sin 4x ) ．

（3）方程y ''-8y '+15y =0的通解为y =_______________． 解：y =C 1e 3x +C 2e 5x ．

（4）方程5y ''+2y '+3y =0的通解为y =_______________． 解：y =e

（3）方程y ''+6y '+py =0的通解为y =e kx (C 1cos 2x +C 2sin 2x ) ，则p =___，

-x 5

(C 1x +C 2) ．

k =_____． 解：11，-3．

**2．求解下列初值问题：

（1）y ''-8y '+16y =0,

2

y (1) =e 4,

2

y '(1) =0；

解：∵λ-8λ+16=(λ-4) =0， ∴λ1，2=4，

（2）y ''+4y '+29y =0,

通解为：y =(c 1+c 2x ) e ．

将初始条件代入，有 y (1) =(c 1+c 2) e 4=e 4，

4x

y ' (1) =c 2e 4x +4(c 1+c 2x ) e 4x =c 2e 4+4(c 1+c 2) e 4=c 2e 4+4e 4=0

得到：c 1=5

c 2=-4，

所以特解为：y =(5-4x ) e

4x

．

y () =1, y '() =3；

22

ππ

解：λ+4λ+29=0， 通解为：y =e

-2x

2

λ=

-4±-116-4±10i

==-2±5i ，

22

(c 1cos 5x +c 2sin 5x ) ．

代入初始条件有： y () =e

π

-π

2

(0+c 2) =1⇒c 2=e π，

y '() =-2e

π

-2x

2

(c 1c o s 5x +c 2s i n 5x ) +e -2x (-5c 1s i n 5x +5c 2c o s 5x ) ，

得：c 1=-e π． 特解为：y =e π-2x (-cos 5x +sin 5x ) ．

（3）y ''+4y '+3y =0,

2

y (0) =6, y '(0) =10；

解： λ+4λ+3=0， (λ+1)(λ+3) =0， 所以通解为 y =c 1e -x +c 2e -3x ． 代入初始条件有：

y (0) =c 1+c 2=6，

y ' (0) =-c 1e -x -3c 2e -3x =-c 1-3c 2=10，

特解为：y =14e -x -8e -3x ．

**3．求解初值问题

x

⎧⎪y '+2y +⎰y d x =1

0⎨

⎪y (0) =1⎩

x ≥0 y ''+2y '+y =0

解：将原方程对x 求导得

且有

(1)

y '(0) =1-2y (0) =-1

微分方程（1）的通解为：

y =e -x (C 1x +C 2) ，

代入初始条件y (0) =1, y '(0) =-1，得C 1=0, C 2=1， 故所求问题的解为：y =e

***4．设函数ϕ(x ) 二阶连续可微，且满足方程ϕ(x ) =1+解：原方程关于x 求导得

⎰(x -u ) ϕ(u ) d u ，求函数ϕ(x ) ．

0x

-x

．

ϕ'(x ) =ϕ(u ) d u +x ϕ(x ) -x ϕ(x ) =ϕ(u ) d u , ϕ'(0) =0，

⎰

x

⎰

x

ϕ(0) =1，再求导得： ϕ''(x ) =ϕ(x ) ， 且由原方程还有：

微分方程的通解为：

ϕ(x ) =C 1e x +C 2e -x ，

代入条件ϕ(0) =1, ϕ'(0) =0，得C 1=C 2=故所求函数为： ϕ(x ) =

1， 2

1x

(e +e -x ) =ch x ． 2

***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．

解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为100ρ．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为x (t ) ，则根据牛顿第二定律有：

d 2x d 2x g

-x =0． 100ρ2=ρgx ， 即 2

100dt dt

又据题意知：x (0) =20， x '(0) =0，所以 x (t ) 满足下列初值问题：

⎧d 2x g

x =0⎪2-

⎨dt 100

⎪x (0) =20，x '(0) =0⎩

g

解得方程的通解为：x =c 1e

10

t

+c 2e

-

g 10

t

．

⎧x (0)=20⎧c 1=10

⇒⎨又因为有初始条件： ⎨'

c =10⎩2⎩x (0)=0

g

所以 x =10e

10

t

+10e

-

g 10

t

．

g t

-g 10t

又当链条全部从桌子边缘滑下时，x =100，求解t ，得：100=10e 10+10e 即： ch

，

g

t =5， 10

t =

10g

arch 5．

***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x (t ) 处，由牛

顿第二定律：

d 2x

22=2g -g (x +2) =-gx ， d t

其中g =980厘米/秒2 其解为：

x =C 1cos

g g t +C 2sin t ， 22

振动周期为 T =2π

22π

=≈0. 28． g 490

第9章 （之7）（总第50次）

教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程y ''+y =x sin x 的一个特解应具有形式 （ ）

（A ）(Ax +B ) sin x

（B ）x (Ax +B ) sin x +x (Cx +D ) cos x （C ）x (Ax +B )(cosx +sin x ) （D ）x (Ax +B )(C sin x +D cos x ) 解：（B ）

**2．设A , B , C , D 是待定常数，则微分方程y ''+y =x +cos x 的一个特解应具有形式 （ ）

（A ）Ax +B +C cos x

（B ）Ax +B +C cos x +D sin x

（C ）Ax +B +x (C cos x +D sin x ) （D ）Ax +B +Cx cos x 答：（C ）

**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）y ''-y '-2y =2x +1； 解：∵ λ-λ-2=0，

2

∴λ1, 2=2, -1， 0不是特征根．

设 y p =b 1x +b 0， 代入原方程，得：-b 1-2b 1x -2b 0=2x +1， 有：b 0=0, b 1-1，

-x

特解为：y =-x ．

（2）y ''+2y '+y =e ． 解： ∵ -1 是二重特征根，

∴ 设 y p =x e b 0， y 'p =2xe b 0-x e b 0，

2-x

-x

2-x

'=2e -x b 0-x 2e -x b 0-2xe -x b 0+x 2e -x b 0， y 'p

-x

代入 y ' ' +2y ' +y =e

特解为：y =

， 解得：b 0=

1

， 2

12-x

x e ． 2

**4．求微分方程y ''-3y '+2y =xe x 满足条件y (0) =y '(0) =0的特解． 解：特征方程r -3r +2=0的根为r 1=1, r 2=2，相应齐次方程的通解为

2

y h =C 1e x +C 2e 2x ，

设特解为y p =x (Ax +B ) e x ，代入方程得： A =-故方程的通解为

1

, B =-1 ． 2

y =C 1e +C 2e

x 2x

⎛x 2⎫x

⎪- +x 2⎪e ，

⎝⎭

代入条件y (0) =y '(0) =0，得C 1=-1, C 2=1，因此所求特解为

**5． 求下列非齐次方程的通解：y ''+2y '=f (x )

⎛x 2⎫x ⎪y =e - +x +1 2⎪e ．

⎝⎭

2x

1) f (x ) =4x +1, 2) f (x ) =e 2x , 3) f (x ) =cos x ；

解：特征方程：λ+2λ=0， 特征根：

2

λ1=0, λ2=-2，

所以方程y ''+2y ' =0的通解为 y h =c 1+c 2e -2x ．

1）对于方程y ''+2y ' =4x +1， 由于0是特征方程的单根，故设其特解为：

y p =(b 0x +b 1) x ，

代入方程有：2b 0+4b 0x +2b 1=4x +1，解得 b 0=1b 1=-所以特解为：y p =x -

2

1

， 2

1

x ． 2

-2x

所以方程的通解为：y =y h +y p =c 1+c 2e

+x 2-

1

x ． 2

2x

2）对于方程y '''+2y ' =e ，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：y p =e b 0， 代入方程有：b 0=

2x

112x

， y p =e ， 88

-2x

所以方程的通解为：y =y h +y p =c 1+c 2e

1

+e 2x ． 8

3）对于方程：y '''+2y ' =cos x ，由于±i 不是特征方程的根，故设其特解为： y p =b 0cos x +b 1sin x ， 代入方程有：y p ' =-b 0sin x +b 1cos x ， y p " =-b 0cos x -b 1sin x ，

-b 0cos x -b 1sin x -2b 0sin x +b 1cos x =cos x ， 得：b 0=-

12

b 2=， 5512

y p =-cos x +sin x ，

55

-2x

所以方程的通解为：y =y h +y p =c 1+c 2e

12

-cos x +sin x ． 55

**6．求微分方程y ''-6y '+9y =25e x sin x 的通解．

解：特征方程r -6r +9=0的根为r 1, 2=3，相应齐次方程的通解为

y h =(C 1+C 2x ) e 3x

x

2

设特解为y p =e (A cos x +B sin x ) ，代入方程得：A =4, 故方程的通解为

B =3

y =(C 1+C 2x ) e 3x +e x (4cos x +3sin x )

***7．已知曲线y =y (x )(x ≥0) 过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点M =(x 0, y 0) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x =x 0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．

解：由已知y (0) =0，且y '=

⎰y d x +x , y '(0) =0，将此方程关于x 求导得

x

y ''=y +1

x

-x

其通解为： y =C 1e +C 2e

-1 ，

1

， 2

代入初始条件y (0) =0, y '(0) =0，得 C 1=C 2=故所求曲线方程为：y =

1x

(e +e -x ) -1=ch x -1． 2

***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μ(0

解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律

d 2S

m 2=mg sin θ-μmg cos θ d t

且 S (0) =0, S '(0) =v 0 方程的通解为

S =

12

gt (sinθ-μcos θ) +C 1t +C 2 2

代入初始条件得C 1=v 0, C 2=0，故物体滑下的距离与时间的关系为

S =

12

gt (sinθ-μcos θ) +v 0t 2

***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．

解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x (t ) 处，

d 2x

+kx =mg ， 且 x (0) =0，x '(0) =0． 由牛顿第二定律： m 2

d t

方程的通解为： x =C 1cos 代入初始条件得C 1=-

k k m t +C 2sin t +g ， m m k

m

g , C 2=0，故物体的运动规律为 k

mg ⎛k ⎫

t ⎪． 1-cos x =

k ⎝m ⎭

***10． 求下列方程的通解： （1）y

(4)

-2y '''+y ''=0；

3

2

解： λ-2λ+λ=0，

4

λ2(λ2-2λ+1) =0， λ2(λ-1) 2=0，

所以通解为 y =c 1+c 2x +（c 3+c 4x ）e x ．

（2）y (4) +5y ''-36y =0．

解：λ+5λ-36=0， (λ-2)(λ+2)(λ2+9) =0，

所以通解为 y =c 1e 2x +c 2e -2x +c 3cos 3x +c 4sin 3x ．

****11* 试证明，当以 t =ln x 为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）ax 2y " +bxy ' +cy =f (x ) 可化为常系数线性方程

4

2

d 2y dy

a 2+(b -a ) +cy =f (e t ) 并求下列方程通解：

dt dt

（1）x 2y ''-2y =0； （2）x 2y ''-x y '+2y =x ln x ． 证明：令 t =ln x ，

x =e t ，

dy dy dt 1dy ==， dx dt dx x dt

d 2y 1dy 1d ⎛dy ⎫1⎛d 2y dy ⎫ ， =-2+-⎪ ⎪=2 22 dt ⎪dx x dt x dx ⎝dt ⎭x ⎝dt ⎭

将y ', y ''代入方程有：

⎛d 2y dy ⎫dy d 2y dy t

⎪， ()ax y ''+bx y '+cy =a -+b +cy =a +b -a +cy =f e 2 dt 2dt ⎪dt dt dt ⎝⎭

2

()

得证．

t

（1）令 t =ln x ， x =e ，

原方程化为：

d 2y dy

--2y =0． 2

dt dt

其通解为

y =c 1e 2t +c 2e -t ．

2

将x 代入，得：y =c 1x +

c 2

． x

t

（2） 令 t =ln x ， x =e ，

原方程化为：

d 2y dy t

-2+2y =te ， 2

dt dt

上述方程的相应其次方程的通解为：

y h =e t (c 1cos t +c 2sin t )．

令上述方程一个特解为： 代入方程得：b 0=1, b 1=0， 原方程得通解为：

y p =e t (b 0t +b 1)，

即：y p =e t t ．

y =e t (c 1cos t +c 2sin t +t )，

即：y =x [c 1cos (ln x )+c 2sin (ln x )+ln x ]．

***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系． 解： F 重-F 阻-B =ma ， a 为加速度， mg -kv -B =ma ， v 为下降速度，

dx dv d 2x dx d 2x

, a ==-B =m 2，即 因为 v =， 所以 mg -k dt dt dt 2dt dt

d 2x k dx B +=g - ， 2

m dt m dt

其特征方程为： λ+

2

k k

λ=0， 解得特征根为 λ1=0, λ2=-．

m m

k

-t m

所以对应的齐次方程的通解为：x h =c 1e +c 2．

由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x 1=b 0t ， 代入方程有：

k B mg -B b 0=g -， 得 b 0=． m m k

k

-t m

所以微分方程的通解为：x =c 1e +c 2+

mg -B

t ， k

因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 x (0)=0, x ' (0)=0，

⎧c 1+c 2+0=0⎪

代入微分方程有： ⎨k mg -B

-c 1+=0⎪m k ⎩

求得：

m 2g -Bm Bm -m 2g

， c 1=, c 2=22

k k

k

-t ⎫Bm -m 2g ⎛m g -B m ⎪ 1-e +t ． 所以x 与t 的关系可表示为： x =2 ⎪k k ⎝⎭

***13．证明：若有方程f '(x ) =f (1-x ) ，则必有f ''(x ) +f (x ) =0，并求解此方程． 证明：由于f '(x ) =f (1-x ) ，两边关于x 求导得

故得

f ''(x ) =-f '(1-x ) =-f [1-(1-x )]=-f (x )

f ''(x ) +f (x ) =0

（1）

解方程（1）得通解为

f (x ) =C 1cos x +C 2sin x

（2）

f '(x ) =-C 1sin x +C 2cos x （3） f '(0) =f (1), f '(1) =f (0) ，将此代入(2),(3)得

⎧C 1cos 1+C 2sin 1=C 2

⎨

⎩-C 1sin 1+C 2cos 1=C 1

1+sin 1

C 1 cos 1

解得：C 2=

所以原方程的解为：

f (x ) =C 1 cos x +

⎛⎝

1+sin 1⎫

sin x ⎪．

⎭cos 1

第9章 （之8） （总第51次）

教学内容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)

第9章 （之9） （总第52次）

教学内容：§9.7 差分方程

1. 已知y t =3e t 是二阶差分方程y t +1+ay t -1=e t 的一个特解，求a ． 解： a =

e

(1-3e ) ． 3

2. 求下列差分方程的一般解： (1) 2y t +7y t -1=0； 解：y t =C (-)

72

t

(2) y t -3y t -1=-4； 解：y t =C 3t +2

(3) 2y t +1+10y t -5t =0； 解：y t =C (-5) +

t

51(t -) 126

(4) y t +1-4y t =22t ； 解：y t =C 4t +t 4t -1 (5) y t +1-y t =t ⋅2t ． 解：y t =C +(t -2) 2t

3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) y t +1-y t =sin t ； 解：Y t =B 1sin t +B 2cos t

(2) y t +1+y t =-3cos πt ． 解：Y t =t (B 1cos πt +B 2sin πt )

4. 设y t 为第t 期国民收入，C t 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知y t ，C t ，I 之间有关系 y t =C t +I ，C t =αy t -1+β，其中00，试求y t ，C t ． 解：y t 满足：y t -αy t -1=I +β，

解得 y t =C α+

t

β+αI β+I t

， 从而 C t =y t -I =C α+． 1-α1-α

5. 已知差分方程(a +by t ) y t +1=cy t ，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件

y (0) =y 0>0，证明：

(1) 对任意t =1, 2, ，有y t >0；

(2) 在变换u t =

1

之下，原差分方程可化为有关u t 的线性差分方程，写出该线性差分y t

方程并求其一般解；

(3) 求方程(1+2y t ) y t +1=y t 的满足初始条件y 0=2的解． 解：（1）归纳法证明． （2）令 u t =

111

，即y t =，y t +1=， y t u t u t +1

则原方程化为线性差分方程 cu t +1-au t =b ， 其一般解为 c ≠a 时， u t =C () + （3）令 u t =

a

c

t

b

； c =a 时， u t =C +b ． c -a

1

，原方程化为 u t +1-u t =2，一般解为 u t =C +2， y t

131=，代入 y 0=2，得 C =-，

2u t C +2

所以原方程的一般解为 y t = 所以 特解为 y t =2．