数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法
一、Sn 法,根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-Sn-1 例 1 已知数列{a n }的前n 项为S n ,S n =
(1)求a 1, a 2;
13
(a n -1)(n ∈N )
*
(2)求证:数列{a n }是等比数列.
二、累加、累乘法
1、累加法 适用于:a n +1=a n +f (n )
a 2-a 1=f (1)
若a n +1-a n =f (n ) (n ≥2) ,则
a 3-a 2=f (2) a n +1-a n =f (n )
n
两边分别相加得 a n +1-a 1=
∑
k =1
f (n )
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
例3 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1,a 1=3,求数列{a n }的通项公式。
2、累乘法 适用于: a n +1=f (n ) a n
a n +1a n
a 2
a a
=f (1)3=f (2), n +1=f (n ) a 1a 2a n
n
若=f (n ) ,则
两边分别相乘得,
a n +1a 1
=a 1⋅∏f (k )
k =1
例4 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ,a 1=3,求数列{a n }的通项公式。
例5 已知
a 1=1a n =n (a n +1-a n ) (n ∈N *)
, , 求数列
{a n }通项公式.
例6 已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1) a n -1(n ≥2) ,求{a n }的通项公式。
三、待定系数法 适用于a n +1=qa n +f (n )
分析:通过凑配可转化为a n +1+λ1f (n ) =λ2[a n +λ1f (n )]; 解题基本步骤: 1、确定f (n )
2、设等比数列{a n +λ1f (n ) },公比为λ2 3、列出关系式a n +1+λ1f (n ) =λ2[a n +λ1f (n )] 4、比较系数求λ1,λ2
5、解得数列{a n +λ1f (n ) }的通项公式 6、解得数列{a n }的通项公式
例7 已知数列{a n }中,a 1=1, a n =2a n -1+1(n ≥2) ,求数列{a n }的通项公式。
例8 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ,a 1=6,求数列{a n }的通项公式。
n -1
例9 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +4⋅3,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
四、变性转化法
1、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
2a n a n +2
例10 已知数列{a n }满足a n +1=, a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
2、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列{a
n }满足a n +1=解:令b n =a n =故a n +1=
124
2
1161
(1+4a n +,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
24
(b n -1) 1
2
124
(b n +1-
1) ,代入a n +1=116
124
2
16
(1+4a n +得
(b n +1-1) =
[1+4
(b n -1) +b n ]
2
22
即4b n +1=(b n +3)
因为b n =≥
0,故b n +1=≥0 则2b n +1=b n +3,即b n +1=可化为b n +1-3=
12
12b n +
32
,
(b n -3) ,
12
所以{b n -
3}是以b 1-3=3=3=2为首项,以
为公比的等比数列,因此
1n -11n -21n -21n -2
b n -3=2() =() ,则b n =() +
3=() +3,得
2222a n =
21n 1n 1() +() +。 3423
练习:
1、若数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2,则这个数列( )
A .是等差数列,且a n =2n -1 B .不是等差数列,但a n =2n -1 C .是等差数列,且a n =-2n +1 D .不是等差数列,但a n =-2n +1 2、数列{a n }的前n 项和为S n =2a n +3,则{a n }是( )
A .等比数列 B .等差数列 C .从第2项起是等比数列 D .从第2项起是等差数列 3、数列{a n }中,a 1=1,a n +1=A .
25
2a n a n +2
, (n ∈N +) ,则a 5=( )
23
12
B.
13
C. D.
4、已知数列{a n }中,a 1=-3且a n =2a n -1+1,则此数列的通项公式为( ) A . -3⋅2n -1 B . -2n C . 2n -5 D .-2n -1 5、在数列{a n }中,a 1=1,a n >0,a n +1=a n +4,则a n = A .4n -3
B .2n -1
C .4n -3
D .2n -1
2
2
6、在等比数列{a n }中,若a n >0,a 1a 9=64,a 4+a 6=20,则a n = A .2n -2
B .28-n
C .2n -2或28-n
D .22-n 或2n -2
7、数列{a n }中,a 1=2,a n =a n -1+2n ,(n >1),求其通项公式a n .
8、设数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列,a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3,求{a n },
{b n }的通项公式.
参考答案
CABDCC
7、解:∵a n -a n -1=2n ,a n -1-a n -2=2(n -1) ,…,a 2-a 1=4,(叠加)
∴a n -a 1=2n +2(n -1)+ +4,于是:a n =n (n +1)。
2
8、解:∵b 3=a 2+a 4=2a 3=2b 2b 4=2b 3,∴b 3=
⎛2⎫
⎪又∵b 1=1,∴b n =
2⎪⎝⎭
n -1
12
,q =±
22
。,
⎛2⎫
⎪或b n =- 2⎪⎝⎭-a 1)=-
38
n -1
。
11-3n 8
∵a 3=b 3=
2
14
,∴d =
12
(a 3
,又∵a 1=1,∴a n =