线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用

2003年3月第10卷第2期

文章编号:167127848(2003) 0220145205

控制工程

Control Engineering of China Mar . 2003Vol. 10,No. 2

线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用

高金凤, 俞　立, 王春平

(浙江工业大学信息工程学院, 浙江杭州　310032

)

摘　　　要:介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具

箱Matlablmi 的3个求解器, 对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述。分析了其在当前的两个研究热点, 即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用。同时探讨了时滞系统与非线性系统的研究现状。然后列举了一些具有代表性的采用LMI 求解控制问题的最新结果。为了说明线性矩阵不等式的求解过程, 子, 在Matlab 513编辑器中运行程序, 得到的结果是最优性能指标值, 31016777。关　键　词:线性矩阵不等式; 时滞; ;LMI 中图分类号:TP 13　　　文献标识码:A

1　引　言

在过去的10, (LM I ) , 使其在控制。在此之前, 绝大多数的控制问题都是通过Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3]。但是解Riccati 方程或其不等式时, 有大量的参数和正定

对称矩阵需要预先调整。有时, 即使问题本身是有解的, 也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便, 而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足

[4]

, v ∈R n , v T F (x ) v

在线性矩阵不等式使用之前, 许多控制问题是用Riccati 不等式方法来解决的, 而Riccati 不等式的求解带有一定的保守性。Riccati 不等式是二次矩阵不等式, 所以将二次矩阵不等式转化成线性矩阵不等式很有必要和意义, 在此转化过程中, 矩阵的Schur 补引理起着决定性的作用。考虑一个矩阵F (x ) ∈R n ×n , 并将F (x ) 进行分块

F (x ) =

F 11(x ) F 21(x )

F 12(x

F 22(x )

(2)

。

在解线性矩阵不等式时, 不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。本文对LM I 在控制工程中的发展和现状进行简要的回顾, 着重讨论LM I 在不确定控制系统中的应用研究成果以及展望。

式中, F 11(x ) 是r ×r 维的。假定F 11(x ) 是非奇

-1

(x ) F 12(x ) 称为是异的, 则F 22(x ) -F 21(x ) F 11

F 11(x ) 在F (x ) 中的Schur 补。下面不加证明地

2　线性矩阵不等式的介绍

一个线性矩阵不等式具有如下形式:

F (x ) =F 0+x 1F 1+…+x m F m

式中, x 1, …, x m 是m 个实数变量, 称为是线性矩阵不等式(1) 的决策变量, x =(x 1, …, x m ) T ∈

R 是由决策变量构成的向量, 称为决策向量。F i =F i ∈R

T

n ×n

m

给出矩阵的Schur 补引理及其性质。

引　理:对给定的对称矩阵F (x ) , 以下3个结论是等价的。(i ) F (x )

(4) T -1

(x ) F 11(x ) F 12(x )

-1T

F 11(x ) -F 12(x ) F 22(x ) F 12(x )

, i =0, 1, …, m , 是一组给定的实

对称矩阵, 式(1) 中的“

注意到式(4) 和式(5) 中的第二个不等式是一个非

线性矩阵不等式, 上述的等价关系说明了应用矩

收稿日期:2002-09-13

作者简介:高金凤(19782) , 女, 安徽巢湖人, 浙江工业大学硕士研究生, 主要研究方向为不确定系统的鲁棒控制与NCS 的稳定性

等; 俞　立(19612) , 男, 浙江杭州人, 浙江工业大学教授, 博士, 主要从事鲁棒控制、时滞系统的分析与控制等研究。

・146・控　制　工　程　　　　　　　　　　　　　　第10卷

知的信号集合。

对于这两种情况, 加拿大学者Zames 于1981年提出了以控制系统的某些信号间的传函矩阵的

H ∞范数作为优化性能指标的设计思想[6]。美国

阵的Schur 补性质, 一些非线性矩阵不等式可以

转化成线性矩阵不等式。从而利用现有的软件Matlab 中的LM I 工具箱可以直接对问题求解。在控制、辨识和信号处理等领域中, 许多问题都可以转化成用线性矩阵不等式来描述的优化问题。这里介绍3类标准的线性矩阵不等式问题及其求解:一是可行性问题(LM IP ) ; 二是特征值问题(EV P ) ; 三是广义特征值问题(GEV P ) 。在MA TLAB 软件的线性矩阵不等式工具箱(LM I Toolbox ) 中给出了3类问题的求解器。控制系统中的一些性能指标、稳定性判据可以转化为LM I 的3类标准问题, 其原因是由于一方面Lyapunov 方法易得到凸的或拟凸的条件, 另一方面LM I 本身能表示范围广泛的不同类凸约束。

法和内点法及其他的数值解法[点很明显, 软件开发出功能强大的LM I 工具箱的算法就是基于内点法, 它提供了与上述相对应的3类标准的线性矩阵不等式问题求解函数:feasp,mincx ,gevp 。此外, 该工具箱还可用于以下几方面。

①多目标控制器综合, 包括LQ G 综合, H ∞

综合和极点配置综合。

②系统鲁棒性的分析和测试, 包括检测时变线性系统的二次稳定性, 带有参数的Lyapunov 稳定性, 混合的μ分析以及带有非线性成分的Popov 准则。

③系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值等问题,LM I 工具箱还提供了两个交互的图形用户界面(GU I ) :LMI 编辑器和Magshape 界面。用户可以在LM I 编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式。

学者Doyle 于1982年针对H ∞性能指标发展了结构奇异值的方法来检验鲁棒性[7]。1988年Doyle 等人在全美控制会议上发表的著名的D GKF 论文为标志, 将H ∞控制器的设计归结为

两个Riccati 方程的求解[8]。进入20世纪90年代,LM I 技术引入到H ∞鲁棒控制,LM I 的引入不但降低了H ∞, 而且扩展了

H ∞、从定常系统到时变系、从连续系统到离散系统、从无时滞系统到时滞系统以及从单目标到多目标的控制等发展历程。

随着不确定系统鲁棒二次镇定和H ∞状态空间理论研究所取得的突破性进展, 保成本控制引起许多学者的极大兴趣并得到了不少成果。一个实际控制系统仅仅具有稳定性是不够的, 还必须考虑其他的一些性能。线性二次型最优控制理论揭示了一个适当的二次型性能指标, 能反映系统的许多性能要求。最初由Chang 和Peng [10]提出了不确定系统的保性能控制问题(Guaranteed Cost Control 简称GCC ) , 其主要思想是对具有参

数不确定性的系统, 设计一个控制律, 不仅使得闭环系统稳定, 而且使得闭环系统的性能不超过某个确定的上界。近年来有许多学者针对这个问题作了积极地探讨, 典型的结论如文献[11], 针对一类范数有界的时变参数不确定性的离散时间线性系统, 设计其最优保性能状态反馈控制律, 通过采用线性矩阵不等式方法, 导出了存在保性能控制律的一个充分必要条件, 文中与Riccati 方程的方法作了比较, 结果说明LM I 方法降低了闭环系统性能指标的保性能值。而文献[12]针对一类同时带有状态和输入时滞不确定离散系统以及给定的二次型性能函数, 同样采用线性矩阵不等式的方法, 研究了使得闭环系统稳定和性能指标函数值不超过某个特定的上界的控制律设计问题。

与此同时, 不确定系统的鲁棒辨识与鲁棒估计也得到了一定程度的发展。早期的滤波器设计

3　基于LMI 的不确定系统鲁棒控制器与

滤波器的设计

　　不确定系统的鲁棒控制与滤波问题的提出基于如下考虑。

①被控对象不是由一个确定的模型来描述的, 仅仅知道模型属于某个已知的模型集合;

②外部信号包括干扰信号和传感器噪声等不是具有已知特性的信号, 仅仅知道其属于某个已

第2期　　　　　　高金凤等:线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用是基于Riccati 方程的求解, 但是矩阵Riccati 方程所求的解是空间唯一的点。所以近年来使用LM I 方法设计满足性能指标的滤波器得到广泛的应用[13]。基于LM I 方法的时域状态空间的不确定系统的分析与综合, 具有能揭示系统的内部结构和易于计算机辅助设计等优点而倍受重视。

序号

1

・147・

国内外众多学者都对基于LM I 方法的各种控制与滤波问题进行了由浅入深的研究, 具有代表性的研究成果详见表1。表中不仅仅列举了基于LM I 的不确定系统的控制器与滤波器设计, 还有LM I 技术应用在时滞系统、非线性系统等方面的

成果。

采用方法

文献

[14]

[15][16][17][12][18][19][13][20][21][22]表1　基于LMI 方法的各种控制与滤波问题

系统描述

不确定线性系统和非线性系统的状

态反馈以及输出反馈表述

基于LMI 转化为凸优化问题求得鲁棒界; 对于非线性如Lurie 系统则通过Lyapunov 函数方法得到系统稳定的LMI 判定准则

基于LMI 不等式, 23

不确定时滞系统的鲁棒稳定与性能指标问题

多目标优化与混合H 2/H ∞控制与滤波问题网络控制系统模型

44　LMI 在带有时滞的控制系统与非线性

者的研究。在时间域中, 目前已经提出了一些最新的稳定性分析结果。这些结果有在此形式的模型中考虑不确定性的, 有考虑离散情况的, 另有一些结果考虑二次型性能指标的。这些结果基于Lyapunov 第二方法, 采用了Lyapunov 2Krasovskii

系统中的应用

　　控制系统中时滞的存在往往导致系统的不稳定和较差的系统性能。因此, 时滞系统包括不确定时滞系统的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。关于LM I 技术在时滞系统方面的研究, 经过许多学者的努力, 取得了较多的研究成果

[14,16,18]

泛函或Lyapunov 2Razumikhin 函数[24,25], 最终将问题的结论描述成LM I 形式, 而LM I 形式的结果能够被有效地求解。

随着控制系统规模的扩大和计算机技术的迅速发展, 信息的分布式处理变得越来越重要并成

为可能, 由此产生了集散控制系统(Distributed Control Systems , 简称为DCS ) , 然而,DCS 中的控

。根据所研究的问题是否与时滞大小

有关, 一般分为时滞独立和时滞相关问题, 如研究系统的稳定性条件时, 可以分为以下2点。

①时滞独立的稳定性条件:即在该条件下, 对所有的时滞d >0, 系统是渐近稳定的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息, 因此, 适合于处理具有不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题[12]。

②时滞依赖的稳定性条件:即在该条件下, 对滞后时间d 的某些值, 系统是稳定的, 而对滞后时间d 的另外一些值, 系统则是不稳定的。因此, 系统的稳定性依赖滞后时间的大小[18]。

分析具有以下形式的线性时滞系统:

n

d

制模块的连接是松散的。借助于ASIC 芯片的设计和硅元素价格的大幅度降低, 传感器和执行器能够安装成网络接口, 作为实时控制网络中的独

立节点, 从而构成了网络控制系统(Networked Control Systems ,NCS ) 。NCS 作为当前的研究热

点, 问题之一就是存在时延。由于整个控制系统通过网络总线形成闭合回路, 在环路中就不可避免地存在着由于通讯延迟而带来的时间延迟。当时间延迟远小于采样周期时, 它的影响可忽略不计; 但当时间延迟相对于采样周期而言不能忽略

x (t ) =A x (t ) +

i =1

∑A

di x

(t -τi ) (6)

时, 控制系统的分析和设计就必须考虑时间延迟的影响。文献[21,22]中部分章节基于LM I 技术

这种形式的系统在很长一段时间内吸引了众多学

・148・控　制　工　程　　　　　　　　　　　　　　第10卷

理论中的应用范围越来越广, 本文只是讨论了线

性矩阵不等式在典型的控制中如不确定系统、时滞系统、非线性系统方面的应用。目前, 基于LM I 方法的时滞系统无记忆不依赖于时滞大小

较为详细地讨论了网络控制系统中存在时滞或者

丢包现象的稳定性问题。

非线性系统存在于许多控制系统中, 例如随动系统的齿轮传动具有齿隙和干摩擦等。许多执行机构都不可能无限制地增加其输出功率, 因此就存在饱和非线性特性。这些非线性是由于系统的不完善而产生的, 这种不完善实际上是不可避免的。由于线性矩阵不等式(LM I ) 的优良性质, 近年来, 基于LM I 技术的非线性系统的分析与综合得到了有效的推广[26,27]。国内学者年晓红及其课题组针对典型的非线性系统即Lurie 系统作了深入的研究, 其中文献[15]应用Lyapunov 泛函的方法, 分别讨论了具有结构参数扰动和范数有界扰动的不确定Lurie 直接和间接型的控制系统的鲁棒绝对稳定性问题, 给出了LM I 稳定的充分条件, 中LM I 工具箱来求解的各种控制器设计问题已经基本解决, 包括状态反馈控制器的设计、动态输出反馈控制器的设计、基于状态观测器的动态反馈控制器设计等等。基于LM I 方法的时滞依赖的动态输出反馈控制器设计方面的结果有待于进一步地研究, 结论用LM I 描述的非线性时滞系统的稳定性分析也值得深入探讨。参考文献:

[1]I R , equation ap 2

the of uncertain linear s ystems 1986, 22(4) :3972411.

2M S , Muthairi N F. Quadratic stabiliza 2

tion of continuous time systems with state 2delay and norm 2bounded time 2varying uncertainties [J].IEEE Trans Automat Control , 1994,39(10) :213522139.

[3]　Xie L H , Y eng C S , Carlos E , et al . Robust K alman

filtering for uncertain discrete 2time systems [J ].IEEE Trans Automat Control , 1994, 39(6) :131121314.

[4]　D ’Andrea R. Linear matrix inequality conditions for

robustness and control design[J].International Jour 2nal of Robust and Nonlinear Control , 2001, 11(6) :5412554.

[5]　Beck C. Computational issues in solving LMIs[A ].

In Proc IEEE Confer Decision and Control [C ].Brighton , England :IEEE , 1991. 125921260.

[6]　Zames G. Feedback and optimal sensitivity :model

reference transformations , multiplicative seminorms and approximate inverse [J].IEEE Trans Automat Control , 1981,26(3) :3012320.

[7]　Doyle J C. Analysis of control systems with struc 2

tured uncertainty[J].IEEE Proc Part D , 1982,129(5) :2422250.

[8]　Doyle J C , G lover K , Khargonekar P P , et al . State

space solutions to standard H 2and H ∞control prob 2lems[J].IEEE Trans Automat Control , 1989, 34(8) :8312847.

[9]　Doyle J C , Packard A , Zhou K M. Review of L FTs ,

LMIs , and u [M ].IEEE CDC , 1991. 122721232.

[10]　Chang S S L , Peng T K C. Adaptive guaranteed cost

control of systems with uncertain parameters [J ].IEEE Trans Automat Control , 1972, 17(4) :4742483.

[11]　俞　立. 不确定离散系统的最优保性能控制[J].

控制理论与应用, 1999,16(5) :6392642.

[12]　Li Y , G ao F R. Optimal guaranteed cost control of

discrete 2time uncertain systems with both state and input delays [J].Journal of the Franklin Institute , 2001, 338(1) :1012110.

5　　　在实际控制工程中, 多数控制问题均可转化成LM I 问题, 然后利用Matlab 软件中的LM I 工具箱现有的求解器得到问题的解。本节举例说明LM I 在保性能控制中的应用, 例题详见文献[11]中的示例。

例　给定不确定离散系统的状态空间描述:x (k +1) =(A +ΔA ) x (k ) +(B +ΔB ) u (k ) x (0) =x 0是初始状态向量, ΔA 和ΔB 是适当维数的不确定矩阵。定义二次型性能指标:

∞

J =

k =0

x T (k ) Q x (k )

T

+u (k ) R u (k )

实际应用中, 系统的初始状态很难精确确定, 所以

T

假定初始状态x 0是一个满足E{x 0x 0}=I 的零均值随机变量, 通过考虑性能指标的期望值, 得到

T

J =E{J}≤E{x 0Px 0}=Trace (P ) 。根据文献[11]中的定理3, 用Matlab 513软件中的LM I 工具箱编程, 这里主要用到工具箱中的求解器mincx , 程序略。　　程序中的命令与函数解释详见文献[28]。在Matlab513的编辑器中运行程序, 得到的结果是最优性能指标值copt =J 3=1016777。

6　结　语

由于线性矩阵不等式的诸多优点使其在控制

(下转第189页)

第2期　　　　　　　　　　付旭东等:电动机转速的数字检测・189・

参考文献:

[1]　李世卿. 自动控制系统[M ].北京:冶金工业出版

社, 1996.

[2]　刘飞龙, 裴海龙. 光电编码器四倍频电路的实现

及应用[J].自动化仪表, 2000,21(9) :426.

[3]　肖本贤. 一种提高转速测量范围与精度的新方法

[J].自动化仪表, 1997,18(11) :21223.

Digital Detecting of Motor ’s Rotation Speed

FU X u 2dong , X U B i ng , X U E B i 2chun , YA N M i n 2xi u

(Power Supply Center , Northeastern University , Shenyang 110004, China )

Abstract :S ome methods of digital detecting of motor ’s rotation speed and hardware circuit were given. And it provided the

distinguish rate accuracy of these method. From application , detecting methods of motor ’s rotation speed are sammarized. Meanwhile some formulas like resolution and measure accurary and its hardware circuit are given. Which provided aplied and credible basis of measure rotate s peed for technicians who research control system. The methods were used pracical control sys 2tem widely and efficiently. K ey w ords :motor ’s ratation speed ; digital detecting ; distinguish rate ; (上接第148页)

[13]　Li H Z , ap 2

proach H ∞].Trans Sig 2nal 9) :233822350.

[14]　Li Y. bounds for linear systems

with delayed perturbations [J ].Journal of the Franklin institute , 1999, 336(5) :7552765.

[15]　年晓红, 王天成. 基于LMI 的Lurie 控制系统的鲁

棒绝对稳定性判据[J].长沙铁道学院学报, 2000, 18(4) :74279.

[16]　俞　立. 一类时滞系统的绝对稳定性问题研究

[J].自动化学报2003,29(3) :4282431.

[17]　Cao Y Y , James L A M , Y ou X S. Static output

feedback stabilization :an ILMI a pproach[J].Auto 2matica , 1998, 34(12) :164121645.

[18]　Li X , Carlos E , S ouza D. Delay 2dependent robust

stability and stabilization of uncertain linear delay systems:a linear matrix inequality approach [J ].IEEE Trans Automat Control , 1997,42(8) :114421148.

[19]　曾建平, 程鹏. 混合H 2/H ∞控制问题的降阶控制

器[J].自动化学报, 2000, 26(5) :7142716.

[20]　G ahinet C. Multiobjective output 2feedback control

via LMI optimization [J ].IEEE Trans Automat Control , 1997,42(7) :8962910.

[]　Zhang W , Michael S B , Ste phen M P. Stability of net 2

worked control systems [J ].IEEE C ontrol S ystems Magazine , 2001,21(1) :84299.

[22]　Li L F. Analysis , design , modeling and control of

networked control systems[D].Michigan :Michigan University , 2001.

[23]　G erard G. Control of rational systems using linear

fractional representations and linear matrix inequali 2ties[J ].Automatica , 1996, 32(9) :127321284.

[24]　Niculescu S I , Neto A T , Dion J , et al. Dlay 2depen 2

dent stability of linear systems with delayed state :An LMI approach[A].In Proceedings of the IEEE Con 2ference on Decision and Control [C ].New Orleans :LA , 1995. 149521496.

[25]　Zhang J , Knopse C R , Taiotras P. Stability of time 2

delay systems :equivalence between Lyapunov and scaled small 2gain conditions [J ].IEEE Trans Au 2tomat Control , 2001, 46(3) :4822486.

[26]　Park P. Stability criteria of sector and slope 2restricted

Lur ’e systems [J].IEEE Trans Automat Control , 2002,47(2) :3082313.

[27]　苏宏业, 潘红华, 蒋培刚, 等. 一类具有非线性饱

和执行器的不确定时滞系统鲁棒控制[J].控制与决策, 2000,15(1) :23226.

[28]　李泽滔. 采用Matlablmi 工具进行控制系统鲁棒分

析[J].机械与电子, 2000,114(6) :39242.

L M I and its Applications in Control Engineering

GA O Ji n 2f eng , Y U L i , W A N G Chun 2pi ng

(College of Information Engineering , Zhejiang University of Technology , Hangzhou 310032, China )

Abstract :S ome basic concepts about Linear Matrix Inequalities (LMIs ) were introduced. Three solvers of LMI toolbox of the software Matlab were also presented. A review on the theory and application research for LMI in control systems was described in detail , mainly including robust control and robust filtering of uncertain systems. At the same time , some nonlinear s ystems and time 2delay systems were discussed. And then , a list of new results of some re presentative control problems via the LMI ap 2proach were introduced. Finally , an example was presented to illustrate the procedure of solving LMIs ,the programme is pro 2cessed in the Matlab 513editor. The derived result is optimization in the state and copt =J 31016777. K ey w ords :linear matrix inequality ; time 2delay , convex optimization ; LMI toolbox