北京燕山区

2014—2015学年度第一学期九年级期末考试

数 学 试 卷 2015年1月

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．观察下列图形，是中心对称图形的是

A．

B．

C．

D．

2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则

抽中甲套题的概率是

A

． B C D．1 3．右图是某几何体的三视图，该几何体是

A．圆锥 C．棱柱

B．圆柱 D．正方体

正视图

左视图

俯视图

141312

4．已知△ABC ∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为4，则△DEFA．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数为

A．20° B．40° C．60° D．70° 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是

A．

125

B． C． D．2

255

7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y大棚内的温度约为

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃

k

(k0)的一部分，则当x＝16时，x

)

8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3．

⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P

⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝x，PQ2

＝y则y与x的函数图象大致是 A

A．

B．

C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若4x5y，则

x

＝ ． y

k

(k0)的图象在其每一分支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数的解析x

10．已知反比例函数y

式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可）

11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度

h为(已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米)

12．在函数y

8

(x0)的图象上有点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1，它们x

的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则点P1的坐标为 ；S2＝；Sn＝． （用含n的代数式表示）

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．

14．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2＝AC·AD．

求证：△ADB∽△ABC．

15．如图，正比例函数y=2x与反比例函数y求m和k的值．

16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分

别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)．

（1）直接写出点B关于原点的对称点D的坐标；

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90º得到△A1B1C．请在网格中画出△A1B1C，并直接写出点A1和

B1的坐标．

C

k

(k0)的图象的一个交点为A(2，m)． x

17．如图，在半径为6cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE为3cm．

（1）求弦AB的长；

⌒的长．

（2）求劣弧AB

四、解答题

19．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．

（1）求证：△ABE∽△ACD；

（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的长．

A

B

D

20．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根

据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

网民关注的热点问题情况统计

人数

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？

（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取

两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．

21．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥l

于点D，交⊙O于点E． （1）求证：∠CAD＝∠BAC； （2）若sin∠BAC＝

3

，BC＝6，求DE的长． 5

五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知关于x的方程xkxk10.

（1）求证：当k2时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若二次函数yx2kxk1(k2)的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交

于点C，且tan∠OAC＝4，求该二次函数的解析式；

（3）已知点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交（2）中的二次函数图象

于点M，交一次函数ypxq的图象于点N．若只有当1m5时，点M位于点N的下方，求一次函数ypxq的解析式．

2

25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形． （1）如图1，已知A(－2，0)，B(4，3)，C(0，t)．

①若t2，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则t的值为 ； （2）如图2，已知点M(6，0)，N(0，8)．P(x，y)是抛物线y＝x24x5

上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围； （3）如图3，已知点D(1，1)．E(m，n)是函数y

4

(x0)的图象上一点，矩形OFEG是点O，x

D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．

图1

图2

图3

数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

B．A．B．C． D．B．C．A． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．

51k

10．y y(k0)（答案不唯一）

x4x

48

；． 3n(n1)

11．1.4 12．(1，8)；

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝2

＝1

2 ……………………………………3分 3

22

31

＝． ……………………………………5分

22

14．证明：∵AB2＝AC·AD，

∴

ABAD

＝． ……………………………………2分 ACAB

又∵∠A＝∠A， ……………………………………4分 ∴△ADB∽△ABC． ……………………………………5分 15．解：将点A(2，m)的坐标代入y=2x中，得

m＝2×2，即m＝4． ……………………………………2分

17．解：（1）∵AB为⊙O的弦，OE⊥AB于E，

∴AE＝BE＝

1

AB． ……………………………………1分 2

在Rt△AOE中，OA＝6，OE＝3，

∴AE＝OA2OE2＝6232＝27＝3， ………………2分 ∴AB＝2AE＝63． ……………………………………3分

（2）由（1）知，在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OA＝6，OE＝3，

∴cos∠AOE＝

OE1

＝， OA2

∴∠AOE＝60°，

∴∠AOB＝2∠AOE＝120°， ……………………………………4分 ⌒的长l＝∴AB

1206

＝4． ……………………………………5分

180

18．解：由题意，

在Rt△ABD中，∠DAB＝90°，∠ADB＝45°，AB＝3米，

∴AD＝AB＝3米， ……………………………………2分 又∵Rt△ACD中，∠DAC＝90°，∠ADC＝60°，

∴AC＝AD·tan∠ADC＝3·tan60°＝3米， ………………4分 ∴BC＝AC－AB＝33－3≈2.2米． ………………5分 即路况警示牌宽BC的值约为2.2米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证法一：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1分 又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，

∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，

即∠ABE＝∠ACD． ……………………………………2分 ∴△ABE∽△ACD． ……………………………………3分 证法二：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1分 又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，

∠DAE＝∠BDC，

∴∠AEB＝∠ADC． ……………………………………2分 ∴△ABE∽△ACD． ……………………………………3分 (2)∵△ABE∽△ACD，∴又∵∠BAC＝∠DAE，

∴△ABC∽△AED， ……………………………………4分 ∴

AEAB

＝． ACAD

BCAC

＝， DEAD

BC2

AD＝6＝4． ……………………………………5分 ∴AC＝DE3

人数

20．（1）补全条形统计图如图；

………………2分

（2）2100×10%＝210万人； ………………4分

（3）

1

． ………………5分 6

21．（1）证明：连接OC，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD， ……………………………………1分 ∵AD⊥CD，∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO． 又∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠OAC，

即∠CAD＝∠BAC． ……………………………………2分 （2）解法一：过点B作BF⊥l于点F，连接BE， ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， 又AD⊥l于点D，

∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°， ∴四边形DEBF是矩形，

∴DE＝BF． ……………………………………3分

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCF＝90°．

∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠BCF＝∠CAD． ∵∠CAD＝∠BAC，

∴∠BCF＝∠BAC． ……………………………………4分

在Rt△BCF中，BC＝6，

BF3

＝sin∠BAC＝， BC5318

∴BF＝BC＝，

55

18

∴DE＝BF＝． ……………………………………5分

5

sin∠BCF＝解法二：连接CE，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵A，B，C，E四点共圆， ∴∠AEC＋∠ABC＝180°． 又∵∠AEC＋∠DEC＝180°，

∴∠DEC＝∠ABC，

∴Rt△CDE∽Rt△ACB， ……………………………………3分 ∴

CDDE＝．

BCAC

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝∴AB＝

BC3

＝，BC＝6， AB5

5

BC＝10，∴AC＝AB2BC2＝8． 3

在Rt△ADC中，∵∠DAC＝∠BAC，

CD3

＝sin∠BAC＝， AC5324

∴CD＝AC＝． ……………………………………4分

55

24

618CDBC

∴DE＝＝＝． ……………………………………5分

5AC8

∴sin∠DAC＝

22．90°；． ……………………………………2分

猜想：EF=BE＋FD； ……………………………………3分 理由如下：

如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，

∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝

1

∠BAD， 2

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF． ……………………………………4分

AE＝AG，

在△AEF和△AGF中，EAF＝GAF，

AF＝AF

∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG．

∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，

G

DCE

A

B

∴EF＝BE＋FD． ……………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分）

23．（1）证明：∵(k)41(k1)＝(k2)， ………………1分

又∵k2，∴k20，

2

∴(k2)0，即0，

2

2

∴当k2时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分

（2）解：∵y

x2kxk1(k2) ∴令y0，有x2kxk10， 解得 x1，或xk1． 3分

∵k2，点A在点B的左侧，

∴A(1，0)，B(k1，0)．

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C(0，k1)． ……………………………………4分

在Rt△AOC中，tan∠OAC＝

解得k5．

∴抛物线的解析式为yx25x4． ……………………………………5分

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，由此可

得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分

将交点坐标分别代入一次函数解析式ypxq中，得 OCk1＝＝4， OA1

1,0＝pq,p＝， 解得， 45pqq＝1

∴一次函数的解析式为yx1． ……………………………………7分

24．（1）证明：∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，

∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90°，

∴△AEF≌△BGF， ……………………………………1分

∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，

∴∠EFG＝180°－∠AFE－∠BFG＝90°，即EF⊥FG． ………………2分

证明：将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，

∴FH＝FK，∠HFK＝90°，

∴∠KFE＋∠EFH＝90°，

∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠EFH＝90°，

∴∠KFE＝∠HFG，

在△EFK和△GFH中，

FK＝FH，∠KFE＝∠HFG，EF＝FG，

∴△EFK≌△GFH， ……………………………………4分

∴EK＝GH．

∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝2FG， 2

∴BH＝BG＋GH＝22FG＋EK＝EF＋EK，

22

②t4或t1； ……………………………………3分

（2）如图，过M点作x轴的垂线与过N点垂直于y轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN

内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．

∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48，

∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分 抛物线y＝x24x5与y轴交于点T(0，5)令y0，有x4x5＝0，

解得 x1（舍），或x5．

令y8，有x4x5＝8，

解得 x1，或x3． 22∴0x1，或3x5． ……………………………………6分

（3）2r． ……………………………………8分 2

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．