椭圆动态定值问题
用超级画板探究椭圆动态定值问题
陈 林
摘要: 在高中学习数学的时候,有几个知识点是非常难的,比如数列、不等式这两类知识点主要侧重在计算的难,而另外一些难点则落在解析几何中圆锥曲线以及立体几何部分的学习中,特别是圆锥曲线中的动态运动问题,本来就很抽象了,再加上圆锥曲线出了名的运算复杂,这就让圆锥曲线的学习更加难上加难了。比如解析几何的轨迹问题,以及椭圆和双曲线的第一定义、以及经典的焦点弦问题,因此掌握一种数学软件,对轨迹以及图形能够明确的描述、对动态的过程能够偶反映出来无疑是非常重要的,而在动态几何的学习过程中,超级画板的强大功能和很强的初等数学针对性很好的给出了答案。因此掌握好这套软件,对于以后都要走上教师岗位的免费师范生们是必不可少的教学法宝。
作为信息时代的青年学子,相对老教师,可能我们的教学优势只能体现在现代教育技术的熟练掌握和各种数学软件的娴熟运用了。因此这也要求我们要学好、掌握好扎这套软件。下面我们就通过一道圆锥曲线的题目——椭圆的动态定值问题来说明数学软件较之于传统教学的优势和两者结合产生的良好效果。
案例:如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,它的一个
顶点恰好是抛物线X2=4Y的焦点,离心率等于2
(1)求抛物线C的标准方程;
5
/5。
(2)P为椭圆C上的一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,PF1证明:U1+U2为定值。
=U1FA1,PF2=U2F2B
求解:
x
22
(1)设椭圆C的方程为a 则由题意可知b=1.
所以有
1a
2
+
yb
22
=1(a b 0)
。
a-ba=
2
22
=,
255
,
即1-
255
所以,
a=5.
x
2
2
所以,椭圆的方程为5(2)证明:
+y
2
=1
。
设P(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2),易知F(-2,0),、F(2,0).12因为有PF1=U1F1A,
所以(-2-x0,-y0)=U1(x1+y1).所以U1=-
y0y1
.
又PF2=U2F2B,所以(2-x所以 U
2
0
,y0)=U(x-2,y2)22
.
0
=-
y0y2
当PA、PB都不与X轴垂直且y设lPB:y=代入方程消去x得
y0x0-2x
2
≠0时,
(x-2),
2
5
+y=1,
[(x
-2)+5y0*y+4y(x0-2)y-y0=00
22
]
22
所以y0*y2=所以y2=
(x
-y0
2
2
2
-2)+5y0
2
(x
-y0
-2)+5y0y0y2
2
2
2
从而,U2=-同理可得U1=-
y0y1
=(x0-2)+5y0
=(x0+2)+5y0
2
22
所以U1+U2=(x0+2)+5y0+(x0-2)+5y0也即U1+U2=(2x0+5y0)+8.又点P在椭圆2
2
2
2
222
x
5
2
+y
2
=1上,
x05
2
+y0=1,
2
即x0+5y0=5,故U1+U2=18;
当PA或PB与x轴垂直或y0=0时也易得到U1+U2=18.
上面是我们传统的解法,可以看出,计算很复杂,也很容易出错。即使计算能较强的学生把答案算对了,他也可能不能释怀。因为他可能不知道为什么U1+U2
就是一个定值,有没有直观的动态过程展示呢?有没有直接就可以把答案算出来的可能呢?
为此,我通过超级画板来求解这道经典的例题,当然,第(1)问,本身很简单了,我们可以很快得出结果。
在第(2)问求定值证明时,我们就可以显示超级画板的优势了。
具体过程如下:
主要思想是通过椭圆上的自由动点P的运动来测量各个变量的值,最后把两个特殊的变量之和加起来,正好相等。这就是第(2)问要证明的结论。
拓展:
焦点弦问题一直以来都是高中教学和各类考试的热点和难点。而有关椭圆焦点弦的问题尤为突出,在椭圆焦点弦中,我们可以得到很多定值问题。而很多定值问题在动态背景下得出的结论,因此,超级画板在这方面会显得得心应手。下面我就以此题为例,对该题进行拓展和对椭圆的知识点进行回顾。
拓展1:椭圆的定义:椭圆上的点到两焦点距离和为定值
在讲完这道题后,可以借机复习一下,椭圆的定义,如上分别测量了椭圆上任意点到两焦点距离和为定值。这样的动态展示可以让“眼见为实”的学生们记忆深刻,加深对椭圆的掌握。
拓展2:由焦点弦中点产生的斜率积为定值
例题:AB是焦点在x轴的椭圆的一条弦 M是AB中点 O为椭圆中心 求证kAB*kOM为定值。
解:不防将该椭圆的中心认为在坐标原点,椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,而后设AB点的坐标分别为(m,n)(p,q),则中点M坐标为((m+p)/2,(n+q)/2) kAB=(q-n)/(p-m),kOM=(n+q)/(m+p),则kAB*kOM=(q^2-n^2)/(p^2-m^2)
因为AB在椭圆上故而有m^2/a^2+n^2/b^2=1,p^2/a^2+q^2/b^2=1,两式相减为 (p^2-m^2)/a^2=(q^2-n^2)/b^2,故而kAB*kOM=(q^2-n^2)/(p^2-m^2)=b^2/a^2,为定值。
所以,这个延伸也是通过上题的改造而来的。
拓展3:椭圆上点和短轴构成的直线和X轴焦点形成的距离积问题为定值
例题:在椭圆X2/a2 +Y2/b2=1(a>b>0)上取一点P,椭圆短轴上的两个端点分别是B1, B2 。若直线PB1,PB2分别与X轴交于M,N,设O为原点,求证:/OM/*/ON/为定值!
解:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0) 设P点坐标为(m,n)
短轴两端点坐标为B1(0,b)B2(0,-b)则
m^2/a^2+n^2/b^2=1 即(b^2m^2)/(a^2-n^2)=a^2 PB1的直线方程为 y-b=[(n-b)/(m-0)](x-0)
令y=0,则x=-bm/(n-b),即 M点坐标为(-bm/(n-b),0) PB2的直线方程为
y+b=[(n+b)/(m-0)](x-0) 令y=0,则x=bm/(n+b),即 N点坐标为(bm/(n+b),0)
|OM|*|ON|=|-bm/(n-b)|*|bm/(n+b)|=|(b^2m^2)/(a^2-n^2)|=a^2 所以|OM|*|ON|为定值a^2。
拓展4:过原点的焦点弦定值问题
xa
22
例题:A、B是经过椭圆
+
yb
22
=1.(a>b>0) 右焦点的任一弦,若过椭圆中心
O的弦MN//AB,求证:|MN|2:|AB|是定值。
解:对于本题,MN,AB分别为中心弦和焦点弦,可将其倾斜角退到0°,此时有
|MN|=4a
2
2
,|AB|=2a,|MN|2:|AB|=2a(定值).下面再证明一般性.
设平行弦MN、AB的倾斜角为α,则斜率k=tanα,MN的方程为y=(tanα) x代入椭圆方程,
又∵|MN|=x1-x2|即得|MN|=
2
4ab
2
2
222
b+csinα2ab
2
2
2
2
1, ○另一
方面,直线AB方程为y=tanα(x-c).同理可得|AB|=可知|MN|2:|AB|=2a(定值)。
2
b+csinα
2 由○1○2 ○
小结:
总之,通过超级画板的学习,能解决很多问题,不仅仅是这类椭圆中的动态定值问题,其他数学问题也可以解决。数学的学习和教学都离不开数学软件的支持了。如今纯粹靠发达的大脑而傲立于数学界的风云人物已经几乎不可见了。作为未来的数学教师,我们应该看到这一点。