一次函数压轴题1
1.如图,正比例函数y =kx 的图象与反比例函数y =
1
x
的图象相交于A 、B 两点,且A 的坐标为(1,1).
(1)求正比例函数的解析式;
(2)已知M ,N 是y 轴上的点,若四边形AMBN 是矩形, 求点M 、N 的坐标.
2. 如图,直线y =mx +n (m ≠0)经过第二象限的点P (-4, 6),并分别与x 轴的负半轴、
y 轴的正半轴相交于点A 、B .
(1)填空:n =__________(用含m 的代数式表示) ;
(2)若线段AB 的长为9+1
,则m m
2=_____.
3. 某工厂生产甲、乙两种不同的产品,所需原料为同一种原材料,生产每吨产品所需原材料的数量和生产过程中投入的生产成本的关系如右表所示:
若该工厂生产甲种产品m 吨,乙种产品n 吨,共用原材料160吨,销售甲、乙两种产品的利润y (万元)与销售量x (吨)之间的函数关系如图所示,全部销售后获得的总利润为200万元. 产品 甲 乙 (1)求m 、n 的值;
原材料数量(吨)1
2
(2)试问:该工厂投入的生产成本多少万元?
生产成本(万元)4
2
利润y 与销售量
x 之间的函数关系图
y
甲 乙
6
O
2 3
x
5. 下列图形都是由同样大小的按一定的规律组成,其中第1个图形有2个,第 2个图
的个数是()
形中有6个,第3个图形中有12个…, 则第30个图形中
第1个
第2个
第3个
……
A. 960 B. 930 C. 900 D. 870
6.(本题满分10分)如图所示,直角梯形ABCD 中,AB //CD ,∠A =90,AB =6,AD =4,tan B =1.(tan:直角三角形中角的对边比邻边) 动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发,沿线段DA 和BA 向A 方向运动,动点N 的运动速度是动点M 运动速度的两倍,当点M 或点N 谁先运动到点A 时,M 、N 两点同时停止运动. 设动点M 的运动速度是1个单位/秒,
M 、N 运动的时间为x 秒. (1) 当x =1时,求MN 的长;
(2) 是否存在x 的值,使得∆CMN 是直角三角形.
若存在,求出所有符合条件的x 值;若不存在请说明理由.
A
7. (本题满分13分)
如图,已知矩形ABCD, 动点E 从点B 沿线段BC 向点C 运动,连结AE 、DE, 以AE 为边作矩形AGFE, 使边FG 过点D.
(1)求证:矩形AEFG 与矩形ABCD 的面积相等; (2)
当AB =BC =6时,
求BE 为何值时,∆AED 为等腰三角形
8.(9分)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置,每辆车改装费为b 元,据市场调查知:每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0、y1(单位:元)与正常运营时x (单位:天)之间分别满足关系式:y 0=ax、y 1=b+50x,如图所示. 试根据图象解决下列问题:
(1)每辆车改装前每天的燃料费a= _________ 元;每辆车的改装费b= _________ 元,正常营运 _________ 天后,就可以从节省的燃料费中收回改装成本;
(2)某出租车公司一次性改装了100辆出租车,因而,正常运营多少天后共节省燃料费40万元?
9.如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,OA =3,OB =4,将△AOB 沿x 轴依次以点A 、
B 、O 为旋转中心从①的位置顺时针旋转,分别得②、③、…,则: (1)旋转得到图③的直角顶点的坐标为; (2)旋转得到图⑩的直角顶点的坐标为.
10.如图,温度计上表示了摄氏温度(℃)与华氏温度(°F )的刻
度,如果气温是摄氏25°,则相当于华氏°F .
11.已知双曲线y =
k
平移后,经过的点横坐标与纵坐标的对应值如下表:
x
则:①当x =6时, y=.
②当y <-3时,x 的取值范围是.
12.(9分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =kx +b 的图象与x 轴交于点A (-1,
0),与反比例函数y =
AOB =1.
m 1
在第一象限内的图象交于点B (,n ),连接OB ,若S △x 2
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
⎧x >0, ⎪
(2)直接写出不等式组⎨m 的解集.
>kx +b ⎪⎩x
13.把两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起,其中∠A =60°,AC =1.固定△ABC
不动,将△DEF 进行如下操作:
(1)如图1,将△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动),当D 点移至AB 的中点时,连接DC 、CF 、FB ,四边形CDBF 的形状是;
(第13题图
14.(13分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上,OA =8,OC =4.现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,点P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,点Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1个单位长的速度匀速运动.设运动时间为t 秒.
(1)填空:OP = ,OQ = ;(用含t 的式子表示)
(2)试证明:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;
15.一个正方体物体沿斜坡向上滑动,其截面如图所示,正方形DEFH 的边长为1米,坡
角∠A =30°,∠B =90°,BC =3米,则:(1)AC 的长是米;(2)当正方体DEFH 运动到什么位置,即当AE =米时,有DC 2=AE 2+BC 2.
16.(9分)如图,已知点A (1,a )和点B (3,b )是直线y =mx +n
与双曲线y =
k
(k >0)的交点. x
(1)求a 与b 之间的等量关系式;
(2)当2m +n =2时,分别求直线和双曲线的解析式.
17.(12分)如图,已知△ABC ,点A 在BC 边的上方,把△ABC 绕点B 逆时针方向旋转
60°得△DBE ,绕点C 顺时针方向旋转60°得△FEC ,连结AD 、AF .
(1)判断:△ABD 、△ACF 、△BCE 是什么特殊三角形?(可直接写出答案) (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是正方形?请说明理由;
(3)当△ABC 满足什么条件时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在?请说明理由.
19.将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原 后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,则
BF
AB
的值是 ( ) A2+1; B3+1; C.2.5 ; D5. D
C F
E
A
B
20.(9分)已知正比例函数y =x 和反比例函数y =k
第19题
x
的图象都经过点A (3,3).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将直线OA 绕点O 顺时针旋转得到直线l ,当直线l 过点B (3,)时,
21.已知一个函数中,两个变量x 与y 的部分对应值如下表:
如果这个函数图象是轴对称图形,那么对称轴可能是
A .x 轴 B.y 轴 C.直线x =1 D.直线y =x
22.如图,边长为6的等边三角形ABC 中,E 是对称轴AD 上的一个动点,连接EC ,将线段
EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ,连接DF .则在点E 运动过程中,DF 的最小值是____________.
A
1234
23. 给定一列按规律排列的数:, , , , ……则这列数的第20
24816
E
B
D
F
C
个数是()
5555A 、17 B、18 C、19 D、20
2222
24. 如图,过双曲线y=
3上的点A 作AC ⊥x 轴于点C ,OA 的垂 x
直平分线交
OC
于点B ,若∠AOC= 30°,则△ABC 的周长为() A 、 3+ B、3 C、2+3 D、3
25.直线y =2x -1上到两坐标轴距离相等的点有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数多个 27. 若a 、b 是正数,a -b =1,ab =2,则a +b =().
A . -3 B . 3 C . ±3 D . 9
28.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别是边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A ' 重合,若∠A =70︒,则∠1+∠2=()
A. 140︒ B.130︒ C. 110︒ D.70︒
1解:(1)把(1,1)代入y =kx 中,得:1=1×k ,即k =1…………(2分)
∴正比例函数的解析式为:y =x …………(3分) (2)由对称性可知: OA=OB …………(4分)
∴若四边形AMBN 是矩形, 则OM =ON =OB =OA …………(6分)
又OA =2+12=
2∴点M (
0, ,点N (0,
9分) 2. (1)6+4m ;(2)34
.
3. 解:(1)由图可知:销售甲、乙两种产品每吨分别获利6÷2=3万元、6÷3=2万元, 根据题意可得:
,解得
;
(2)由(1)知,甲、乙两种产品分别生产20吨、70吨, 所以,总利润=20×4+70×2=220(万元). 答:该工厂投入的生产成本为220万元. 5.B
6.(1)解:当x =1时,DM =1,BN =2
∵AB =6,AD =4
∴AM = 3,AN = 4…………1分
∵∠A =90 ∴MN=
AM 2+AN 2=5……2分
(2)存在…………3分 过C 作CE ⊥AB , 垂足为E , ∵DA ⊥AB ,∴DA ‖CE ,
∵DC ‖AE ∴四边形AECD 是平行四边形, ∴CE =AD =4,AE =DC =2 在Rt △CEB 中
∵tan B =1∴CE = BE=4………………………4分 当运动x 秒时,DM =x ,NB =2x ,AN =6—2x ,AM =4—x ,EN =∣4—2x ∣, (0≦x ≦3) 2∴
CM 2=4+x , MN 2=(4-x ) 2+(6-2x ) 2=52-32x +5x 2CN 2
=16+(4-2x ) 2
=32-16x +4x
2
(1)当∠CMN =900时,∴CN 2=CM 2+MN 2
∴32-16x +4x 2=4+x 2+52-32x +5x 2
解得x =2或x =6(舍去)
∴当x =2时, CMN 是直角三角形. ...............................6分
(2)当∠MCN =900时,∴MN 2=CM 2+CN 2
∴32-16x +4x 2+4+x 2=52-32x +5x 2
解得x =1
∴当x =1时, CMN 是直角三角形. .......................8分
(3)若当∠MNC =900时,∴CM 2=NM 2+CN 2
∴32-16x +4x 2=4+x 2-52+32x -5x 2x 2-6x +10=0
(-6) 2-4⨯10=-4 0方程无实数根,
∴∠MNC ≠900..............................10分
7
8.解:(1)a =90;b =4000,100……………………………6分 (2)解法一:依题意及图象得:
100⨯(90-50) x =400000+100⨯4000解得:x =200
答:200天后共节省燃料费40万元.………………… 9分 解法二:依题意,可得:
400000
100
÷(90-50) +100=200(天) 答:200天后共节省燃料费40万元.………………… 9分
9.(1)(12,0),
(2)(36,0). 10. 77;
11.①3
2 ②0
12. 解:(1)由题意,得OA=1
∵S =1 ∴△AOB ×1×n=1 ∴n=2 …………2分
将B(,2) 代入y=,得m=1
∴反比例函数的解析式为y=. …………4分
将A(-1,0)、B(,2) 代入y=kx+b,得 解得
∴一次函数的解析式为y=x+. …………7分
(2)由图象可知,该不等式组的解集为0<x <. ………9分
13.菱形
14. 解:(1)填空:OP =,OQ =…………(2分)
(2)根据题意,易知:AB =4,P A =(8-2t ), BC =8, CQ =t
∴S 四边形OPBQ = S四边形OABC -S △P AB -S△CBQ …………(3分)
= 4×8-1
2AB ×P A -1
2BC ×CQ =32-1
2×4×(8-2t )- 1
2×8×t
=32-16+4t -4t =16
∴四边形OPBQ 的面积是一个定值,这个定值是16…………(5分)
15.(1)6;(2)7
3.
16解:(1)∵点A (1,a )和点B (3,b )都在双曲线y =k
x 上,
∴a =k , b =k
3.……………………………2分
∴a =3b .……………………………3分
(2)解法一:∵点A (1,a )和点B (3,b )都在直线y =mx +n 上,
⎧b -
∴⎧⎨m +n =a ,…………… 4分解得⎪⎪m =a
⎩3m +n =b ⎨2
-b ,…………5分
⎪⎪⎩n =3a
2
∵2m +n =2,
∴b -a +3a -b
2=2,……………………6分
化简得:a +b =4,又由(1)知a =3b ,
11
∴a =3, b =1,……………………7分
∴k =3, m =-1, n =4……………………8分
∴直线的解析式为y =-x +4,双曲线的解析式为y =3
x .……………9分
解法二:作AC ⊥x 轴于点C ,BD ⊥x 轴于点D ,
则AC =a ,BD =b ,且C (1,0),D (3,0),…………………4分
在y =mx +n 中,当x =2时,y =2m +n =2,
∴梯形ACDB 的中位线长为2,∴a +b =4,…………………6分
又由(1)知a =3b ,∴a =3, b =1,……………………7分
∴k =3, m =-1, n =4……………………8分
∴直线的解析式为y =-x +4,双曲线的解析式为y =3
x .……………9分
17.解:(1)△ABD 、△ACF 、△BCE 都是等边三角形.……………………3分
(注:回答“等腰三角形”扣1分)
(2)当∠BAC =150°且AB =AC 时,四边形ADEF 是正方形.……………5分
理由如下:
∵△DBE 是由△ABC 绕点B 旋转60°而得到的
∴DE =AC
由(1)知△ACF 为等边三角形
∴AC =AF ∴DE =AF
同理可得,EF =AD
∴四边形ADEF 是平行四边形………………………7分
若∠BAC =150°,则∠DAF =360°-∠BAC -∠DAB -∠FAC
=360°-150°-60°-60°=90°
此时,四边形ADEF 是矩形………………………8分
又AB =AC ∴AD =AF
此时,四边形ADEF 是正方形.………………………9分
(3)当∠BAC =60°时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在.……………11分
理由如下:若∠BAC =60°,则∠DAF =360°-∠BAC -∠DAB -∠FAC
=360°-60°-60°-60°=180°
此时,点A 、D 、E 、F 四点共线,
∴以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在.………………………12分
19.A20. 解:(1)y =9
x 3分
(2)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为C
则∠BOC=30° 4分 ∠AOC=45° 5分∴∠AOB=15° 6分
(3)(0,3),(0,6),(0,32),(0,-32) 9分
21.C 22.1.523.B24.A 25.C 27.B 28.
A
12